子集和真子集
一、选择题（共20小题）
1、下列命题正确的是（ ）
A、很小的实数可以构成集合
B、集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合
C、自然数集N中最小的数是1
D、空集是任何集合的子集
2、下列六个关系式：①{a，b}?{b，a}②{a，b}={b，a}③0=Φ④0∈{0}⑤Φ∈{0}⑥Φ?{0}其中正确的个数为（ ）
A、6个 B、5个
C、4个 D、少于4个
3、设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是（ ）
A、57 B、56
C、49 D、8
4、集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
5、设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A、16 B、8
C、7 D、4
6、集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是（ ）
A、32 B、31
C、16 D、15
7、已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
A、15 B、16
C、3 D、4
8、若集合A={0，3，4}，B={x|x=a?b，a∈A，b∈A，a≠b}，则B的子集的个数为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
9、若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（ ）
A、Q∪P B、P∩Q
C、P∪CRQ D、Q∪CRP
10、已知集合A?{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A共有（ ）
A、6个 B、5个
C、4个 D、3个
11、已知两个非空集合A、B满足A∪B={1，2，3}，则符合条件的有序集合对（A，B）个数是（ ）
A、6 B、8
C、25 D、27
12、满足条件??M?{0，1，2}的集合M 共有（ ）21cnjy
A、3个 B、6个
C、7个 D、8个
13、若全集U={0，1，2，3}且CUA={2}，则集合A的真子集共有（ ）
A、3个 B、5个
C、7个 D、8个
14、已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=x2，x∈M}，则集合N的真子集个数为（ ）
A、3 B、4
C、7 D、8
15、集合{x|x2﹣ax﹣1=0，a∈R}的子集个数是（ ）
A、4 B、3
C、1 D、与a的取值有关
16、已知集合A={x|x≥0}，B={0，1，2}，则（ ）
A、A?B B、B?A
C、A∪B=B D、A∩B=?
17、已知a为不等于零的实数，那么集合M={x|x2﹣2（a+1）x+1=0，x∈R}的子集的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、1个或2个或4个
18、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，若A={1，3}，B={2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个
A、14 B、12
C、13 D、11
19、已知集合A≠Φ，且A?{2，3，4}，则这样的集合A共有（ ）个．
A、5 B、6
C、7 D、8
20、设A、B是非空数集，定义：A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则A⊕B的非空真子集个数为（ ）
A、64 B、32
C、31 D、30
二、填空题（共5小题）21cnjy
21、以下六个关系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是 _________ 个
22、用适当的符号填空
（1） _________ （1，2）；（1，2） _________ {（x，y）|y=x+1}
（2） _________ ，
（3） _________ {x|x3﹣x=0}．
23、（2010?湖南）若规定E={a1，a2…a10}的子集为E的第k个子集，其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则
（1）{a1，a3}是E的第 _________ 个子集；
（2）E的第211个子集是 _________ ．
24、集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是 _________ ．
25、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，若A={1，3}，B={2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是 _________ 个．
三、解答题（共5小题）21*cnjy*com
26、附加题：
（1）已知集合A、B满足A∪B={1，2}，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来．
（2）若A∪B={1，2，3}，则满足条件的集合A、B有多少对？不要一一写出来．
27、设集合M={1，2，3，4，5，6}，对于ai，bi∈M，记ei=且ai＜bi，由所有ei组成的集合设为A={e1，e2，…ek}．
（1）求k的值；
（2）设集合B={ei′|ei′=，ei∈A}，对任意ei∈A，eJ′∈B，试求；
（3）设ei∈A，eJ′∈B，试求ei+ej′∈Z的概率．
28、已知{x|x2+ax+b=x=a}，M?（b，a），求M．
