答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）
A、{9，10，11} B、{9，10，12}
C、{9，11，12} D、{10，11，12}
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：分别由t=0，1，2求出N（t），排除错误选取项A，B，D，从而得到正确选项．
解答：解：当t=0时，?ABCD的四个项点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），
符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选项D不正确．
当t=1时，?ABCD的四个项点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），
同理知N（t）=12，故选项A不正确．
当t=2时，?ABCD的四个项点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），
同理知N（t）=11，故选项B不正确．
故选C．
点评：本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看，就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．
2、在集合{a，b，c，d}上定义两种运算+和*如下
那么d*（a+c）（ ）
A、a B、b
C、c D、d
考点：集合的含义。
专题：新定义。
分析：先计算（a+c）的结果，再计算d*（a+c）的值．
解答：解：由上表可知：（a+c）=c，
故d*（a+c）=d*c=a，
故选A
点评：本题考查集合的含义，正确理解2种运算．
3、下面四个命题正确的是（ ）
A、10以内的质数集合是{0，3，5，7} B、“个子较高的人”不能构成集合
C、方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D、偶数集为x|x=2k，x∈N
考点：集合的含义。
专题：阅读型。
分析：根据质数的定义进行列举出10以内的质数集合即可判定选项A，根据集合的确定性即可进行判定选项B，根据集合的互异性即可进行判定选项C，根据偶数集的定义即可判定选项D．
解答：解：10以内的质数集合是{2，3，5，7}，故选项A不正确；
“个子较高的人”不能构成集合，不满足集合的确定性，故选项B正确；
方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}，不满足集合的互异性，故选项C不正确；
偶数集为{x|x=2k，k∈N}，故选项D不正确．
故选：B
点评：本题主要考查了集合的三个特性（互异性、确定性、无序性），属于基础题．
4、下列关于集合的说法正确的是（ ）
A、{1}?{（1，2）} B、?没有子集
C、设U为全集，则（CUA）∩A=? D、{（a，b）}={（b，a）}
5、下列事物中能形成集合的是（ ）
A、很小的数 B、有趣的书
C、大于8的实数 D、高个子
考点：集合的含义。
专题：证明题。
分析：根据集合的定义，某些确定的元素构成一个集合，它具有确定性，互异性，无序性，由此定义对四个选项进行判断即可
解答：解：A选项不对，很小的数，标准不定，故不能构成集合；
B选项不对，有趣的书，不满足集合的确定性，故不能构成集合；
C选项正确，大于8的实数可以构成一个集合；
D选项不正确，高个子的人不能形成一个集合，不满足集合的确定性．
故选C
点评：本题考查集合的含义，正确解题的关键是理解集合的定义，掌握其特征确定性，互异性，无序性．
6、若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A、{0} B、{﹣1，0}
C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，﹣1，0，1，2}
考点：集合的含义。
分析：欲求出集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}，主要看此集合中元素的含义，须将x﹣a看成整体，求其范围即可．
解答：解：∵{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}
={x﹣a∈Z|﹣1≤x﹣a≤+1}
={z∈Z|﹣1≤z≤1}
={﹣1，0，1}．
故选C．
点评：本题主要考查了集合的含义，属于基础题．
7、已知M={（x，y）|2x+3y=4320，x，y∈N}，N={（x，y）|4x﹣3y=1，x，y∈N}，则（ ）
A、M是有限集，N是有限集 B、M是有限集，N是无限集
C、M是无限集，N是有限集 D、M是无限集，N是无限集
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：先分别判断集合M和N中含有元素的个数，然后再分别判断M与N是有限集合还是无限集合．
解答：解：∵2x+3y=4320，x，y∈N的解是有限个，
∴M={（x，y）|2x+3y=4320，x，y∈N}是有限集合．
∵4x﹣3y=1，x，y∈N的解是无限个，
∴N={（x，y）|4x﹣3y=1，x，y∈N}是无限集合．
故选B．
点评：本题考查集合的含义，解题时要认真审题，仔细解答．
8、下列各条件中，不能确定一个集合的是（ ）
A、重庆一中高个子的全体 B、数轴上到原点的距离大于1的点的全体
C、小于100的质数的全体 D、方程x2+2x+7=0的解的全体
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：根据集合的确定性判断高个子的学生不确定，所以“重庆一中高个子的全体”不能确定一个集合，
其余均能确定一个集合．
解答：解：A选项：重庆一中高个子的全体，根据集合的确定性知：高个子的学生不确定．
B选项：数轴上到原点的距离大于1的点的全体为：{x|x＞1或x＜﹣1}．
C选项：小于100的质数的全体：{2，3，5，7，…97}．
D选项：方程x2+2x+7=0的解的全体：?．
故选A．
点评：本题重点考查集合的定义，用到了集合的确定性．
9、考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
（1）比较小的数；
（2）不大于10的非负偶数；
（3）所有三角形；
（4）直角坐标平面内横坐标为零的点；
（5）高个子男生；
（6）某班17岁以下的学生．
A、（1）（5） B、（2）（3）（4）（6）
C、（2）（4）（6） D、（3）（4）（6）
考点：集合的含义。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是集合元素的特点：互异性、确定性、无序性、丰富性．在（1）（5）当中元素都不确定，故此两组中的元素不能构成集合．其它几组中的元素都具备集合元素的特点，故可以构成集合．
