高三第二轮复习专题:函数,不等式及导数的应用[下学期]

（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得又所以
即的取值范围为
【题型三】利用导数与函数的单调性的关系解题
例5、 已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调区间和值域；
（2）设a≥1, 函数g(x)=x3-3a2x-2a, x∈[0,1], 若对于任意x1∈[0,1], 总存在x0∈[0,1], 使得g((x0) =f(x1)成立，求a的取值范围
解： （1）对函数f(x)=求导，得f’(x)=，令f’(x)=0解得x=或x=. 当x变化时，f’(x), f(x)的变化情况如下表所示：
x 0 (0,) 1
f’(x) - 0 +
f(x) ↘ -4 ↗ -3
所以，当时，f(x)是减函数；
当时，f(x)是增函数
当时，f(x)的值域是[-4，-3]
（II）对函数g(x)求导，则g’(x)=3(x2-a2).因为，当时，
g’(x)<5(1-a2)≤0, 因此当时，g(x)为减函数，
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a, 即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1-2a-3a2,-2a]， 即 ,
专题三：函数、不等式与导数的关系的应用
高考要求：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2、可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；
问题的提出：
利用导数直接可以解决许多问题，例如，求曲线的切线，函数的单调区间，函数的极值等. 同时导数也常与其它知识交汇考查，如不等式、三角、数列、解析几何等等.我们以近年高考试题为主，讨论导数的综合应用问题
题型讲解 ( http: / / www. / wxc / )
【题型一】用导数求极值
例1、 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值 ( http: / / www. / wxc / )
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程 ( http: / / www. / wxc / )
解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，
依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即
解得a=1，b=0 ( http: / / www. / wxc / )
∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1） ( http: / / www. / wxc / )
令f′（x）=0，得x=－1，x=1 ( http: / / www. / wxc / )
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故
f（x）在（－∞，－1）上是增函数，
f（x）在（1，+∞）上也是增函数 ( http: / / www. / wxc / )
若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数 ( http: / / www. / wxc / )
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值 ( http: / / www. / wxc / )
（2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上 ( http: / / www. / wxc / )
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0 ( http: / / www. / wxc / )
因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0） ( http: / / www. / wxc / )
注意到点A（0，16）在切线上，有
16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0），
化简得x03=－8，解得x0=－2 ( http: / / www. / wxc / )
所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0 ( http: / / www. / wxc / )
例2.（04年重庆卷.理20）设函数. （Ⅰ）求导数，并证明有两个不同的极值点； （Ⅱ）若不等式成立，求的取值范围.
解：（I）
因此是极大值点，是极小值点.
（II）因
又由（I）知：
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得：
【题型二】利用导数与切线斜率的关系解题
例3、 已知b＞－1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切 ( http: / / www. / wxc / )
（1）求b与c的关系式（用c表示b）;
（2）设函数F（x）=f（x）g（x）在（－∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围 ( http: / / www. / wxc / )
解：（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x= ( http: / / www. / wxc / )
由f（）=g（），得（b+1）2=4c ( http: / / www. / wxc / ) ∵b＞－1，c＞0，∴b=－1+2 ( http: / / www. / wxc / )
（2）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc ( http: / / www. / wxc / )
∴F′（x）=3x2+4bx+b2+c ( http: / / www. / wxc / ) 令F′（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0，
则Δ=16b2－12（b2+c）=4（b2－3c） ( http: / / www. / wxc / )
若Δ=0，则F′（x）=0有一个实根x0，且F′（x）的变化如下：’
x （－∞，x0） x0 （x0，+∞）
F′（x） + 0 +
于是x=x0不是函数F（x）的极值点 ( http: / / www. / wxc / )
若Δ＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1、x2（x1＜x2），且F′（x）的变化如下：
x （－∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
F′（x） + 0 － 0 +
由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是F（x）的极小值点 ( http: / / www. / wxc / )
综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数F（x）在（－∞，+∞）上有极值点 ( http: / / www. / wxc / )
由Δ=4（b2－3c）＞0得b＜－或b＞ ( http: / / www. / wxc / )
∵b=－1+2，∴－1+2＜－或－1+2＞ ( http: / / www. / wxc / )
解得0＜c＜7－4或c＞7+4 ( http: / / www. / wxc / )
故所求c的取值范围是（0，7－4）∪（7+4，+∞） ( http: / / www. / wxc / )
例4、（山东卷）已知是函数的一个极值点，其中.
