第十一章 机械运动
4 单 摆（第 1 课 时）
知能要点
1. 能识别单摆和判断单摆做简谐运动的条件.
2. 能应用单摆的的周期公式进行有关计算.
基础巩固 飞跃，这里是最好的起点……
1．如图为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲:l乙＝2:1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲:l乙＝4:1
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在的星球的重力加速度之比g甲:g乙＝4:1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲:g乙＝1:4
2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为( ) 21*cnjy*com
A．T1>T2 B．T1＝T2
C．T13. 如图甲所示是利用沙摆描绘简谐运动图象的装置．当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙，在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的曲线．已知木板被水平拉动的速度为0.20m/s，如图乙所示的一段木板的长度为0.60m，则这次实验沙摆的摆长大约为(g取π2)( )．
A. 0.56m B. 0.65m C. 1.00m D. 2.25m
4. 在相同时间内，单摆A振动了6次，单摆B振动了8次，若两摆的摆长相差14cm，那么A摆的摆长是______m，B摆的摆长是________m.
5．(山东模拟)图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？21*cnjy*com
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少？[来
6 如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin(πt) cm
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
7. 固定在竖直面内的光滑圆弧轨道BC所对圆心角度数小于10°，其中点O是圆弧的最低点．D是OC的中点．在OC间和OD间分别固定两个光滑斜面．现将三个小球(都可视为质点)同时从B、C、D由静止释放，分别沿BO、CO斜面和DO斜面滑动，它们到达O点经历的时间依次是tB、tC、tD，下列结论正确的是( )．
A. tB＞tC＞tD
B. tC＞tD＞tB
C. tC＞ tB＞tD21*cnjy*com
D. tC＝tD＞tB
8. 如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时( )．
A. 乙在平衡位置的左方，正向右运动
B. 乙在平衡位置的左方，正向左运动
C. 乙在平衡位置的右方，正向右运动
D. 乙在平衡位置的右方，正向左运动
9. 甲、乙两人观察同一单摆的振动，甲每经过2.0 s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过3.0 s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期可能是( )．
A. 0.5 s B. 1.0 s
C. 2.0 s D. 3.0 s
思维拓展 课内与课外的桥梁是这样架起的……
10. 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力．用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示．由此图线提供的信息作出下列判断：①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1.1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0.6s.上述判断中正确的是( )．
A. ①③ B. ②④
C. ①② D. ③④
11. 某人在山脚下(设与海平面等高)，测得一单摆的周期为T0，在山顶上测得此单摆的周期变化了ΔT，设山脚处地球的半径为R，则此山高度为________．
12 一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点，制成单摆装置。在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器。让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图象如图所示，则小球振动的周期为________ s，此单摆的摆长为________ m(重力加速度g取10 m/s2，取π2≈10)。
13．如图是单摆振动时摆球位移随时间变化的图象(取重力加速度g＝π2m/s2)。
(1)求单摆的摆长l；
(2)估算单摆偏离竖直方向的最大角度(单位用弧度表示)。21*cnjy*com
开放探究 对未知的探究，你也行！
14. 如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球由多高处自由落下(?)．
15. 如图所示，半径为2m的光滑圆环竖直放置，A点为圆环的最低点，B为圆环的最高点，∠CBA小于5°，CDA为光滑斜面，CEA为光滑圆弧面．小球由静止开始分别从C点沿光滑斜面CDA和圆弧面CEA滑至A点，时间分别为t1、t2，试比较t1、t2的大小．
某同学的解题思路如下：
根据机械能守恒，由静止开始分别从C点沿光滑斜面CDA和沿圆弧CEA滑至A点的速度大小相等，而沿斜面CDA滑下的路程较短，所用时间也较短，所以t1＜t2.