解答：解：（1）比较小的数，何为较小具有一定的不确定性，故不能够成集合；（2）不大于10的非负偶数，即0、2、4、6、8、10六个数，具备集合元素的特点，故可以构成集合；（3）所有三角形，虽然有无限个，但依然满足集合中元素的特点，故可以构成集合；（4）直角坐标平面内横坐标为零的点，虽然有无限个，但依然满足集合中元素的特点，故可以构成集合；（5）高个子男生，到底多高才算高个子具有不确定性，所以不能够成集合；（6）某班17岁以下的学生，在班级确定的情况下17岁以下学生是明确的，满足几何元素的特点，故可以构成集合．
故选B．
点评：本题考查的是集合元素的特点：互异性、确定性、无序性、丰富性．特别是在元素的确定性上经常会考查问题，比如多高才算高个子、多长才算很长、多小才算很小等规律值得同学们总结归纳和思考．
10、下列各项中，能组成集合的是（ ）
A、高一（3）班的好学生 B、嘉兴市所有的老人
C、不等于0的实数 D、我国著名的数学家
考点：集合的含义。
专题：常规题型。
分析：对于A、B、D“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定，所以A、B、D不能构成集合．
解答：解：∵对于A、B、D“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．
∴A、B、D不能构成集合．
故选C
点评：本题考查的是集合的定义．判断一个研究对象的总体是不是集合，就是要判断这个总体中的研究对象是否具有集合中元素的特性即元素的确定性、互异性和无序性．
11、下列各项中不能组成集合的是（ ）
A、所有正三角形 B、《数学》教材中所有的习题
C、所有数学难题 D、所有无理数
考点：集合的含义。
专题：常规题型。
分析：根据集合的三要素：确定性、互异性、无序性得到选项．
解答：解：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性
“数学难题”是不确定的元素
故所有数学难题不能组成集合
故选C
点评：本题考查集合中元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．
12、下列条件能形成集合的是（ ）
A、爱好飞机的一些人 B、充分小的负数全体
C、某班本学期视力较差的同学 D、某校某班某一天所有课程
考点：集合的含义。
分析：由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A，B，C答案，得到结果．
解答：解：由集合元素的确定性，
A中爱好飞机的一些人，不满足确定性，故A错误；
B中充分小的负数全体，不满足确定性，故B错误；
C中某班本学期视力较差的同学，不满足确定性，故C错误；
故选D
点评：本题考查的知识点是集合的定义，关键是要根据集合元素的确定性，判断元素是否满足条件．
13、下列各对象可以组成集合的是（ ）
A、与1非常接近的全体实数 B、某校2002﹣2003学年度笫一学期全体高一学生
C、高一年级视力比较好的同学 D、与无理数π相差很小的全体实数
14、考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
（1）比较小的数；（2）不大于10的非负偶数；（3）所有三角形；（4）高个子男生．
A、（1）（4） B、（2）（3）
C、（2） D、（3）
考点：集合的含义。
专题：阅读型。
分析：根据集合元素的特征，（1）利用元素的确定性判断正误；（2）通过元素的确定性判断正误；（3）确定性与互异性判断正误；（4）利用元素的确定性判断正误；
解答：解：（1）比较小的数，与元素的确定性相悖，不正确；
（2）不大于10的非负偶数，满足集合元素的特征，正确；
（3）所有三角形，满足集合元素的特征，正确；
（4）高个子男生，与元素的确定性相悖，不正确；
故选B．
点评：本题是基础题，考查集合的基本概念的应用，送分题．
15、下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A、某班所有高个子的学生 B、著名的艺术家
C、一切很大的书 D、倒数等于它自身的实数
考点：集合的含义。
专题：阅读型。
分析：根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．
解答：解：
A：某班所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除
B：著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，排除
C：一切很大的书，因为很大的书不确定，所以不满足集合的确定性，排除
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选D
点评：本题考查集合的含义．通过对集合元素三个性质：确定性，无序性，互异性进行考查，属于基础题．
16、设集合，，如果把b﹣a叫做集合x|a≤x≤b的“长度”，那么集合M∩N的“长度”是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：集合的含义。
专题：新定义。
分析：根据所给的集合的表示形式，求出两个集合的交集．根据所给的新定义，写出集合的长度，即把不等式的两个端点相减．
解答：解：∵，
∴集合M∩N=，
∵b﹣a叫做集合x|a≤x≤b}的“长度”，
∴集合M∩N的“长度”是
故选A．
点评：本题考查集合的含义，本题解题的关键是看清楚什么叫集合的长度，本题是一个基础题，注意简单数字的运算不要出错．
17、数轴上到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为（ ）
A、{0，3} B、{0，1，2，3}
C、{1，2} D、{x|1≤x≤2}
考点：集合的含义。
专题：常规题型；数形结合。
分析：本题利用数轴即可解决，由于|AB|=1，所以数轴上到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为线段AB．
解答：解：如图所示：
∵|AB|=1
∴到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为线段AB
∴点的集合为{x|1≤x≤2}
故选D．
点评：本题考查了集合的含义以及集合的表示法，考查了数形结合的思想，属于基础题．
18、定义A﹣B={x|x∈A且x?B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（ ）
A、M B、N
C、{1，4，5} D、{6}
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：利用新定义，欲求集合N﹣M，即找属于N但不属于M的元素组成的集合，由已知集合M，N可得．
解答：解；∵A﹣B={x|x∈A且x?B}，∴N﹣M={x|x∈N且x?M}，
又∵M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，
∴N﹣M={6）
故选D
点评：本题主要借助新定义考查了集合之间的关系的判断，属于基础题．
