高考热点问题（一）导数的应用[下学期]

2007年高考热点问题（一）
导数的应用
　　中学数学在引入“导数”之后，面对新的知识背景与格局，函数的单调性，函数的极值（或最值），以及在某种条件下恒成立的不等式等三大问题之间相互依存，相互贯通，又相互转化的辩证关系，成为导数应用的主打题型，成为高考备考与高考命题的主要热点之一，本课题对此作以初步探索，希望对高考备考有所帮助.
　　一、函数单调性的证明与应用
　　函数的单调性是函数的基本性质之一，在导数的背景下，函数的单调性这一“基础”与“工具”的身份，决定了它的证明与应用的明显差异：证明，一般直面于目标不等式的推理；应用，往往致力于题设条件的变通和转化.
　　例1、 已知
　　（1）当 时，求证： 在区间（-1，1）内为减函数；
　　（2）当 在区间（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围.
　　解： 　　　　　　　　　　　　　　
　　（1）证明： ∵ ，　　 又 　　 ∴ ，　　
　　又 ，
　　∴ 必小于 与 中的较大者
　　由 　　　　　　　　　　　　　　
　　∴在区间（-1，1）内总有 ，
　　∴ 在区间（-1，1）内为减函数.
　　（2）解：设 为 的极值点且 ，则
　　由（1）知
　　（Ⅰ）当 时，∵ 　　
　　∴ 在（-1，1）内有且只有一个x0，使
　　∴在 内 ，在 内 ，
　　∴ 在 内单调递增， 在 内单调递减，
　　∴ 在（-1，1）内有且只有一个极值点 .
　　（Ⅱ）当 时，同理可知 在（-1，1）内有且只有一个极值点.
　　于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求a的取值范围为 。
　　点评：
　　（1）借助导数，这里将函数单调性的证明转化为证明关于导函数的（条件）不等式，展示了在导数背景之下单调性与不等式更为密切的联系.
　　（2）注意到可导函数 在点 处有极值的必要条件为 ，利用这一必要条件切入讨论，在必要条件的基础上讨论或求索，此为解决比较复杂问题的基本方略.
　　例2、 已知函数 （a为实数）
　　（1）若 在x=-1处有极值，求a的值；
　　（2）若 在[-3，-2]上是增函数，求a的取值范围.
　　解：
　　（1）由已知得 的定义域为 ，
　　由题设得
　　∴
　　（2）由题设知 对 恒成立，
　　 对 恒成立，
　　 恒成立，
　　 对 恒成立　　　　　　　　　　　　 ①
　　令
　　则由①得 恒成立
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　（Ⅰ）当a=0时， 不符合②式；
　　（Ⅱ）当a<0时，抛物线 开口向下，对称轴为 ，∴
　　∴ 由②得 ；
　　（Ⅲ）当a>0时，仿（Ⅱ），由②得
　　 ，这与a>0矛盾
　　于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得所求a的取值范围为 。
　　点评：这里的已知条件经过了两次转化：已知 在某区间上的单调性→某不等式在给定区间上恒成立→另一函数的最值问题，展示了上述三个问题之间相互联系，相互贯通的密切联系.
　　例3、 已知函数 在x=0处取得极值，曲线 过原点和点P（-1，2），若曲线在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°，且切线的倾斜角为钝角.
　　（1）求 ；
　　（2）若 在区间[2m-1,m+1]上递增，求m的取值范围.
　　解：
　　（1）
　　由题设得 　　
　　 　　　　　　　　　　　　　①
　　∴
　　∴ 曲线在点P处的切线斜率为 　　　　 ②
　　又由题设得 ，由此得 　　　　　　 ③
　　∴ 由②得 a-4=-3即a=1，
　　∴ 由①得 a=1,b=3
　　故得
　　
　　解法一（仿例2）
　　由题设得 在 上恒成立　　 （※）
　　注意到抛物线 的对称轴为x=-1，
　　∴ 在 上的最小值
　　 　　或
　　 　　或
　　∴ 所求m的取值范围为 .
　　解法二
　　∴ 由 得 x≤-2或x≥0
　　∵ 在区间 上递增，
　　∴ 或
　　由此得 　　或　　
　　 　　或
　　∴ 所求的最值范围为
　　点评：注意到这里 已知，而给定区间 不定，因而将已知单调性问题转化为有关集合间的包含关系问题，要比仿例2的证法显得明朗、快捷.