29、已知集合A={1，2，3，…，2n（n∈N*）}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．
（2）若集合S具有性质P，试判断集合 T={（2n+1）﹣x|x∈S）}是否一定具有性质P？并说明理由．
30、对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（1）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（2）若B?A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非 “谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说 明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）21*cnjy*com
1、下列命题正确的是（ ）
A、很小的实数可以构成集合 B、集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合
C、自然数集N中最小的数是1 D、空集是任何集合的子集
考点：集合的含义；子集与真子集。
专题：计算题。
分析：根据集合的确定性可知判定选项A，根据点集与数集的区别进行判定选项B，根据自然数的概念进行判定选项C，根据空集是任何集合的子集进行判定选项D即可．
解答：解：选项A，很小的实数可以构成集合中很小不确定，故不正确
选项B，集合{y|y=x2﹣1}是数集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是点集，不是同一个集合，故不正确
选项C，自然数集N中最小的数是0，故不正确，
选项D，空集是任何集合的子集，故正确，
故选D．
点评：本题主要考查了集合的含义，集合的子集，以及自然数的概念和点集与数集的区别，属于基础题．
2、下列六个关系式：①{a，b}?{b，a}②{a，b}={b，a}③0=Φ④0∈{0}⑤Φ∈{0}⑥Φ?{0}其中正确的个数为（ ）
A、6个 B、5个
C、4个 D、少于4个
3、设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是（ ）
A、57 B、56
C、49 D、8
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：因为集合S为集合A的子集，而集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26个，又集合S与集合B的交集不为空集，所以集合S中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S的个数．
解答：解：集合A的子集有：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，3，4，5，6}，?，共64个；
又S∩B≠?，B={4，5，6，7，8}，
所以S不能为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，?共8个，
则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是64﹣8=56．
故选B
点评：此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题．
4、集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
考点：子集与真子集。
分析：根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．
解答：解：根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；
故选B．
点评：元素数目较少时，易用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．
5、设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A、16 B、8
C、7 D、4
考点：子集与真子集。
专题：阅读型。
分析：由集合A={x|0≤x＜3且x∈N}，根据真子集的定义即可得出答案．
解答：解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，
∴集合A的真子集是：φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，
共有7个，
故选C．
点评：本题考查了集合的子集，属于基础题，关键是掌握真子集的定义．
6、集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是（ ）
A、32 B、31
C、16 D、15
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：根据子集的含义知，集合M={1，2，3，4，5}的子集中的元素是从集合M中取得，对于每一个元素都有取或不取两种方法，同乘法原理即可其子集的个数．
解答：解：∵含有n个元素的集合的子集共有：2n个，
∴集合M={1，2，3，4，5}的子集个数25=32．
故选A．
点评：本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的子集共有：2n个．
7、已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
A、15 B、16
C、3 D、4
考点：子集与真子集。