19、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程x2+2=0的实数解”中，能够表示成集合的是（ ）
A、② B、③
C、②③ D、①②③
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：由集合元素的确定性①不能构成集合；②③可以．
解答：解：①中不满足集合元素的确定性，故不能构成集合；②③能构成集合，③为?
故选C
点评：本题考查集合的概念、集合元素的性质及对?的理解，属基本概念的考查．
20、点的集合M={（x，y）|xy≥0}是指（ ）
A、第一象限内的点集 B、第三象限内的点集
C、第一、第三象限内的点集 D、不在第二、第四象限内的点集
考点：集合的含义。
专题：转化思想。
分析：xy≥0指x和y同号或至少一个为零，结合象限的概念可选．
解答：解：xy≥0指x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．
故选D
点评：本题考查对集合的概念和表示的理解，属基础知识的考查．
二、填空题（共5小题）
21、非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法．
②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ①③ ．（写出所有“融洽集”的序号）
考点：集合的含义。
专题：新定义；对应思想。
分析：根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．
解答：解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，
且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；
②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求；
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取，满足要求，
∴③符合要求；
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，
∴④不符合要求；
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，
这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．
故答案为：①③．
点评：本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．
22、定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 14 ．
考点：集合的含义。
专题：新定义。
分析：由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B中所有元素的和．
解答：解：∵A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．
A={1，2，3}，B={1，2}，
∴A*B={2，3，4，5}，
2+3+4+5=14．
故答案为：14．
点评：本题考查集合的概念，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用．
23、下列命题正确的个数 0
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；
（3）1，，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
考点：集合的含义。
专题：计算题。
分析：利用集合的元素的特点：确定性、互异性、无序性判断出（1）（3）错；利用集合的表示法中的描述法要看代表元素判断出（2）错；利用象限中点坐标的特点判断出（4）错．
解答：解：对于（1）“很小”不确定，故（1）错
对于（2）集合{y|y=x2﹣1}表示的是函数y=x2﹣1的值域；
而集合{（x，y）|y=x2﹣1}表示的是y=x2﹣1图象上的点，故（2）错
对于（3）；，所以些数组成的集合有3个元素，故（3）错
对于（4））集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）错
故答案为：0
点评：本题考查集合的 元素的三要素：确定性、互异性、无序性；集合的表示法：描述法．
24、已知：集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A．b∈A}，则A※A= {0，2，3，4，5，6} ．
考点：集合的含义。
专题：计算题；新定义。
分析：由题意先求出a、b所有取值，再根据定义的集合运算求出所有的a+b值，即求出这种运算的结果．
解答：解：由题意知，集合A={0，2，3}，则a与b可能的取值为：0，2，3，
∴a+b的值可能为：0，2，3，4，5，6；
∴A※A={0，2，3，4，5，6}．
故答案为：{0，2，3，4，5，6}．
点评：本题考查了学生对新的集合运算法则理解和应用能力，注意抓住运算的本质．
25、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令．给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的λ∈R，有；（4）=．（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是 （1），（3），（4） ．
考点：集合的含义。
专题：阅读型。
分析：依据题中的定义运算“*”，逐一检验各个选项中的等式两边是否相等，从而得出结论．
解答：解：（1）设=（x，y），∵若与共线，则=（λx，λy ），*=x?λy﹣y?λx=0，故（1）正确；
（2），而=np﹣mq，故（2）不正确；
（3）对任意的λ∈R，有*=（λm，λn ）*（p，q）=λmq﹣λnp，
λ（*）=λ （mq﹣np）=λmq﹣λnp，∴*=λ（*） 成立，故（3）正确；
（4）+=（mq﹣np）2+（mp+nq）2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，
=（m2+n2）（p2+q2）=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，故（4）正确．
综上，（1），（3），（4）正确，
故答案为：（1），（3），（4）．
点评：本题考查两个向量的数量积的运算，共线向量的性质，属于创新题．
三、解答题（共5小题）
26、对于集合M、N，定义M?N={x|x∈M且x?N}，M?N=（M?N）∪（N?M），设A={y|4y+9≥0}，B={y|y=﹣x+1，x＞1}，求A?B．
