圆的对称性——垂径定理学案
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文档简介
课 题：《垂径定理》
序 号： （ 3 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：
1、经历由圆的轴对称性探索垂径定理的过程.
2、理解圆的垂径定理.
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
重 点：垂径定理的应用.
难 点：正确理解垂径定条件和结论，并运用它解决有关问题.
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
垂径定理的内容是：
2.判断题
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （ ）
（2）弦的垂线必经过圆心。 （ ）
（3）垂直与弦的直径平分弦。 （ ）
3.圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则。
4.如图，是⊙O的直径，弦，垂足为，
如果,那么线段的长
什么是轴对称图形？你学过的图形中最多有几条对称轴？
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（3）你是用什么方法得到圆是轴对称图形的？
一．探究垂径定理
1.按下面的步骤做一做：（如图1）
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，作⊙O的一条弦；
第二步，作直径,使，垂足为；
第三步，将⊙O沿着直径折叠.
你发现了什么？
归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .
（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .
2.怎样证明上面得到的第（2）个结论.
证明：
归纳：
垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.
定理的几何语言：
如图2 是直径（或经过圆心），且
学以致用1：在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或圆弧.
学以致用2：如图3，是⊙O 的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ）
B. C. D.弧BD=弧BC
二．垂径定理的应用
例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3㎝.求⊙Ｏ的半径.
跟踪练习：
⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O到弦AB的距离是 ；
⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O到弦AB的距离为3 ㎝,那么弦AB的长是 ；
⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 .
例2.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
例3.如图5，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，
AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
例4.
（1） 如图6，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，
则经过P点的最短弦长为______；最长弦长为______．
（2）2点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所
有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为( )
(A)8条 (B)7条 (C)6条 (D)5条
例5.如图7，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深
GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
例6.已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD.
1.在半径为2cm的⊙O中，120°的圆心角所对的弦长为 cm。
2.如图9，在⊙O中，若于点， 为直径,试填写出
三个你认为正确的结论：
， ， .
3.若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,
变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是 。
变形2、CE=8, DE=2,则AB= 。
变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB=10，CD=8，求AE的长.
5.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的
半径是13cm，水面宽24cm，求水管中的水深。
6.如图，在⊙O中，直径AB=6cm，弦CD交直径AB与点P,PA:PB=1:5,
（1）求CD的长。
求CD弦的弦心距。
预 习 检 测
课 前 准 备
（图1）
交 流 合 作
（图2）
（图3）
（图4）
（图5）
（图6）
图7
图8
（图9）
达 标 检 测
O
·
A
B
E
D
C
∟
O
·
A
B
E
D
C
∟
O
·
A
B
E
D
C
∟
课 后 反 思
序 号： （ 3 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：
1、经历由圆的轴对称性探索垂径定理的过程.
2、理解圆的垂径定理.
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
重 点：垂径定理的应用.
难 点：正确理解垂径定条件和结论，并运用它解决有关问题.
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
垂径定理的内容是：
2.判断题
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （ ）
（2）弦的垂线必经过圆心。 （ ）
（3）垂直与弦的直径平分弦。 （ ）
3.圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则。
4.如图，是⊙O的直径，弦，垂足为，
如果,那么线段的长
什么是轴对称图形？你学过的图形中最多有几条对称轴？
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（3）你是用什么方法得到圆是轴对称图形的？
一．探究垂径定理
1.按下面的步骤做一做：（如图1）
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，作⊙O的一条弦；
第二步，作直径,使，垂足为；
第三步，将⊙O沿着直径折叠.
你发现了什么？
归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .
（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .
2.怎样证明上面得到的第（2）个结论.
证明：
归纳：
垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.
定理的几何语言：
如图2 是直径（或经过圆心），且
学以致用1：在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或圆弧.
学以致用2：如图3，是⊙O 的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（ ）
B. C. D.弧BD=弧BC
二．垂径定理的应用
例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3㎝.求⊙Ｏ的半径.
跟踪练习：
⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O到弦AB的距离是 ；
⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O到弦AB的距离为3 ㎝,那么弦AB的长是 ；
⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 .
例2.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
例3.如图5，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，
AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
例4.
（1） 如图6，P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，
则经过P点的最短弦长为______；最长弦长为______．
（2）2点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所
有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为( )
(A)8条 (B)7条 (C)6条 (D)5条
例5.如图7，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深
GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
例6.已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD.
1.在半径为2cm的⊙O中，120°的圆心角所对的弦长为 cm。
2.如图9，在⊙O中，若于点， 为直径,试填写出
三个你认为正确的结论：
， ， .
3.若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,
变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是 。
变形2、CE=8, DE=2,则AB= 。
变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB=10，CD=8，求AE的长.
5.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的
半径是13cm，水面宽24cm，求水管中的水深。
6.如图，在⊙O中，直径AB=6cm，弦CD交直径AB与点P,PA:PB=1:5,
（1）求CD的长。
求CD弦的弦心距。
预 习 检 测
课 前 准 备
（图1）
交 流 合 作
（图2）
（图3）
（图4）
（图5）
（图6）
图7
图8
（图9）
达 标 检 测
O
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课 后 反 思