空集的定义、性质及运算
一、选择题（共9小题）
1、函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（ ）
①若P∩M=?，则f（P）∩f（M）=?；
②若P∩M≠?，则f（P）∩f（M）≠?；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
2、已知集合，若A∩R=Φ，则实数m的取值范围是（ ）
A、m＜4 B、m＞4
C、0＜m＜4 D、0≤m＜4
3、设集合A={x|y=x2﹣4}，B={y|y=x2﹣4}，C={（x，y）|y=x2﹣4}，则下列关系：①A∩C=空集；②A=C；③A=B；④B=C．其中不正确的共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、下列四个集合中，是空集的是（ ）
A、{x|x+3=3} B、{x|x2﹣x+1=0}
C、{x|x2＜x} D、{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}
5、下列不等式中解集为?的是（ ）
A、x2≤0 B、|x﹣5|＞0
C、 D、
6、已知集合A={x||2x+1|＞3}，B={x|x2+x﹣6≤0}，则A∩B=（ ）
A、[﹣3，﹣2）∪（1，2]
B、（﹣3，﹣2]∪（1，+∞）
C、（﹣3，﹣2]∪[1，2）
D、（﹣∞，﹣3）∪（1，2]
7、下列四个集合中，是空集的是（ ）
A、{x|x+3=3} B、{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}
C、{x|x2＜x} D、{x|x2﹣x+1=0}
8、下列集合中，是空集的是（ ）
A、{x|x2+3=3} B、{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}
C、{x|﹣x2≥0} D、{x|x2﹣x+1=0，x∈R}
9、设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A、②③ B、①④
C、①③ D、①②④
二、填空题（共7小题）
10、给出5个关系式：（1）0∈?，（2）{x|x2+1=0}=?，（3）0≠?，（4）?≠?，（5）?=0，其中正确的个数有 _________ 个．
11、已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=?，则实数a的取值范围是 _________ ．
12、不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是 _________ ．
13、已知集合，若A∩R=Φ，则实数m的取值范围是 _________ ．
14、下列四个集合中，是空集的是 _________
①{x|x+3=3}；
②{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}；
③{x|x2≤0}④{x|x2﹣x+1=0，x∈R}．
15、在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 _________ ．
16、已知关于x的方程sinx+cosx=a的解集是空集，则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共3小题）
17、设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．21世纪教育网版权所有
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
（2）若B=φ，求m的取值范围．
（3）若A?B，求m的取值范围．
18、设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，Q={x|x﹣a≥0}
（1）设P?Q，求实数a的取值范围； （2）若P∩Q=?，求实数a的取值范围．
19、对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f （x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求证：A?B；
（3）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=?，求证：B=?．
答案与评分标准
一、选择题（共9小题）21世纪教育网版权所有
1、函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（ ）
①若P∩M=?，则f（P）∩f（M）=?；
②若P∩M≠?，则f（P）∩f（M）≠?；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算。
分析：由函数的表达式知，可借助两个函数y=x与y=﹣x图象来研究，分析可得答案．
解答：解：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．
设P=[x2，+∞），M=（﹣∞，x1]，
∵|x2|＜|x1|，f（P）=[f（x2），+∞），
f（M）=[f（x1），+∞），则P∩M=?．
而f（P）∩f（M）=[f（x1），+∞）≠?，故①错误．
同理可知②正确．设P=[x1，+∞），M=（﹣∞，x2]，
∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R．
f（P）=[f（x1），+∞），f（M）=[f（x2），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x1），+∞）≠R，
故③错误．同理可知④正确．
点评：考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借且图形的直观来来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路．
2、已知集合，若A∩R=Φ，则实数m的取值范围是（ ）
A、m＜4 B、m＞4
C、0＜m＜4 D、0≤m＜4
考点：集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算。
分析：据集合的公共属性知集合A表示方程的解，据A∩R=Φ知方程无解，故判别式小于0．
解答：解：∵
∴集合A表示方程的解集
∵A∩R=Φ
∴无解
∴△=m﹣4＜0
∴m＜4
∵m≥0
∴0≤m＜4
故选D
点评：本题考查通过集合的公共属性及集合间的关系将问题转化为方程无解．
3、设集合A={x|y=x2﹣4}，B={y|y=x2﹣4}，C={（x，y）|y=x2﹣4}，则下列关系：①A∩C=空集；②A=C；③A=B；④B=C．其中不正确的共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：集合的相等；空集的定义、性质及运算。