27、已知集合A=a1，a2，…，ak（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A，T=（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a?A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
考点：元素与集合关系的判断；集合的含义。
专题：综合题；分类讨论；转化思想。
分析：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．
（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a?A，得到0?A得到（ai，ai）?T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）?T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．
集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是
S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
因为0?A，所以（ai，ai）?T（i=1，2，，k）；
又因为当a∈A时，﹣a?A时，﹣a?A，
所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）?T（i，j=1，2，，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，
即．
（III）解：m=n，证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，根据定义，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，
且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立，
故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．
点评：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．
28、对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：探究型。
分析：（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；
（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．
解答：解：（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；
∴1，3，4，5∈A，且2，6?A；（5分）
设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2
当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．
当m，n同分别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数
（m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2?A同理6?A（8分）
（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；
2，6，10，14，?A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）
点评：本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想方法进行归纳出集合元素的性质的结论，考查了分析和解决问题的能力．
29、已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．
1）若A是空集，求a的取值范围；
2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
考点：元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．
解答：解：1）若A是空集，
则方程ax2﹣3x+2=0无解
此时△=9﹣8a＜0
即a＞
2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=
∴a=0或a=
3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得
满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2=0根的情况，是解答本题的关键．
30、设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
考点：元素与集合关系的判断。
专题：综合题。
分析：（1）根据设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．知：元素只有一个时，即x=10﹣x，即x=5；元素有二个时，即两个正数的和为10；元素有三个时，必有一个元素5，另外两个正数的和为10
（2）6个元素的集合S，元素必须要是1，9；2，8；3，7；4，6；中任意选三对
（3））①s?{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个，
若5?s，则s中的元素个数为偶数个；
③符合题意的S共有31个
解答：解：（1）一个：5
二个：1，9等
三个：1，5，9等
（2）存在．一共有四个
S=1，2，3，7，8，9或S=1，2，4，6，8，9或S=1，3，4，6，7，9或S=2，3，4，6，7，8
（3）①s?{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个，
若5?s，则s中的元素个数为偶数个；
③符合题意的S共有31个．等等
点评：本题考查了元素与集合关系的判断，对知识的总结能力，属于基础题．
集合与函数的概念——集合的含义
一、选择题（共20小题）
1、设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）
A、{9，10，11} B、{9，10，12}
C、{9，11，12} D、{10，11，12}
2、在集合{a，b，c，d}上定义两种运算+和*如下
那么d*（a+c）（ ）
A、a B、b
C、c D、d
3、下面四个命题正确的是（ ）
A、10以内的质数集合是{0，3，5，7}
B、“个子较高的人”不能构成集合
C、方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}
D、偶数集为x|x=2k，x∈N
4、下列关于集合的说法正确的是（ ）
A、{1}?{（1，2）}
B、?没有子集
C、设U为全集，则（CUA）∩A=?