分析：根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而A有4个元素，计算可得答案．
解答：解：根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n﹣1个，
集合A有4个元素，
则其真子集个数为24﹣1=15，
故选A．
点评：本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n﹣1个，非空子集有2n﹣1个．
8、若集合A={0，3，4}，B={x|x=a?b，a∈A，b∈A，a≠b}，则B的子集的个数为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：由集合A中的元素有3个，得出集合B中的元素及元素个数n，把n代入集合的子集的公式2n中，即可计算出集合A子集的个数．
解答：解：由集合A={0，3，4}，代入公式得：集合B={0，12}，
则集合B的子集有：2n=22=4个．
故选B．
点评：解答本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，真子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身
9、若集合P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则{x|x＜4}=（ ）
A、Q∪P B、P∩Q
C、P∪CRQ D、Q∪CRP
考点：子集与真子集。
分析：根据题意，对于Q，求出x2＜4的解集，化为区间的形式，进而与P进行集合之间的运算：求交集，求并集，求补集等，最后与选项进行比较，即可得答案．
解答：解：对Q有，Q=（﹣2，2），
对于P，有P=（﹣∞，4）；
则Q∪P={x|x＜4}
所以A正确，
故选择A．
点评：本题考查集合间包含关系的判断，要先解不等式，再进行集合关系的判断，注意端点值的关系．
10、已知集合A?{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A共有（ ）
A、6个 B、5个
C、4个 D、3个
考点：子集与真子集。
分析：根据题意，集合A?{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，即A是{1，2，3}的所有含有奇数即1、3的真子集；列举即可得答案．
解答：解：根据题意，集合A?{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，
则A的可能情况有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{2，3}，
共5个，
故选B．
点评：本题不难，但要注意把握题意中的限制条件，进行列举时按一定的顺序，做到不重不漏．
11、已知两个非空集合A、B满足A∪B={1，2，3}，则符合条件的有序集合对（A，B）个数是（ ）
A、6 B、8
C、25 D、27
12、满足条件??M?{0，1，2}的集合M 共有（ ）
A、3个 B、6个
C、7个 D、8个
考点：子集与真子集。
专题：常规题型。
分析：{0，1，2}的子集共有23=8个，包括?和它本身；则满足条件的 M 共有 6 个，没有?和它本身．
解答：解：满足M?{0，1，2} 的 M 共有7个，同时满足??M 的M 只能是 6个．
故选 B
点评：本题考查集合子集的个数，容易出错的地方为?和它本身．注：空集是任何非空集合的真子集；任何集合的真子集没有它本身．
13、若全集U={0，1，2，3}且CUA={2}，则集合A的真子集共有（ ）
A、3个 B、5个
C、7个 D、8个
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．
解答：解：∵U={0，1，2，3}且CUA={2}，
∴A={0，1，3}
∴集合A的真子集共有23﹣1=7
故选C
点评：求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n﹣1．
14、已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=x2，x∈M}，则集合N的真子集个数为（ ）
A、3 B、4
C、7 D、8
15、集合{x|x2﹣ax﹣1=0，a∈R}的子集个数是（ ）
A、4 B、3
C、1 D、与a的取值有关
考点：子集与真子集。
专题：常规题型。
分析：由一元二次方程x2﹣ax﹣1=0的△=a2+4＞0恒成立，故方程一定有两个不等的根，则集合一定有两个元素，然后根据n元集的子集个数为2n个，我们易得到答案．
解答：解：∵x2﹣ax﹣1=0中△=a2+4＞0
故关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1=0有两个不等实根
故集合{x|x2﹣ax﹣1=0，a∈R}一定有2个元素
其子集有22=4个
故选A
点评：本题考查的知识点是集合的子集，其中根据x2﹣ax﹣1=0的△=a2+4＞0恒成立，判断集合元素的个数是解答本题的关键．
16、已知集合A={x|x≥0}，B={0，1，2}，则（ ）
A、A?B B、B?A
C、A∪B=B D、A∩B=?
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：因为集合B中的所有元素都属于集合A，而集合A中有不属于集合B的元素可知B包含于A．
解答：解：因为集合B中的元素0∈A，1∈A，2∈A，
所以B?A；
故选B
点评：此题考查学生理解子集的定义，是一道基础题．
17、已知a为不等于零的实数，那么集合M={x|x2﹣2（a+1）x+1=0，x∈R}的子集的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、1个或2个或4个
