2022-2023学年浙江省杭州市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知：，：，则它们的距离为( )
A. B. C. D.
2. 用分层抽样的方法，从某中学人其中高一年级人，高二年级人，高三年级人中抽取若干人．已知从高一抽取了人，则从高二和高三年级共抽取的人数为( )
A. B. C. D.
3. 已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，，，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是( )
A.
B. 事件与事件互斥
C. 事件与事件相互独立
D.
7. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
10. 某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是( )
A. 恰有名女生和恰有名女生
B. 至少有名男生和至少有名女生
C. 至少有名女生和全是女生
D. 至少有名女生和全是男生
11. 已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的可能取值为( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知实数，满足，记，则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 直线过且与圆相切，则直线的方程为______．
14. 如图，大小为的二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱若，，，则______．
15. 某电池厂有，两条生产线制造同一型号可充电电池．现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的平均数及方差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本平均数 样本方差
生产线产品
生产线产品
则个产品组成的总样本的平均数为______，方差为______．
16. 关于的不等式恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的三个顶点分别为、、．
求的垂直平分线的一般式方程；
求的面积．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，，分别是，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有人参加了这次问答，将他们的成绩满分分分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并估计这人问答成绩的中位数和平均数；结果保留两位有效数字
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为的样本，再从样本中任意抽取人，求这人的问答成绩均在内的概率．
20. 本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，C.
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
21. 本小题分
已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是．
求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为人或人的概率．
22. 本小题分
已知圆：以及圆：．
求过点，并经过圆与圆的交点的圆的标准方程；
设，过点作斜率非的直线，交圆于、两点．
过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设，过原点的直线与相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由：，得：，
所以与的距离为．
故选：．
利用两平行线间的距离公式求解即可．
本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设从三个年级中共抽取人，则，解得，
则从高二和高三年级共抽取的人数为．
故选：．
由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以由，
所以，即，
因为为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，
所以，
故．
故选：．
由题设条件推得，再由四点共面可求得．
本题主要考查了空间向量基本定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：令得，
当时，：，：，，重合，
当时，，
故“”是“”的充要条件，
故选：．
由直线的位置关系与充分必要条件的概念求解，
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以平面的一个法向量．
点到平面的距离为．
故选：．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题主要考查了点面距离的求解，向量方法的应用是求解问题的关键，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有，，，四个基本事件，
则，不正确；
事件含有的基本事件有个：，，，，，，，，
其中事件、，，，发生时，事件也发生，
即事件，可以同时发生，不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有个，
，，
即事件与事件相互独立，C正确；
，不正确．
故选：．
利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答．
本题考查互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
则
，
，
，
，，
，．
故选：．
先利用基底向量表示，，再利用向量的夹角公式求解即可．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义，利用向量求夹角的正弦值，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图，
不妨设正三角形的边长为 ，则，
设，则，
，，
，即，即，
点轨迹为：，则，
所以，
当时，，即；
当时，令，则表示与连线的斜率，如图，且，
设直线与圆相切，直线化为，
则圆心到直线距离，解得或，
，故，
则当时，取得最大值为，
的最大值为；
综上：的最大值为．
故选：．
建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求．
本题考查三角形中的几何计算，考查运算求解能力，本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得点轨迹方程，且将转化为关于的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得的范围，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，，，
若，，，
若，，，，
当时，，
故选：．
利用空间向量的运算公式，即可解出．
本题考查了空间向量的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加唱歌比赛，
在下列各组事件中，是互斥事件的是：恰有名女生和恰有名女生；至少有名女生和全是男生．
而其余的：至少有名男生和至少有名女生，都含有名男生和名女生的事件，因此不是互斥事件；
至少有名女生和全是女生，都含有两名女生的事件，因此不是互斥事件．
故选：．
利用互斥事件的定义即可判断出结论．
本题考查了互斥事件的判定，考查了推理能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆位置关系的应用，是较难题．
由圆的方程求得圆心坐标与半径，可得圆心到的距离为，得到圆上的点到点的距离的最大值为，最小值为，再由，可得，从而得到的取值范围，结合选项得答案．
【解答】
解：圆：的圆心，半径为，
圆心到的距离为，
圆上的点到点的距离的最大值为，最小值为，
再由，可得以为直径的圆和圆有交点，
得，即，
