7.5 正态分布
知识储备
题型专练
1、正态曲线的概念、性质
2、正态分布的概率
3、3σ原则的实际问题的应用
4、正态分布与二项分布的综合应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
正态曲线的概念、性质
1.，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C
【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误，故选：C
2.（多选题）已知，，，则（ ）
A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1
B．函数图象关于直线对称
C．
D．函数在上单调递增
【答案】BC
【详解】选项A. 曲线与轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A不正确.
选项B. ,
所以，所以函数图象关于直线对称，所以选项B正确.
选项C. 因为
所以
所以选项C正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当越大时，其概率越小.
即函数随的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.故选：BC
正态分布的概率
1.随机变量，函数没有零点的概率是，则（ ）
附：若，则，.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数没有零点，
二次方程无实根，
，，
又没有零点的概率是，
，
由正态曲线的对称性知：，
，，
，
，，
，
故选：B.
2.设随机变量X服从标准正态分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，则P(|X|≤1.88)＝（ ）
A．0.94 B．0.97 C．0.06 D．0.03
【答案】A
【解析】∵标准正态曲线关于x＝0对称，
∴P(X>1.88)＋P(X<－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，
∴P(|X|≤1.88)＝1－0.06＝0.94，故选：A.
3、3σ原则的实际问题的应用
1.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( )
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
答案 B
解析 由正态分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.682 6，
P(－6<ξ<6)＝0.954 4，
故P(3<ξ<6)＝
＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.
2.在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的×68.26%＝34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，
解得x≈50.
又∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．
正态分布与二项分布的综合应用
1.2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，.
【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理.
【解析】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，
所以，
所以，
故
（2）由题意可知，所以.
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.
课后精练
1.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
【答案】C
【详解】解：服从正态分布，曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.6，在内取值的概率为0.3，
在内取值的概率为．现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率，故选：C
2．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则）
A．7539 B．6038
C．7028 D．6587
【答案】D
【详解】因为，所以，
又因为，所以，，
所以阴影部分的面积为，所以从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是，故选：D.
3.设随机变量X～N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P(X>2)＝p，则P(0A.＋p B．1－p
C．1－2p D.－p
答案 D
解析 由X落在(－3，－1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得μ＝0.
又∵P(X>2)＝p，∴P(－2∴P(04.设随机变量X服从正态分布N(，σ2)，集合A＝{x|x>X}，集合B＝{x|x>}，则A B的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由A B得X≥.
又∵μ＝，∴P(X≥)＝.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
答案 C
解析 ∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
6.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝·(x∈R)，则E(2X－1)＝________.
答案 －5
解析 ∵σ＝2，μ＝－2，∴E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.
7.某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？
【答案】（1）456分;（2）39万元.
【详解】
（1）X服从正态分布：,
因为,；
所以,根据正态曲线的对称性，
,
所以,
若40万考生中一本院校招收6万考生，则一本院校考生占比为，
所以这一年一本最低录取分数为456分.
（2）X的分布列如下：
X 20 5
P 0.1 0.9
所以,
因为一本院校招生一共6万人，每人的话费期望值为6.5元，故总额为万元.
8.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
解 (1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.
∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.954 4，
即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4.
(2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.682 6，
∴P(ξ>110)＝(1－0.682 6)＝0.158 7，
∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.
∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．7.5 正态分布
知识储备
题型专练
1、正态曲线的概念、性质
2、正态分布的概率
3、3σ原则的实际问题的应用
4、正态分布与二项分布的综合应用
三、课后加练
知识储备
二、题型分类
正态曲线的概念、性质
1.，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
2.（多选题）已知，，，则（ ）
A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1
B．函数图象关于直线对称
C．
D．函数在上单调递增
正态分布的概率
1.随机变量，函数没有零点的概率是，则（ ）
附：若，则，.
A． B． C． D．
2.设随机变量X服从标准正态分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，则P(|X|≤1.88)＝（ ）
A．0.94 B．0.97 C．0.06 D．0.03
3、3σ原则的实际问题的应用
1.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( )
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
2.在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
正态分布与二项分布的综合应用
1.2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，.
课后精练
1.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
2．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形中随机取个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则）
A．7539 B．6038
C．7028 D．6587
3.设随机变量X～N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P(X>2)＝p，则P(0A.＋p B．1－p
C．1－2p D.－p
4.设随机变量X服从正态分布N(，σ2)，集合A＝{x|x>X}，集合B＝{x|x>}，则A B的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
6.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝·(x∈R)，则E(2X－1)＝________.
7.某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？
8.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