（I）求与的关系式； （II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
解：(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0 0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上递减.
(II) 证明:对任意的,恒有 ( http: / / wxc. / )
【解析】(I)由已知推得,从而有
(II) 证法1:当时,
当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数
所以对任意的
因此结论成立 ( http: / / wxc. / )
证法2:
因此结论成立 ( http: / / wxc. / )
证法3:
由
对上式两边求导得
解①式得a≥1或a, 解②式得， 又,故a的取值范围内是.
【题型四】构造函数求导解题
例6、 设x＞－2，n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小 ( http: / / www. / wxc / )
分析：从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）过渡到（1+x）k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明 ( http: / / www. / wxc / )但本题若用导数解就比较简单了 ( http: / / www. / wxc / )
解：设f（x）=（1+x）n－1－nx，当n=1时，f（x）=0，∴（1+x）n=1+nx ( http: / / www. / wxc / )
当n≥2，n∈N*时， f′（x）=n（1+x） n－1－n=n［（1+x）n－1－1］，
令f′（x）=0，得x=0 ( http: / / www. / wxc / )
当－2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（－2，0］上为减函数;
当x＞0时，f（x）＞0 ( http: / / www. / wxc / )∴f（x）在［0，+∞）上为增函数 ( http: / / www. / wxc / )
∴当x＞－2时，f（x）≥f（0）=0 ( http: / / www. / wxc / ) ∴（1+x）n≥1+nx ( http: / / www. / wxc / )
综上，得（1+x）n≥1+nx ( http: / / www. / wxc / )
例7、 利用导数求和：
（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *） ( http: / / www. / wxc / )
（2）Sn=C+2C+3C+…+nC （n∈N *） ( http: / / www. / wxc / )
解:（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= （n+1）,
当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,
两边对x求导，得 Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=()= ( http: / / www. / wxc / )
（2）∵（1+x）n=1+Cx+C x2+…+C xn,
两边对x求导，得： n（1+x）n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nC x n－1 ( http: / / www. / wxc / )
令x=1,得n·2n－1=C +2C+3C+…+nC, 即Sn=C+2C +3C +…+nC=n·2n－1 ( http: / / www. / wxc / )
课堂练习：
例6 已知x>1，证明不等式x>ln(1+x) ( http: / / www. / wxc / )
分析：构造辅助函数f(x)=x-ln(1+x)，只需证明f(x)在(1,)上递增即可 ( http: / / www. / wxc / )
证明：设 f(x)=x-ln(1+x),x>1，则
在上是增函数
又f(1)=1-ln2>1-lne=0
即
课外练习：
1 、 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间 ( http: / / www. / wxc / )
剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b ( http: / / www. / wxc / )
解： （x）=3x2－6ax+2b，由题意知 即
解之得a=，b=－ ( http: / / www. / wxc / )此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1） ( http: / / www. / wxc / )当（x）>0时，x>1或x<－， 当（x）<0时，－∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1） ( http: / / www. / wxc / )
2、已知函数f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2 ( http: / / www. / wxc / )
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间 ( http: / / www. / wxc / )
解：（1）由题意知f（0）=1，（1）=1，f（1）=－1 ( http: / / www. / wxc / )
∴∴c=1，a=，b=－，f（x）=x4－x2+1 ( http: / / www. / wxc / )
（2）∵（x）=10x3－9x，
由10x3－9x>0，得x∈（－，0）∪（，+∞），
则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞） ( http: / / www. / wxc / )
3、（05辽宁卷） 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.
解、（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…12分
4、 已知,其中,
设, ( http: / / wxc. / )
(I) 写出;