28.1.3圆周角 学案
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文档简介
课 题：《圆周角定理及推论1》
序 号： （ 5 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：
1.理解圆周角的概念,
2.掌握圆周角定理及其推论的内容及简单应用；
3.经历探索圆周角定理的过程，体会分类、转化等数学思想方法。
重 点：圆周角的概念和圆周角定理及推论。
难 点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想方法和分类的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想．
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
圆周角的定义
顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.
2.判断下列各图中的角是否是圆周角。
及
3.圆周角定理：
1、圆心角的定义： 。
2.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：
在定理中注意不能丢掉 这个前提。
3.什么叫弧？弧分哪几种？
探究：弧与圆心角的关系
问题导学：
1.在一个圆中，任作一个圆心角，它对应的弧有几条吗？
任作一条弧，它对应的圆心角有几个？
如图所示，圆心角对应的是弧AB。
这就说明：弧与圆心角的对应关系是唯一的。
2.当圆心角逐渐增大时，它对应的弧怎样变化？当圆心角减小时，它对应的弧又怎么变化？
这就说明：弧的大小会随着它对应的圆心角的大小而变化。
圆中最大的弧是什么？此时它对应的圆心角是什么？这个圆心角是多少度？
这就说明：整个圆周也是一段弧，它对应的圆心角是个周角，等于360度。
此时，我们就说整个圆周这段弧的度数就是它对应的圆心角的度数，等于360度。
半圆是弧吗？它对应的圆心角等于多少度？
这就说明：半圆这段弧的度数就是它对应的圆心角的度数，等于180度。
如果把圆周四等分，每段弧是多少度呢？六等分呢？10等分呢？n等分呢？
综上，我们得到这样的结论：
弧是有度数的，它的度数等于它所对应的圆心角的度数。
学以致用1：如图以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若
∠D=50°，求弧BE的度数和弧BF的度数．
学以致用2．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
探究：什么叫圆周角？
1、圆周角定义： 。
圆周角有两个特征：① 。② 。
2、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
3.找出右图中所有的圆周角。
三．探究：圆周角定理
在一个圆中，同一段弧对应几个圆周角？
作图看看。
这些圆周角的大小怎样？测量看看。
这段弧所对的圆心角有几个？
4.这些圆周角和这个圆心角的大小有什么关系？测量看看。
由上述操作我们可以猜想：
在同一圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点A，这时可能出现三种情况：
圆心在圆周角的边上（如图1），
圆心在圆周角的内部（如图2）
（3） 圆心在圆周角的外部（如图3）
（1）圆心在圆周角的边上 （如图1） (2) 圆心在圆周角的内部（如图2）
解：∵在△AOC中， = 。 解：连接AO并延长与⊙O交与点D
∴ ∠ =∠ 。 ∵在△AOB中， = 。
又∵∠BOC=∠ +∠ . ∴ ∠ =∠ 。
∴∠A= ∠BOC. 又∵∠BOD=∠ +∠ .
∴∠BAD= ∠BOD.
同理：∠CAD= ∠COD.
又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∠BOC=∠BOD+∠COD
∴∠BAC= ∠BOC.
(3) 圆心在圆周角的外部（如图3）想一想如何解？
由此得出：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论1：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
思考：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？
学以致用1：试分别求出图中∠x的度数。
跟踪练习：
如下左图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线同侧，∠BAC=350
(1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
(2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
学以致用2： 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，
则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为 。
学以致用3：:.如上右图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？
典型例题：
例1.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,
若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
例2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，
且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
（A）30° （B）60°（C）30°或150° （D）60°或120°
例3.如下左图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
跟踪练习：如上右图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
例4.如下左图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
跟踪练习：如下右图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
1、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8
个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
___________________________________________________.
3、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。
4、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与
∠BCE相等的角有______________________。
5．（中考题）如下左图，于，若，则
如图5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5= .
7.如上右图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
8.如右图，A、B、C、P是圆上的点，∠APC=∠CPB=60°。
求证：△ABC是等边三角形
9.人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，会给问题本身带来很大的区别。在数学中，这样例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，再比较解决问题结果：
(1)在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？
(2)在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？
预 习 检 测
课 前 准 备
交 流 合 作
D
A
A
B
C
O
B
C
O
图2
图3
D
A
O
B
C
图1
B
A
O
.
