2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共40分）
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 如图，已知直线，则与间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
3. 圆关于轴对称的圆的方程是( )
A.
B.
C.
D.
4. 若点在圆的内部，则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知是空间的一个基底，在下列向量中，与向量，一定可以构成空间的另一个基底的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，四面体的所有棱长都相等，，，则( )
A. B. C. D.
9. 已知圆经过点，半径为，其圆心的坐标为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，已知正方体的棱长为，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共4小题，共25分）
11. 若是单位向量，则______．
12. 圆的一条对称轴的方程可以是______．
13. 法向量分别是，的两个平面的位置关系是______．
14. 已知点为动点，为原点，以为直径的圆与圆相交于、两点．
当时，______；
四边形的面积的最小值是______．
三、解答题（本题共7小题，共85分）
15. 已知直线：和直线：，给出下列四个结论：
存在，使得的倾斜角为；
不存在，使得与重合；
对任意的，与都有公共点；
对任意的，与都不垂直．
其中，所有正确结论的序号是______．
16. 已知点和点．
求线段的垂直平分线的方程；
若圆经过，两点，且圆心在轴上，求圆的方程．
17. 在长方体中，，，是的中点，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离；
向量是否与向量、共面？
18. 如图，在平行六面体中，，，设向量，，．
用、、表示向量，并求；
证明：直线平面．
19. 已知圆的方程为．
求的取值范围；
若直线与圆交于，两点，且，求的值；
在的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程．
20. 如图，在三棱柱中．平面，，，，分别是B、的中点．
求直线与平面所成角的大小；
设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21. 已知、是圆：上两个不同的动点，是线段的中点，点满足．
当的坐标为时，求的坐标；
求点的轨迹方程；
求的最小值与最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，直线斜率不存在，故直线倾斜角为．
故选：．
直接利用倾斜角的定义即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题知，直线过点，，直线过点，
所以，直线的方程为，即，
因为直线，
所以直线的方程为，即，
所以与间的距离为．
故选：．
结合图形求得直线与的方程，再结合距离公式求解即可．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，点关于轴的对称点为，
因此，圆关于轴对称的圆的方程是．
故选：．
求出圆的圆心关于轴的对称点，即可求得所求圆的标准方程．
本题考查圆的标准方程，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：点在圆的内部，
，
可得，
故选：．
直接利用点到圆心的距离小于半径求出结果．
本题考查的知识要点：点与圆的位置关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，，
，，不能构成空间的另一个基底，故A错误，
对于，，故不能构成空间的另一个基底，故B错误，
对于，不存在，使得成立，故能构成空间的另一个基底，故C正确，
对于，假设存在，使得，则，解得，
故，故不能构成空间的另一个基底，故D错误．
故选：．
根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可．
本题主要考查空间向量基底的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：已知是直线的方向向量，是平面的法向量，则等价于或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
求出的等价条件，利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为点和点，动点，
所以，
又因为其满足，
所以，整理得：，
所以点的轨迹方程为．
故选：．
根据两点间的距离公式列式求解即可．
本题考查动点轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：四面体的所有棱长都相等，，，
，，两两夹角为，且，分别为，的中点，
，，
设四面体的棱长为，
，
又，，
又，
，
故选：．
利用为基底表示向量，再根据向量模的公式和夹角公式求解即可．
本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，则，
故点在以为圆心，以为半径的圆上，
由，则表示点与点连线的斜率，作图如下：
则直线，为点在圆上运动时直线的边界，
假设过原点且斜率存在的直线方程为：，
由直线与圆相切，可得，
两边平方可得，解得，
故直线，的斜率分别为，，
则，
故选：．
由题意，，可得，故点在以为圆心，以为半径的圆上，由斜率计算公式可得表示点与点连线的斜率，作图如下：因此直线，为点在圆上运动时直线的边界，假设过原点且斜率存在的直线方程为：，即，利用直线与圆相切的性质即可得出结论．
本题考查了直线与圆相切的性质、两点之间的距离公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，以为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
为正方形的中心，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，，取，
，且平面，
直线平面，
设直线的到平面距离为，取直线上一点，与平面上一点，
则，
则．
故选：．
建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解．
本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为是单位向量，
所以，解得
故答案为：．
根据单位向量的定义求解即可．
本题考查单位向量的定义，属于基础题．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：将圆化为标准方程得，
所以圆心为，