你认为该同学的解法正确吗？若正确，请计算出t1、t2的大小；若不正确，指出错误处并通过计算说明理由．
16. 如图所示为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点O处，另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下，经过时间t 与B发生正碰，碰后两球分别沿相反方向在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道．当两球第二次相碰时( )
A. 所经过的时间为4t
B. 所经过的时间为2t
C. 将仍在O处相碰
D. 可能在O点以外的其他地方相碰
走进高考 解剖真题，体验情境。
17. (2011·上海六校联考)如图所示是演示砂摆振动图像的实验装置，砂摆的摆幅较小时可看作简谐振动．砂摆摆动时，手拉纸的速率恒为0.3 m/s，实验结果如图所示．由图所提供的信息，可测得砂摆的周期为________，砂摆的摆长为________(g取10 m/s2)．
参考答案
单摆
第 1 课 时
则频率f＝＝1.25 Hz
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时刻摆球在B点
(3)由T＝2π得L＝＝0.16m
6 ABD
7. D 解析：本题考查单摆的周期公式和牛顿第二定律有关知识．由单摆振动的等时性．沿BO运动的小球经历的时间是＝沿CO、DO斜面滑动的小球经历的时间由牛顿第二定律与运动学公式计算，2R sina＝gt2sina，即t＝3，因此选D.
由T＝2π得L＝＝4 m
13：(1)1m (2)0.05rad
解析：(1)根据周期公式有T＝2π
由图象可知单摆周期T＝2s
解得l＝1m
(2)单摆振动时偏离竖直方向的最大角度θ≈
解得θ≈0.05rad。
14. h＝g(2n－1)2＝(n＝1,2,3，…)
解析：球由点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动，因为OA?R，所以球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等．小球由A点由静止释放运动到O点的时间为(2n－1)，n＝1,2,3，…，由于O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝(n＝1,2,3，…)．
15. 不正确，因为t1＝＝s＝0.89s，t2＝＝＝0.7s，所以t1＞t2.
解析：本题考查牛顿第二定律和单摆周期公式的综合应用，要求学生学会运用近似处理方法．
不正确．由于小球沿圆弧CEA运动不是匀变速运动，不能仅根据末速度大小和路程来比较t1与t2的大小．
正确解：设CDA斜面倾角为θ，
则2Rsinθ＝at＝gt sin θ(R为圆半径)，
解得t1＝＝s＝0.89s，
物体沿圆弧CEA运动时，由于圆弧CEA对应的圆心角小于5°，所以小球的运动可以看成单摆的简谐振动，所以有t2＝＝＝0.7s，
所以t1＞t2.
16. B、C
17. 1 s 0.25 m
第十一章 机械运动
4 单 摆（第 2 课 时）
知能要点
1. 能设计实验研究单摆的周期与摆长的关系
2. 能分析用单摆测定重力加速度的实验..
基础巩固 飞跃，这里是最好的起点……
1. 用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )．
A. 由g＝看出，T一定时，g与l成正比21*cnjy*com
B. 由g＝看出，l一定时，g与T2成正比
C. 由于单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，利用g＝可算出当地的重力加速度
D. 同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比
2. 在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议其中对提高测量结果精度有利的是( )．
A. 适当加长摆线
B. 质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的
C. 单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D. 单摆偏离平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆摆动的周期
3．将秒摆的周期变为4s，下面哪些措施是正确的( )
A．只将摆球质量变为原来的1/4 B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍21*cnjy*com
4. 利用单摆测重力加速度的实验中，如果偏角小于5°，但测出的重力加速度的数值偏大，可能的原因是( )．
A. 振幅较小
B. 测摆长时，只量出摆线的长度，没有从悬挂点量到摆球中心
C. 数振动次数时，少计了一次
D. 数振动次数时，多计了一次
5. 在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学用毫米刻度尺测得摆线长L0＝945.8mm；用游标卡尺测得摆球的直径如图甲所示，则摆球直径D＝__________mm；用秒表测得单摆完成n＝40次全振动的时间如图乙所示．则秒表的示数t＝__________ s，当地的重力加速度g＝__________. (请用给定物理量符号表示)
思维拓展课内与课外的桥梁是这样架起的……
6. 用单摆测定重力加速度的实验中，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的( )．
A. 单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B. 把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C. 以摆线长作为摆长来计算
D. 以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算21*cnjy*com
7. 如图甲所示是利用砂摆演示简谐运动图象的装置．当盛砂的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的砂在板上形成的曲线显示出砂摆的振动位移随时间变化的关系．第一次以速度v1匀速拉动木板，图乙给出了砂摆振动的图线；第二次使砂摆的振幅减半，再以速度v2匀速拉动木板，图丙给出了砂摆振动的图线．由此可知，砂摆两次振动的周期T1和T2以及拉动木板的速度v1和v2的关系是( )．
A. T1∶T2＝2∶1 B. T1∶T2＝1∶2
C. v1∶v2＝2∶1 D. v1∶v2＝1∶2
8. 某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示. 他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝_______.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将____________________________________________________
(填“偏大”“偏小”或“相同”)．21*cnjy*com
9．某实验小组拟用如题图1所示装置研究滑块的运动。实验器材有滑块、钩码、纸带、米尺、带滑轮的木板，以及由漏斗和细线组成的单摆等。实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时单摆垂直于纸带运动方向摆动，漏斗漏出的有色液体在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置。
①在题图2中，从________纸带可看出滑块的加速度和速度方向一致。
②用该方法测量滑块加速度的误差主要来源有：________、________(写出2个即可)。
开放探究 对未知的探究，你也行！
10. 用砂摆可以粗略的描绘简谐运动图象．如图所示，木板在水平面内以速度v做匀速直线运动，同时砂摆在竖直平面内做简谐运动，则砂摆中漏下的细沙在木板上形成振动图线. 现只给一把刻度尺，要求测出木板的速度(漏斗大小忽略不计)，则：
①需要直接测量的物理量有________和________(用文字和相应字母表示)．
②已知当地重力加速度g，用测出的量表示木板速度的表达式为v＝________.