考点：子集与真子集。
专题：计算题；分类讨论。
分析：集合M中的方程x2﹣2（a+1）x+1=0，当根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解，即可得到集合有2个元素；当根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，即可得到集合有1个元素；当根的判别式小于0时，方程无解，得到集合为空集．分别求出各自子集的个数即可．
解答：解：当△=4（a+1）2﹣4＞0时，一元二次方程x2﹣2（a+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以集合M的元素有两个，
则集合M子集的个数为22=4个；
当△=4（a+1）2﹣4=0即a=﹣2时，一元二次方程x2﹣2（a+1）x+1=0有两个相等的实数根，所以集合M的元素有一个，
则集合M子集的个数为21=2个；
当△=4（a+1）2﹣4＜0时，一元二次方程x2﹣2（a+1）x+1=0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M的子集的个数为1个．
综上，集合M的子集个数为：1个或2个或4个．
故选D
点评：此题考查学生会利用分类讨论的思想及根的判别式判别方程解的情况，灵活运用集合子集的公式求集合子集的个数，是一道综合题．
18、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，若A={1，3}，B={2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个
A、14 B、12
C、13 D、11
考点：子集与真子集。
专题：计算题；创新题型。
分析：根据新定义A×B知道，新的集合A×B是由点（x，y）组成的集合，其中x属于A且y属于B．先根据所给的集合A，B求出A×B，最后再求出非空真子集的个数即可．
解答：解：∵A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，且A={1，3}，B={2，4}，
所以A×B={（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，
共有四个元素，则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2=14．
故选A．
点评：本题是关于集合运算的创新题，具有一定的新意．要求学生对新定义的A﹣B有充分的理解才能正确答．本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n﹣1个，非空子集有2n﹣1个．
19、已知集合A≠Φ，且A?{2，3，4}，则这样的集合A共有（ ）个．
A、5 B、6
C、7 D、8
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：由题意直接列出集合A的所以情况，即可得到结果．
解答：解：集合A≠Φ，且A?{2，3，4}，
则这样的集合A有{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}；
共有6个．
故选B．
点评：本题是基础题，考查集合的子集的个数问题的计算，注意审题A≠Φ，是易错题．
20、设A、B是非空数集，定义：A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则A⊕B的非空真子集个数为（ ）
A、64 B、32
C、31 D、30
考点：子集与真子集。
专题：计算题；新定义。
分析：由题意，根据定义A、B是非空数集，定义：A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，及A={1，2，3}，B={4，5，6}，先求出A⊕B中的元素个数，再由公式2n﹣2计算出A⊕B的非空真子集个数即可选出正确选项．
解答：解：由题意A、B是非空数集，定义：A⊕B={a+b|a∈A，b∈B}，
又A={1，2，3}，B={4，5，6}，
∴A⊕B═{5，6，7，8，9}，
∴A⊕B的非空真子集个数为25﹣2=30
故选D
点评：本题考查集合的表示法及依据定义确定集合中元素个数的方法，集合中子集个数求解公式，本题是一个新定义的题，理解定义中的规则是解题的关键
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21、以下六个关系式：①0∈{0}，②{0}??，③0.3?Q，④0∈N，⑤{a，b}?{b，a}，⑥{x|x2﹣2=0，x∈Z}是空集，其中错误的个数是 1 个
考点：元素与集合关系的判断；子集与真子集。
专题：综合题。
分析：根据元素与集合的关系可判定①④正确，而0.3∈Q故③不正确，根据集合与集合的关系可判定②⑤⑥正确，空集是任何集合的子集，集合自身是自身的子集，对于⑥方程无解故该集合为空集．
解答：解：根据元素与集合的关系可判定①④正确，③不正确
根据集合与集合的关系可判定②⑤⑥正确
空集是任何集合的子集可知②正确，集合自身是自身的子集可知⑤正确
对于⑥方程无解故该集合为空集．
故答案为：1
点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合的子集，属于基础题．
22、用适当的符号填空
（1） ∈ （1，2）；（1，2） ∈ {（x，y）|y=x+1}
（2） ∈ ，
（3） ? {x|x3﹣x=0}．
考点：元素与集合关系的判断；子集与真子集。
专题：计算题。
分析：（1）分析与区间的关系是元素与集合的关系，根据与区间端点的关系，易得到答案，由（1，2）表示一个点，而{（x，y）|y=x+1}表示一个点集，将点（1，2）的坐标代入验证即可得到答案．
（2）分析数与2+的大小关系，即可得到答案；