70°
x
A
O
.
X
130°°
35°
32°
x
达 标 检 测
序 号： （ 5 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：
1.理解圆周角的概念,
2.掌握圆周角定理及其推论的内容及简单应用；
3.经历探索圆周角定理的过程，体会分类、转化等数学思想方法。
重 点：圆周角的概念和圆周角定理及推论。
难 点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想方法和分类的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想．
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
圆周角的定义
顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角.
2.判断下列各图中的角是否是圆周角。
及
3.圆周角定理：
1、圆心角的定义： 。
2.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：
在定理中注意不能丢掉 这个前提。
3.什么叫弧？弧分哪几种？
探究：弧与圆心角的关系
问题导学：
1.在一个圆中，任作一个圆心角，它对应的弧有几条吗？
任作一条弧，它对应的圆心角有几个？
如图所示，圆心角对应的是弧AB。
这就说明：弧与圆心角的对应关系是唯一的。
2.当圆心角逐渐增大时，它对应的弧怎样变化？当圆心角减小时，它对应的弧又怎么变化？
这就说明：弧的大小会随着它对应的圆心角的大小而变化。
圆中最大的弧是什么？此时它对应的圆心角是什么？这个圆心角是多少度？
这就说明：整个圆周也是一段弧，它对应的圆心角是个周角，等于360度。
此时，我们就说整个圆周这段弧的度数就是它对应的圆心角的度数，等于360度。
半圆是弧吗？它对应的圆心角等于多少度？
这就说明：半圆这段弧的度数就是它对应的圆心角的度数，等于180度。
如果把圆周四等分，每段弧是多少度呢？六等分呢？10等分呢？n等分呢？
综上，我们得到这样的结论：
弧是有度数的，它的度数等于它所对应的圆心角的度数。
学以致用1：如图以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若
∠D=50°，求弧BE的度数和弧BF的度数．
学以致用2．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
探究：什么叫圆周角？
1、圆周角定义： 。
圆周角有两个特征：① 。② 。
2、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
3.找出右图中所有的圆周角。
三．探究：圆周角定理
在一个圆中，同一段弧对应几个圆周角？
作图看看。
这些圆周角的大小怎样？测量看看。
这段弧所对的圆心角有几个？
4.这些圆周角和这个圆心角的大小有什么关系？测量看看。
由上述操作我们可以猜想：
在同一圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点A，这时可能出现三种情况：
圆心在圆周角的边上（如图1），
圆心在圆周角的内部（如图2）
（3） 圆心在圆周角的外部（如图3）
（1）圆心在圆周角的边上 （如图1） (2) 圆心在圆周角的内部（如图2）
解：∵在△AOC中， = 。 解：连接AO并延长与⊙O交与点D
∴ ∠ =∠ 。 ∵在△AOB中， = 。
又∵∠BOC=∠ +∠ . ∴ ∠ =∠ 。
∴∠A= ∠BOC. 又∵∠BOD=∠ +∠ .
∴∠BAD= ∠BOD.
同理：∠CAD= ∠COD.
又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∠BOC=∠BOD+∠COD
∴∠BAC= ∠BOC.
(3) 圆心在圆周角的外部（如图3）想一想如何解？
由此得出：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论1：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
思考：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？
学以致用1：试分别求出图中∠x的度数。
跟踪练习：
如下左图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线同侧，∠BAC=350
(1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
(2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
学以致用2： 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，
则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为 。
学以致用3：:.如上右图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？
典型例题：
例1.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,
若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
例2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，
且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
（A）30° （B）60°（C）30°或150° （D）60°或120°
例3.如下左图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
跟踪练习：如上右图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
例4.如下左图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
跟踪练习：如下右图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
1、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8
个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：
___________________________________________________.
3、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。
4、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与
∠BCE相等的角有______________________。
5．（中考题）如下左图，于，若，则
如图5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5= .
7.如上右图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
8.如右图，A、B、C、P是圆上的点，∠APC=∠CPB=60°。
求证：△ABC是等边三角形
9.人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，会给问题本身带来很大的区别。在数学中，这样例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，再比较解决问题结果：
(1)在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？
(2)在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？
预 习 检 测
课 前 准 备
交 流 合 作
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图2
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70°
x
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35°
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达 标 检 测