结合选项可得，的值可能取和．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：，
因为，，
设，，
故有解，
所以，故，
即，
所以或，易知．
故选：．
通过三角换元后借助于辅助角公式结合已知即可求得的范围．
本题主要考查三角函数应用，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
故，即直线与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
此时，解得，
所以直线方程为，即；
综上，直线方程为或．
故答案为：或．
由直线与圆相切得，分直线斜率存在与否两种情况，利用点线距离公式求得相应参数，由此求得直线的方程．
本题主要考查圆的切线方程的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，
二面角大小为，，，，
，，，，
，即，
，
故答案为：．
利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，利用向量的数量积，即可得出答案．
本题考查空间向量的线性运算，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，设生产线产品的样本为，平均数为，生产线产品的样本为，平均数为，两生产线的样本为，平均数为，
则，
又，，
所以，
所以．
故答案为：；．
先由平均数的定义求得，再利用方差与平均数的公式分别求得，进而求得．
本题主要考查平均数和方差的求解，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得，得，
则原不等式可转化为在上恒成立，
设直线：，上半圆：，即，半径为，
则由点线距离公式可知，表示上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，且直线：过定点，如图，
设圆心原点到直线的距离为，由于上半圆上的点到直线的最大距离为，
所以，即，即，解得或，
所以的取值范围为．
故答案为：．
先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，结合图像，可得，由此可得的取值范围．
本题考查不等式的恒成立问题，考查直线与圆的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据中点坐标公式，中点的坐标，又，
所以垂直平分线的斜率为，所以其方程为，即；
根据中所求可得直线的方程为：，整理得：，
又，
点到直线的距离，
故三角形的面积．
【解析】求得的中点坐标，结合直线垂直求得垂直平分线的斜率，即可求得直线方程；
根据的长度以及点到直线的距离，即可求得三角形面积．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
18.【答案】解：证明：如图，设为的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，所以．
在正方形中，，所以，．
所以四边形为平行四边形，．
因为平面，平面，所以平面．
以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，，
则．
设平面的法向量为，
则即令，则．
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，
建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角．
本题主要考查线面平行的判定定理和直线与平面所所成的角，属于中档题．
19.【答案】解：由图可知，，解得，
设中位数为，则，所以，
这人问答成绩的平均数约为；
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为的样本，
则问答成绩在内的有人，分别记为，；
问答成绩在内的有人分别记为，，．
从中任意抽取人，则实验的样本空间
，，，，，，，，，，共有个样本点，
设事件为人的问答成绩均在内的概率，则，，，
所以这人的间答成绩均在内的概率．
【解析】根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；
根据分层抽样在内的有人，分别记为，，问答成绩在内的有人分别记为，，，从中任意抽取人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20.【答案】解：证明：平面，平面，
，
，，，
，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
由可建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，，，
设平面的一个法向量为，且，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，且，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，由图形可得为锐角，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】根据线面垂直的性质和判定定理，即可证明结论；
由可建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量的坐标运算，即可得出答案．
本题考查二面角和空间向量的应用，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21.【答案】解设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
，
甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
；
设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件为三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人都没有获得该高校综合评价录取资格的概率为
，
故三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为
；
记为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，
则甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为人或人的概率
，
，
，
故．
【解析】设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，从而可得，，从而利用独立性求概率；
设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则，先求三人都没有获得该高校综合评价录取资格的概率，再求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
记为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，从而求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为人或人的概率．
本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
22.【答案】解：设所求圆的方程为，
又过点，则，
所以，即，
故圆的标准方程为．
易知的圆心，半径，
由直线过点且斜率非，则可设：，
即点到直线的距离，
故，
由，且直线过点，则可设：，
即点到直线的距离，
故，
故，
当且仅当，即时，取等号，
故四边形的面积为最大值为．
设，，设直线：，
联立，消得，则，即，
直线的方程为，直线的直线方程为，
联立，解得，
由，则，即，
所以在定直线．
【解析】利用圆系方程即可得解；
由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案；
利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直线求交点，求点的横坐标表示，可得答案．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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