内切圆
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文档简介
课 题：《内切圆》
序 号： （ 13 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：1知道什么是三角形的内切圆；
2会解决三角形内切圆的相关问题。
重 点：解决三角形内切圆的相关问题。
难 点：解决三角形内切圆的相关问题。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边与⊙I都相切，则
△ABC是⊙I的 三角形；△ABC是⊙O的 三角形；
⊙I叫△ABC的 圆；⊙O叫△ABC的 圆，点I
是△ABC的 心，点O是△ABC的 心。
确定圆的条件是什么
什么样的三点可以确定一个圆？过任意三
角形的三个顶点可以作一个圆吗？试试看。
结合上题图，说说什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？什么是三角形的外心？
4.角平分线的性质定理：
5.角平分线的判定定理：
引入：
如图下左图，是一张三角形的木料，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
思考：
如上右图，有三个圆，你觉得哪个更符合此题的要求呢？
这样的圆满足什么条件？
你能作出符合这样条件的圆吗？
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切.
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆O
分析：如图，假设符合条件的圆O已经做出，那么它应当与
△ABC的三条边都相切，这个圆的圆心O到△ABC的三条边
的距离都等于半径。如何找到这个圆心O呢？
因为OE、OF都是半径，所以 =
又因为到角两边距离相等的点在
所以点O在
同理，点O也在 和 的平分线上
即：点O是△ABC的 的交点
现在，你会做例1了吗？试试看。
与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，我们把它叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 三角形.
跟踪练习1：
如图1，△ABC是⊙O的 三角形，⊙O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是△DEF的 圆，点I是△DEF的 心，
它是三角形 的交点。
如图3，四边形DEFG是⊙O的 四边形， ⊙O是四边形DEFG的 圆.
跟踪练习2：判断
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3. 等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
例2： 如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，则∠BOC=
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
（3）若∠BOC=100 °，则∠A =
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。
例3．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如
果AE=2，CD=1，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
例4：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别
和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
例5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的
长分别为a、b、c，求其内切圆O的半径长。
例6： 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一
座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三
边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮
助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
跟踪练习：三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点
（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想
在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，
请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
例7：如图, ABC 的内心为I,外心为O.求证:
例8：如图,I是ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交ABC的外接圆于点E.
求证：（1）EI=EB
一．填空题：
1．如图⑴，、分别切⊙于点、，点、在⊙上.
⑴若∠=50°，则=______，=_______，________.
⑵若=130°，则=_______，=_______，________.
2．如图⑵，⊙是的内切圆，、、是切点。
⑴若∠A=70°，则∠EDF的度数是________；⑵若∠EDF=50°，则∠A的度数是________。
3．如图⑶，点O是△ABC的内心。
若∠A=70°，则∠BOC的度数是________；⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是________。
4．如图⑷，在△ABC，若∠C=90°，点O是内心，则∠AOB的度数是_________。
5．如图⑶，点O是△ABC的外心。
⑴若∠A=70°，则∠BOC的度数是________；⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是________。
二．解答题：
1．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，⊙O的半径r=4，AB=10，BC=14，AC=12。求△ABC的面积
2．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C=90°，若AB=12，BC=5，
求⊙O的半径
3.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
预 习 检 测
A
B
C
I
．
．
O
课 前 准 备
交 流 合 作
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
图1
I
D
E
F
．
图2
D
E
F
G
.O
图3
．
A
B
C
O
A
B
C
F
D
E
A
B
C
O
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
A
C
B
·
C
B
A
O
I
·
C
B
A
O
I
E
D
达 标 检 测
序 号： （ 13 ）
年 级： 九年级 单元名称：第28章 圆
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 页
学习目标：1知道什么是三角形的内切圆；
2会解决三角形内切圆的相关问题。
重 点：解决三角形内切圆的相关问题。
难 点：解决三角形内切圆的相关问题。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本 页，完成下列各题：
如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边与⊙I都相切，则
△ABC是⊙I的 三角形；△ABC是⊙O的 三角形；
⊙I叫△ABC的 圆；⊙O叫△ABC的 圆，点I
是△ABC的 心，点O是△ABC的 心。
确定圆的条件是什么
什么样的三点可以确定一个圆？过任意三
角形的三个顶点可以作一个圆吗？试试看。
结合上题图，说说什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？什么是三角形的外心？
4.角平分线的性质定理：
5.角平分线的判定定理：
引入：
如图下左图，是一张三角形的木料，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
思考：
如上右图，有三个圆，你觉得哪个更符合此题的要求呢？
这样的圆满足什么条件？
你能作出符合这样条件的圆吗？
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切.
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆O
分析：如图，假设符合条件的圆O已经做出，那么它应当与
△ABC的三条边都相切，这个圆的圆心O到△ABC的三条边
的距离都等于半径。如何找到这个圆心O呢？
因为OE、OF都是半径，所以 =
又因为到角两边距离相等的点在
所以点O在
同理，点O也在 和 的平分线上
即：点O是△ABC的 的交点
现在，你会做例1了吗？试试看。
与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，我们把它叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 三角形.
跟踪练习1：
如图1，△ABC是⊙O的 三角形，⊙O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是△DEF的 圆，点I是△DEF的 心，
它是三角形 的交点。
如图3，四边形DEFG是⊙O的 四边形， ⊙O是四边形DEFG的 圆.
跟踪练习2：判断
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3. 等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
例2： 如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，则∠BOC=
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
（3）若∠BOC=100 °，则∠A =
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。
例3．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如
果AE=2，CD=1，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
例4：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别
和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
例5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的
长分别为a、b、c，求其内切圆O的半径长。
例6： 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一
座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三
边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮
助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
跟踪练习：三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点
（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想
在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，
请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
例7：如图, ABC 的内心为I,外心为O.求证:
例8：如图,I是ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交ABC的外接圆于点E.
求证：（1）EI=EB
一．填空题：
1．如图⑴，、分别切⊙于点、，点、在⊙上.
⑴若∠=50°，则=______，=_______，________.
⑵若=130°，则=_______，=_______，________.
2．如图⑵，⊙是的内切圆，、、是切点。
⑴若∠A=70°，则∠EDF的度数是________；⑵若∠EDF=50°，则∠A的度数是________。
3．如图⑶，点O是△ABC的内心。
若∠A=70°，则∠BOC的度数是________；⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是________。
4．如图⑷，在△ABC，若∠C=90°，点O是内心，则∠AOB的度数是_________。
5．如图⑶，点O是△ABC的外心。
⑴若∠A=70°，则∠BOC的度数是________；⑵若∠BOC=130°，则∠A的度数是________。
二．解答题：
1．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，⊙O的半径r=4，AB=10，BC=14，AC=12。求△ABC的面积
2．如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C=90°，若AB=12，BC=5，
求⊙O的半径
3.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
预 习 检 测
A
B
C
I
．
．
O
课 前 准 备
交 流 合 作
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
图1
I
D
E
F
．
图2
D
E
F
G
.O
图3
．
A
B
C
O
A
B
C
F
D
E
A
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A
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古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
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达 标 检 测