所以圆的一条对称轴的方程可以是过圆心的任意直线，不妨取．
故答案为：答案不唯一．
先求出圆心坐标，再根据对称性求解即可．
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
13.【答案】相交且不垂直
【解析】解：假设存在，使得，则，显然方程组无解，
所以，不平行，即两个平面不平行，
因为，
所以与不垂直，
所以两个平面的位置关系是相交且不垂直．
故答案为：相交且不垂直．
根据空间位置关系的向量方法判断即可．
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，，线段的中点为，
所以，以为直径的圆的方程为，联立，解得，
不妨设点、，
所以；
如图所示：
以为直径的圆与圆相交于、两点，则，
又因为，，所以，≌，
所以，当且仅当时，等号成立，
故四边形的面积为，
因此，四边形面积的最小值为．
故答案为：；．
当时，求出以线段为直径的圆的方程，联立两圆方程，求出点、的坐标，即可求得的值；
推导出≌，计算出的最小值，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积的最小值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，由直线：，当时，可整理为，
令，则，解得，故正确；
对于，由直线：，整理可得，令，解得，
此时直线：，即两直线重合，故不正确；
对于，由可知，当时，两直线重合，有无数个公共点；当时，则，即两直线不平行，必定相交，有一个公共点，故正确；
对于，令，则，显然无解，故正确．
故答案为：．
对于，由直线一般式方程，假设斜率存在，整理斜截式方程，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，解得答案；
对于，利用斜率相等，建立方程，解得的值，检验两直线在轴上的截距是否相等，可得答案；
对于，分斜率相等与不相等两种情况，相等时，两直线重合，不相等，必相交，可得答案；
对于，利用两直线垂直，斜率相乘等于，建立方程，可得答案．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
16.【答案】解：解：因为点，点，
所以线段的中点为，而，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即；
由知线段的垂直平分线的方程为，
因为圆经过，两点，
所以线段的垂直平分线经过圆心，
因为圆的圆心在轴上，
所以在方程中，令得，即圆心为，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．
【解析】根据中点坐标公式和直线垂直关系求解即可；
根据题意线段的垂直平分线经过圆心，进而得圆心为，再求半径即可得答案．
本题考查线段的中垂线的求法及圆的求法，属于基础题．
17.【答案】解：易知、、，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
则，
平面 与平面夹角的余弦值为．
易知点，，
所以点到平面的距离为．
设，即，
所以，解得，即，
因此向量与向量、共面．
【解析】利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值；
利用点到平面的距离公式可求得点到平面的距离；
设，利用空间向量的坐标运算可求出、的值，即可得出结论．
本题主要考查了线面角，点面距离的求解，空间向量知识的应用是求解问题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：，
由已知可得，，
因此，．
证明：在平面上，取、为基向量，
则对于面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得，
所以
，
所以是平面的法向量，
所以平面．
【解析】利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，利用空间向量数量积的运算可求得；
在平面上，取、为基向量，则对于面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得，利用空间向量的数量积的运算可得出，可得是平面的法向量，即可得证．
本题考查向量的数量积运算以及利用向量证明线面垂直的相关问题，属于中档题．
19.【答案】解：，，，
则，解得，即的取值范围是．
由可知圆：，则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，则，解得．
由可得圆：，则圆心，半径，
当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在，可设直线方程，则，
圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，整理可得，解得，
直线方程为，
综上，的方程为：或．
【解析】利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，可列出不等式，可得答案；
由明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答案；
过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：在三棱柱中．平面，
，，，分别是B、的中点，
，，
平面，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，，
，
直线与平面所成角正弦值为，
直线与平面所成角为．
由题意知，假设在线段上存在点，使得平面，
设，其中，
，，
平面，，解得，
在线段上存在点，使得平面，且．
【解析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线与平面所成角的大小．
设，其中，求出向量的坐标，利用与平面的法向量垂直，结合空间向量数量积的坐标运算，求出的值，能求出结果．
本题考查线面角、线面平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意可知，，而直线为轴，所以点的横坐标为，
将代入圆的方程可得，此时点的坐标为或．
设点，因为，为的中点，则，
连接，则，且，
所以，，整理可得，
因此，点的轨迹方程为．
因为，则点在圆内，
记圆的圆心为，半径为，则，
则，即，
所以，当点为圆与轴的负半轴的交点时，取最大值，
当点为圆与轴正半轴的交点时，取最小值，
所以，．
因此，的最小值为，最大值为．
【解析】分析可知点的横坐标为，将代入圆的方程，可求得点的坐标；
分析可知，利用两点间的距离公式、勾股定理化简可得出点的轨迹方程；
利用圆的几何性质求出的最小值和最大值，结合可求得结果．
本题考查动点轨迹方程的求法，直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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