（3）根据两边均为集合的形式，分析解方程得到两边集合的列举法表示方式，进而根据集合关系的判定方法易得到答案．
解答：解：（1），x=1，y=2满足y=x+1，
（2）估算，，或，
（3）左边={﹣1，1}，右边={﹣1，0，1}
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，集合与集合关系的判断，其中分析符号两边进而选择恰当的符号来表示左右两边的关系是解答本题的关键．
23、若规定E={a1，a2…a10}的子集为E的第k个子集，其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则
（1）{a1，a3}是E的第 5 个子集；
（2）E的第211个子集是 {a1，a2，a5，a7，a8} ．
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：（1）由k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现；进而可得答案；
（2）十进制211等于二进制11001011，将其对应的集合写出即可．
解答：解：（1）{a1，a3}={a3，a1}化成二进制101（0为不出现，1为出现），
这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101；
二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；
故答案为：5．
（2）十进制211等于二进制11001011，
即对应集合{a8，a7，a4，a2，a1}，
又由{a8，a7，a4，a2，a1}={a1，a2，a5，a7，a8}
故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}．
故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}．
点评：本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证．
24、集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是 32 ．
考点：子集与真子集。
分析：根据题意，M中共有5个元素，根据集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．
解答：解：根据题意，M中共有5个元素，
则其子集的数目为25=32；
故答案为32．
点评：本题较简单，若M中有n个元素，则其所有子集的数目为2n．
25、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，若A={1，3}，B={2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是 14 个．
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：首先根据题意，求出集合A×B，可得其元素的数目，进而由元素数目与其子集数目的关系，计算可得其子集的数目，进而根据集合的子集的概念，排除空集与其本身；可得答案．
解答：解：根据题意，若A={1，3}，B={2，4}，
则点集A×B={（1，2）（1，4）（3，2）（3，4）}，其中有4个元素；
则其子集的个数有24=16个；其中包含空集与其本身；
非空真子集的个数为16﹣2=14；
故答案为14．
点评：本题考查集合的子集的个数，要求学生掌握由集合的元素数目判断其子集数目的方法，并且注意分清子集、真子集、非空子集等概念．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、附加题：
（1）已知集合A、B满足A∪B={1，2}，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写出来．
（2）若A∪B={1，2，3}，则满足条件的集合A、B有多少对？不要一一写出来．
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：（1）根据两个集合的并集，看出集合B，集合A是{1，2}的子集，根据一个已知集合的元素的个数，写出集合的子集的个数即可．
（2）利用并集的定义，若A∪B={1，2，3}，则满足条件的集合A、B有以下8种情况：①当A=?时，②当A={1}时，③当A={2}时，④当A={3}时，⑤当A={1，2}时，⑥当A={1，3}时，⑦当A={2，3}时，⑧当A={1，2，3}时，分别求出各种情况的个数相加即得．
解答：解：（1）∵A∪B={1，2}，
∴集合A，B可以是：?，{1，2}；
{1}，{1，2}；{1}，{2}；
{2}，{1，2}；{2}，{1}；
{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，?．
则满足条件的集合A、B有9对，
（2）若A∪B={1，2，3}，则满足条件的集合A、B有：
①当A=?时，B只有一种情况；
②当A={1}时，B要包含2，3．有2种情况；
③当A={2}时，B要包含1，3．有2种情况；
④当A={3}时，B要包含1，2．有2种情况；
⑤当A={1，2}时，B要包含3．有4种情况；
⑥当A={1，3}时，B要包含2．有4种情况；
⑦当A={2，3}时，B要包含1．有4种情况；
⑧当A={1，2，3}时，B只须是{1，2，3}的子集．有8种情况；
则满足条件的集合A、B有1+2+2+2+4+4+4+8=27对．
点评：本题考查集合的个数，解题的关键是看出两个集合之间的关系，本题是一个基础题．