11. 某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约3cm左右、外形不规则的大理石块代替小球．他设计的实验步骤是：
A. 将石块用一根不可伸长的细线系好，结点为M，将线上的端固定于O点；
B. 用刻度尺测量OM间细线的长度L作为摆长；
C. 将石块拉开一个大约30°的角度，然后由静止释放；
D. 从摆球摆到最高点时开始计时，测出50次全振动的总时间t，由T＝得出周期；
E. 改变OM间细线的长度再做几次实验，记下相应的L和T；
F. 求出多次实验中测得的L和T的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g＝求出重力加速度g.
(1)你认为该同学以上实验步骤中有错误的是________(填步骤序号)；
(2)该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？________.
(3)在修正实验过程的错误后，若测得OM的长为L1时，对应周期为T1；OM长为L2时周期为T2，则当地重力加速度值为________．
12. 两个同学想测一下单摆的周期，来验证一下T＝2π是否正确，可是现在只有尼龙细线、钢球、刻度尺等物品，找不到计时器．他们利用现有仪器能否测出单摆的周期？
走进高考 解剖真题，体验情境。
13 (2012·天津理综)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。
①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是 （填字母代号）
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
② 他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L=0.9990m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球直径为 mm，单摆摆长为 m.
③下列振动图象真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin5°=0.087，sin15°=0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是 （填字母代号）。
14. (2011·上海抽测)宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
(1)宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从中选择的一个器材是________．
(2)某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数
量n(个)
1
2
3
4
5
30次全振
动的时间t(s)
13.40
19.20
23.21
26.83
30.01
振动周
期T(s)
0.45
0.64
0.77
0.89
1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以________为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线．
(3)根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝________(s)．若每个螺帽的质量用m0表示，则T与m的关系式为T＝________(s)．
(4)若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26 s，则该物体质量为________m0.
参考答案
单摆
第 2 课 时
对周期为4s的单摆，T＝2π＝4s，故l＝4l0。故C对D错。
4. D
5. 20.20 78.4
解析：本题考查用单摆测定重力加速度实验中各物理量的测量方法及具体读数，掌握秒表、游标卡尺的测量方法，由图可知，摆球直径D＝20.20 mm，秒表的示数t＝78.4 s，再由单摆周期公式可推导出当地的重力加速度
g＝.
11. (1)C、D (2)偏大 (3)
12. 正常人心脏每跳动一次的时间约为0.8 s，单摆开始振动时，一个同学记录单摆振动次数，一个数自己的脉搏，同时进行．设单摆振动n1次时间内脉搏跳动了n2次，单摆周期为T，振动时间为t.t＝n1T＝0.8n2 所以T＝0.8.
13．解析：（1）在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，是为了防止动过程中摆长发生变化，如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，方便调节摆长，故AC正确， 故选AC （2）游标卡尺示数为：d=12mm+1×0.1mm=12.1mm； 单摆摆长为L=l-=0.9990m-0.00605m=0.99295m （3）当摆角小于等于5°时，我们认为小球做单摆运动，所以振幅约为：1×0.087m=8.7cm，当小球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让小球做30-50次全振动，求平均值，所以A合乎实验要求且误差最小 故选A 故答案为：①AC ②12.1 0.99295 ③A
14 (1)秒表 (2)T2
(3)
(4)7.94