　　二、函数极值的探求与“反哺”
　　从某种定义上说，函数的极值是函数的单调性应用的产物，谁言寸草心，报得三春晖.循着函数的单调性、极值以及在一定条件下恒成立的不等式三者之间相互依存、相互贯通的内在联系，在适当的条件下，函数的极值对上述不等式或单调性研究的“反哺”：通过寻求和应用函数的极值解决上述问题，也是导数应用的一个亮点.
　　例1、 已知函数
　　（1）试判断 在区间 上的单调性，并证明你的结论；
　　（2）若当x>0时 恒成立，求正整数k的最大值
　　解：
　　（1）函数 在区间 上为减函数
　　证明：
　　∵ x>0，∴ ， ，
　　又此时 ，　　　　 ∴
　　∴
　　∴
　　∴ 函数 在区间 上为减函数
　　（2）当x>0时， 恒成立，
　　即 对x>0恒成立
　　令
　　则有 恒成立
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　注意到
　　记
　　则
　　∴ 在 上单调递增
　　再注意到 ，
　　∴ 存在唯一实根a使得 ，且 　　　　　②
　　又 当x>a时， ，从而 ，　　　　　　　　　　　　　　　③
　　当0　　∴ 由②、③、④得 ，　　　　　　　　　　　　
　　并且 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
　　∴ 由①、⑤得 ，从而正整数k的最大值为3.
　　点评：此题的求解，再一次展示了函数的单调性，某条件下恒成立的不等式与最值（或极值）问题相互依存的联系以及相互转化的历程，而正是导数，锻造了这条联系的金链和转化的通道.
　　例2 、设 是函数 的两个极值点，且
　　（1）求证： ；
　　（2）求证：
　　（3）若函数 ，证明：当 且 时，
　　证明：
　　（1）
　　∵
　　∴ 由题设知， 是方程 即 的两个实根　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴ ，　　 　　　　　　　　　　　　　①
　　∴
　　由此得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　∵ ，∴ 由②得 ，
　　∴ 　　即
　　（2）注意到由②得 　　　　　　　　　　　　　　②′
　　令
　　则
　　又
　　∴ 当 时， ，g(a)在 内为增函数；
　　当 时， ，g(a)在 上为减函数
　　∴
　　∴ 由②′得　　 ，
　　故得
　　（3）
　　∵ 为 的两个实根，
　　∴ （将 与 建立联系）
　　∴
　　
　　∴
　　 　　　　　　　　③
　　又 ∵ ，　　 ∴ 　　　　　④
　　∵ ， ，　　 ∴
　　∴
　　而这里 x<2，∴ 即 　　　　　　⑤
　　于是由③，④，⑤得 　　　　　　　　　　　　⑥
　　此时再注意到这里 ， ，从而由 得
　　 ，因而由⑥得
　　 ，即待证不等式成立.
　　点评：对于（2），将证明不等式转化为寻求有关函数的最大值，是中学引入导数后不等式证明与转化的新的方略，也是函数的极值（或最值）问题对函数的单调性或某种条件下的绝对不等式的一种“反哺”或回报.
　　三、某种条件下不等式恒成立问题的认知与转化
　　导数的基本理论，为函数问题的研究注入了新的活力，为某种条件下恒成立的不等式问题与函数的单调性、函数的极值之间的相互联系和相互转化，筑就了新的通路.就这种意义上说，是中学数学的扩充与发展选择了这类问题，成就了它在高考备考中的重要地位.
　　例1、 设函数
　　（1）求 的单调区间和极值；
　　（2）若当 时恒有 ，试求a的取值范围。
　　解：
　　（1）
　　令 得
　　 或
　　注意到
　　∴ 当x　　当a　　当x>3a时， ， 单调递减；
　　∴ 的极小值 ；
　　 的极大值
　　∴ 的递减区间为 ， ；递增区间为（a，3a）；
　　 的极小值为 ，极大值为b.
　　（2）由 得 　　　　　　①
　　令 　　
　　则
　　抛物线 的对称轴为
　　∵ 02a，
　　∴ 在 [a+1，a+2]上递减，
　　∴ 由①得 当 时恒成立
　　 　　　　
　　 　　　　
　　∴ 所求a的取值范围为 。
　　点评：此例是在某种条件下不等式恒成立问题向函数的最值问题转化的一个典型范例.
　　例2 、已知定义在R上的函数 的图象与y轴的交点与原点的距离不大于1.
　　（1）求实数a的取值范围；
　　（2）是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数 在该区间上都是单调递增的？若存在，求出这样的区间；若不存在，请说明理由.