27、设集合M={1，2，3，4，5，6}，对于ai，bi∈M，记ei=且ai＜bi，由所有ei组成的集合设为A={e1，e2，…ek}．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设集合B={ei′|ei′=，ei∈A}，对任意ei∈A，eJ′∈B，试求；
（Ⅲ）设ei∈A，eJ′∈B，试求ei+ej′∈Z的概率．
考点：子集与真子集；等可能事件的概率。
分析：（I）由ai，bi∈M，ei=且ai＜bi，且集合M已知，将ei列举出来；
（II）列举出集合A来，进而再列举出集合B来，代入求解；
（III）将ei+ej′列举出来求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，ai，bi∈M，ai＜bi，首先考虑M中的二元子集有{1，2}，{1，3，}，，{5，6}，共15个，
即C62=15个．
又ai＜bi，满足的二元子集有：{1，2}，{2，4}，{3，6}，
此时，{1，3}，{2，6}，
此时，{2，3}，{4，6}，
此时，共7个二元子集．
故集合A中的元素个数k=15﹣7+3=11．（4分）
（Ⅱ）列举
=．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）列举符合题意的有：
，，，，，，共6对．
所求概率为：．（13分）
点评：本题主要考查列举法求解有关问题．
28、已知{x|x2+ax+b=x=a}，M?（b，a），求M．21世纪教育网版权所有
考点：子集与真子集。
专题：计算题。
分析：通过{x|x2+ax+b=x=a}，求出a，b，然后求出M即可．
解答：解：由已知得x2+ax+b=x的两个根x1=x2=a，
即x2+（a﹣1）x+b=0的两个根x1=x2=a，
∴x1+x2=1﹣a=2a，得a=，x1x2=b=，
∴（b，a）=．∴M=?或．
点评：本题考查集合的子集问题，考查二次方程的根的求法，子集概念的理解，考查计算能力．
29、已知集合A={1，2，3，…，2n（n∈N*）}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．
（II）若集合S具有性质P，试判断集合 T={（2n+1）﹣x|x∈S）}是否一定具有性质P？并说明理由．
考点：子集与真子集。
专题：计算题；新定义。
分析：（Ⅰ）对于集合B，对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10与b2=10+m，
使得|b1﹣b2|=m成立，故B不具有性质P．对于集合C，可取m=1，对于该集合中任意一对元素c1=3k1﹣1，c2=3k2﹣1，
都有|c1﹣c2|=≠m，故集合C 有性质 P．
（Ⅱ） 任取t=（2n+1）﹣x0∈T，其中x0∈S，可得t∈A，所以，T?A，对S中的任意一对元素s1，s2，都有
|s1﹣s2|≠m，从集合T中任取元素t1=2n+1﹣x1，t2=2n+1﹣x2，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|，由|x1﹣x2|≠m，
可知|t1﹣t2|≠m，故集合T具有性质P．
解答：解：（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，，19，20}，B={x∈A|x=10，11，12，，19，20}不具有性质P．
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立．
集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质 P．
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1﹣1，c2=3k2﹣1，k1，k2∈N*
都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1．
（Ⅱ）若集合S具有性质P，那么集合T={（2n+1）﹣x|x∈S}一定具有性质P．
首先因为T={（2n+1）﹣x|x∈S}，任取t=（2n+1）﹣x0∈T，其中x0∈S，
因为 S?A，所以，x0∈{1，2，3，，2n}，从而，1≤（2n+1）﹣x0≤2n，即t∈A，所以T?A．
由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，
对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T={（2n+1）﹣x|x∈S}中任取元素t1=2n+1﹣x1，t2=2n+1﹣x2，
其中，x1，x2∈S，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|； 因为 x1，x2∈S，所以有|x1﹣x2|≠m，即|t1﹣t2|≠m，
所以集合T={（2n+1）﹣x|x∈S}具有性质P．
点评：本题考查了子集的概念，以及性质P的定义，运用了取特殊值的方法．
30、对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）若B?A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B0和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．
以上B1，B2，B3，B4，B5每个集合中的元素都是倍数关系．
考虑B'?B的情况，也即B′中5个元素全都是B的元素，
B中剩下6个元素必须从B1，B2，B3，B4，B5这5个集合中选取6个元素，
那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．
点评：本题是新定义题，考查了子集与真子集，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．