D、{（a，b）}={（b，a）}
5、下列事物中能形成集合的是（ ）
A、很小的数 B、有趣的书
C、大于8的实数 D、高个子
6、若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A、{0} B、{﹣1，0}
C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，﹣1，0，1，2}
7、已知M={（x，y）|2x+3y=4320，x，y∈N}，N={（x，y）|4x﹣3y=1，x，y∈N}，则（ ）
A、M是有限集，N是有限集
B、M是有限集，N是无限集
C、M是无限集，N是有限集
D、M是无限集，N是无限集
8、下列各条件中，不能确定一个集合的是（ ）
A、重庆一中高个子的全体
B、数轴上到原点的距离大于1的点的全体
C、小于100的质数的全体
D、方程x2+2x+7=0的解的全体
9、考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
（1）比较小的数；
（2）不大于10的非负偶数；
（3）所有三角形；
（4）直角坐标平面内横坐标为零的点；
（5）高个子男生；
（6）某班17岁以下的学生．
A、（1）（5） B、（2）（3）（4）（6）
C、（2）（4）（6） D、（3）（4）（6）
10、下列各项中，能组成集合的是（ ）
A、高一（3）班的好学生 B、嘉兴市所有的老人
C、不等于0的实数 D、我国著名的数学家
11、下列各项中不能组成集合的是（ ）
A、所有正三角形 B、《数学》教材中所有的习题
C、所有数学难题 D、所有无理数
12、下列条件能形成集合的是（ ）
A、爱好飞机的一些人
B、充分小的负数全体
C、某班本学期视力较差的同学
D、某校某班某一天所有课程
13、下列各对象可以组成集合的是（ ）
A、与1非常接近的全体实数
B、某校2002﹣2003学年度笫一学期全体高一学生
C、高一年级视力比较好的同学
D、与无理数π相差很小的全体实数
14、考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ）
（1）比较小的数；（2）不大于10的非负偶数；（3）所有三角形；（4）高个子男生．
A、（1）（4） B、（2）（3）
C、（2） D、（3）
15、下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A、某班所有高个子的学生 B、著名的艺术家
C、一切很大的书 D、倒数等于它自身的实数
16、设集合，，如果把b﹣a叫做集合x|a≤x≤b的“长度”，那么集合M∩N的“长度”是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、数轴上到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为（ ）
A、{0，3} B、{0，1，2，3}
C、{1，2} D、{x|1≤x≤2}
18、定义A﹣B={x|x∈A且x?B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（ ）
A、M B、N
C、{1，4，5} D、{6}
19、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程x2+2=0的实数解”中，能够表示成集合的是（ ）
A、② B、③
C、②③ D、①②③
20、点的集合M={（x，y）|xy≥0}是指（ ）
A、第一象限内的点集 B、第三象限内的点集
C、第一、第三象限内的点集 D、不在第二、第四象限内的点集
二、填空题（共5小题）
21、非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法．
②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 _________ ．（写出所有“融洽集”的序号）
22、定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 _________ ．
23、下列命题正确的个数 _________
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；
（3）1，，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
24、已知：集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A．b∈A}，则A※A= _________ ．
25、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令．给出以下四个命题：
（1）若与共线，则；
（2）；
（3）对任意的λ∈R，有；
（4）=．（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、对于集合M、N，定义M?N={x|x∈M且x?N}，M?N=（M?N）∪（N?M），设A={y|4y+9≥0}，B={y|y=﹣x+1，x＞1}，求A?B．
27、已知集合A=a1，a2，…，ak（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A，T=（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a?A，则称集合A具有性质P．
（1）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（2）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
28、对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
29、已知集合A={x∈R|ax2﹣3x+2=0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
30、设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