　　解：
　　（1） 图象与y轴交点为M(0，a)，
　　由题设得 ，
　　∴ 　　即
　　∴ 实数a的取值范围为[-1，1]；
　　（2）
　　∴
　　注意这里 ，将a视为主元，
　　并令 ，则 为a的一次（型）函数
　　∴ 对任意 恒成立，
　　 不等式 对任意 恒成立
　　 　　 　　 　　 　　 　　x<1或x>3
　　∴ 当 或 时 对任意 恒成立
　　∴ 对任意 ， 在 或 上都是单调递增的
　　∴ 存在区间 和 ，对任意的 ，函数 在该区间内均是单调递增函数.
　　点评：在适当的条件下“变更主元”，乃是化繁为简的一大策略.
　　例3、已知函数
　　（1）求函数 的反函数 及 的导数 ；
　　（2）假设对任意 ，不等式 成立，求实数m的取值范围.
　　解：
　　（1）由 ，得 ，
　　所以
　　
　　（2）由 ，得
　　 ，
　　设 ，
　　其中
　　于是原不等式对于 恒成立等价于 　　　　 ①
　　又 ，
　　注意到 ，
　　故有 ，
　　从而可知 与 均在 上单调递增
　　∴ ①
　　
　　
　　∴ 所求m的取值范围为
　　例4、 函数 在区间 内可导，导函数 是减函数，且 ，设 ， 是曲线 在点 处的切线方程，并设函数 .
　　（1）用 、 、 表示m；
　　（2）证明：当 时， ；
　　（3）若关于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.
　　解：
　　（1）由 在点 处切线方程为 ，
　　即
　　∴
　　（2）证明：令 ，
　　则
　　因为 递减，所以 递增，
　　因此，当 时， ；
　　当 时，
　　所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，
　　由此可知 的最小值为0
　　因此有 0即
　　（3）解： ，a>0是不等式成立的必要条件.以下讨论设此条件成立.
　　 ，即 对任意 成立的充要条件是 　　　　①
　　令 ，
　　于是 对任意 成立的充要条件是 ，
　　由 =0得
　　当 时， ；
　　当 时， ，
　　所以，当 时， 取最小值.
　　因此 成立的充要条件是 ，
　　即 　　　　
　　∴由①，②得不等式 对任意 成立的充要条件是
　　 　　　　 ③
　　显然，存在a、b使③成立的充要条件是：不等式 　　④ 有解，
　　解不等式④得 　　　　　　　　　　 ⑤
　　因此，⑤式即为b的取值范围，③式即为实数a与b所满足的关系.
　　例5、已知函数 ，
　　（1）若 b=2，且函数 存在单调递减区间，求a的取值范围.
　　（2）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交 、 于点M、N，证明： 在点M处的切线与 在点N处的切线不平行.
　　解：
　　（1）当b=2时，
　　∴
　　∵ 存在单调递减区间　　　　　　　　　　　　 ①
　　∴ 有解
　　∴ 不等式 有解
　　∴ 不等式 有正数解　　　　　　　　 ②
　　（Ⅰ）当a>0时，抛物线 开口向上，不等式 总有正数解；
　　（Ⅱ）当a<0时，抛物线 开口向下，
　　若 ，设 为方程 的实根，
　　则有 ，方程 至少有一个正根，
　　从而 必须正解，此时-1　　若 ，则对任意x>0，不等式 恒成立，②不成立
　　于是综合上述讨论得所求a的取值范围为
　　（2）设点 ， 且 ，则
　　点M、N的横坐标为 ，
　　∴ 曲线 在点M处切线的斜率 ，
　　∴ 曲线 在点N处切线的斜率
　　假设 在点M处的切线与 在点N处的切线平行，
　　则有 ，即
　　∴ 　　（人为地构造 ）
　　
　　
　　∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　当 ，则有
　　令 　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
　　则
　　∵ t>1，　　 ∴
　　∴ 在 上单调递增
　　∴ > 　　 即 >0　　　　　　 ③
　　∴ 由②，③得　　 　　　　　　　　④
　　即有　　 　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
　　这与①矛盾
　　∴ 上述假设不成立
　　∴ 曲线 在点M处的切线与曲线 在点N处的切线不平行.
　　点评：对于本例，它在题面上与其它例题不属于同一类问题，但在解法上又借鉴了这些例题的解题方法.
　　对于（1），借助导数，将问题转化为一元二次不等式 有正数解；对于（2），在作出“相反的假设”之后寻觅矛盾的过程中，运用了设出辅助函数 ，由 的单调性与最值导出绝对不等式④，进而推出矛盾的策略.由此可见，本课题中的三个问题之间相互贯通、相互转化的解题方略，对解决有关问题时的潜在作用.