苏科版数学九年级下册 7.6 用锐角三角函数解决问题 随堂测试（含答案）

随堂测试
7.6用锐角三角函数解决问题
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．工人师傅将截面为矩形的木条锯成矩形ABCD和矩形AEFG两部分如图所示，C，B，G在一条直线上，CB＝a，BG＝b，∠AGB＝β，则点E到CG的距离等于（　　）
A．acosβ+bsinβ B．asinβ+btanβ
C．acosβ+btanβ D．asinβ+btanβ
2．如图，将道具△ABC斜靠在墙OE上，已知∠ACB＝90°，测得∠CAO＝α，∠BAC＝β，CO＝m，则AB的长为（　　）
A． B．
C．m sinα cosβ D．
3．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
4．某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α，则楼房AB的高为（　　）
A．35sinα米 B．35tanα米 C．米 D．米
5．如图，天封塔是宁波港城的重要建筑物．小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知塔高CD＝a，则此时测量点A与塔的水平距离AB为（　　）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
6．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
7．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）
A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
8．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP是（　　）
A．3.5海里 B．4海里 C．7海里 D．14海里
9．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（　　）
A．40海里 B．（20+10）海里
C．40海里 D．（10+10）海里
10．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　）
A．60（）米 B．30（）米 C．（90﹣30）米 D．30（﹣1）米
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于 　 　．
12．已知一斜坡的坡角α＝60°，那么该斜坡的坡度为 　 　．
13．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 　 　米．
14．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．则斜坡CD的长为 　 　．（结果保留根号）
15．某斜坡的坡比为1：，则该斜坡的坡角α＝　 　°．
16．一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为 　 　米．
17．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 　 　米（结果保留根号）．
18．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 　 　米．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．某地的一座人行天桥如图所示，天桥的高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米（PB的长）处，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：（参考数据：≈1.732，≈1.414）．
（1）若新坡面坡角为a，求坡角a的度数；
（2）有关部门决定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
20．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
21．为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的北偏东55°方向，C位于学校南偏东20°方向，C在A的南偏西25°方向（30+30）km处．学生分两组同时从学校出发，第一组乘客车去A地，第二组乘公交车前往C地，客车的速度是40km/h，公交车的速度是30km/h，哪组同学先到达目的地？请说明理由．
22．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）
23．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．
（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1． C．
2． D．
3． B．
4． B．
5． C．
6． A．
7． A．
8． C．
9． D．
10． B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11． ．
12． ．
13． 3．
14． 80米．
15． 30．
16． 400．
17． 1200（﹣1）．
18． 1500．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα＝＝，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由如下：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴＝，
解得：AD＝6（米），
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝CD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（6﹣6）米，
∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（6﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
20．解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．
21．解：第二组先到，
理由：作BD⊥AC于D．
设BD＝x，
∵AE∥BN，
∴∠BAE＝∠NBA＝55°，
∴∠BAC＝30°，∠ABC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴CD＝BD＝x，
∵sinC＝，
∴BC＝＝＝x，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣30°＝60°，tan∠ABD＝，
∴AD＝BD tan∠ABD＝x，
∵AC＝（30+30）km，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60km，BC＝x＝30km，
∴第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷30＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地．
22．解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝＝CD，
∵BC∥AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝＝＝BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴BD﹣BD＝20海里，
解得：BD＝10（+1）海里，
∴CD＝BD＝（30+10）海里≈47海里，
∴AC＝CD≈66（海里），
答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．
23．解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝80nmile，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝40（nmile）
答：渔船航行40nmile与小岛B的距离最近．
（2）∵BM＝40nmile，MC＝40nmile，
∴，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝80（nmile），
答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是80nmile．