专题：常规题型。
分析：区分点集与数集，点集与数集的交集是空集，不可能等．
解答：解：集合A是数集，它是二次函数y=x2﹣4的自变量组成的集合，即A=R，
集合B也是数集，它是二次函数y=x2﹣4的值域，即B={y|y≥﹣4}；
而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合．因此②、③、④都不正确．
故选C
点评：本题考查了集合相等的定义，以及空集的性质．
4、下列四个集合中，是空集的是（ ）
A、{x|x+3=3} B、{x|x2﹣x+1=0}
C、{x|x2＜x} D、{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}
5、下列不等式中解集为?的是（ ）
A、x2≤0 B、|x﹣5|＞0
C、 D、
考点：空集的定义、性质及运算；集合关系中的参数取值问题。
专题：计算题。
分析：分别加以判断：根据平方非负性得出A的解集不是空集，根据绝对值大于或等于0得出B的解集不是空集，根据二次根号大于或等于0得出D的解集不是空集，因此只要说明C选项的解集是空集即可．
解答：解：根据平方非负性，x2≥0，因此不等式x2≤0的解集为{1}，选项A不是空集；
对于B，|x﹣5|＞0的解集是{x|x≠5，x∈R}，选项B不是空集；
对于C，?，而不等式的根的判别式△=1﹣4＜0
选项C的解集是空集；
??x=±1，选项D的解集不是空集；
故选C
点评：本题考查了空集的定义和集合中的参数取值等问题，属于基础题．请注意本题中的平方、绝对值和二次根号均为非负数的性质．
6、已知集合A={x||2x+1|＞3}，B={x|x2+x﹣6≤0}，则A∩B=（ ）
A、[﹣3，﹣2）∪（1，2] B、（﹣3，﹣2]∪（1，+∞）
C、（﹣3，﹣2]∪[1，2） D、（﹣∞，﹣3）∪（1，2]
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：先通过解不等式化简集合A，B，再先它们的公共部分即得，求解两个集合的交集时往往可以通过画数轴解决，数形结合有助于解题．
解答：解：A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|﹣3≤x≤2}，
画数轴得A∩B=[﹣3，﹣2）∪（1，2]，
故选A．
点评：本题考查了绝对值不等式，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属基础题．
7、下列四个集合中，是空集的是（ ）21*cnjy*com
A、{x|x+3=3} B、{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}
C、{x|x2＜x} D、{x|x2﹣x+1=0}
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：要想判断四个集合哪个是空集，我们可以对答案中的四个集合逐一进行判断，求出几个集合，逐一分析，如果集合中有一个元素，则该集合不等于空集．
解答：解：若x+3=3，则x=0，则A={0}≠?
若y2=﹣x2，则x=y=0，则B={（0，0）}≠?
若x2＜x，则0＜x＜1，则C=（0，1）≠?
∵x2﹣x+1=0，△＜0，所以{x|x2﹣x+1=0}是空集．
故选D
点评：判断一个集合是否是空集，主要是看是否有满足集合的条件的元素，只要有一个元素满足条件，该集合就不等于空集，只有这个集合中一个元素都没有时，才表示这个集合是空集．
8、下列集合中，是空集的是（ ）
A、{x|x2+3=3} B、{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}
C、{x|﹣x2≥0} D、{x|x2﹣x+1=0，x∈R}
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：不含任何元素的集合称为空集，对于A，集合中含有0，对于B，集合中含有无数个点，对于C，集合中含0，是非空的，对于D，方程无解，则集合中不含有元素．
解答：解：对于A，集合中含有0，故错；
对于B，集合中含有无数个点，故也错．
对于C，集合中含0，是非空的，故错；
对于D，所对应的方程无解，集合中不含有元素，故正确；
故选D．
点评：本题主要考查空集的概念，空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．空集的性质：空集是一切集合的子集．
9、设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（ ）
A、②③ B、①④
C、①③ D、①②④
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：新定义。
分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
解答：解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a
∴0是集合的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A
点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．
二、填空题（共7小题）21*cnjy*com
10、给出5个关系式：（1）0∈?，（2）{x|x2+1=0}=?，（3）0≠?，（4）?≠?，（5）?=0，其中正确的个数有 1 个．
考点：元素与集合关系的判断；空集的定义、性质及运算。
专题：阅读型。
分析：根据元素与空集之间的关系进行判定，以及集合的化简，根据空集的定义进行判定即可．
解答：解：（1）0?φ，故不正确
（2）{x|x2+1=0}解集为空集，故正确
（3）元素与集合的关系不能用不等号，故不正确
（4）φ=φ故错
（5）元素与集合的关系不能用等号，故不正确
故答案为1
点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及空集的含义，属于基础题．
11、已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}．若A∩B=?，则实数a的取值范围是 （2，3） ．
12、不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是 （﹣1，+∞） ．
考点：空集的定义、性质及运算。
分析：从反面分析，根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，若这个不等式组的解集是空集，则有ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，分析可得a的范围，进而可得答案．
解答：解：根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，
若这个不等式组的解集是空集，
则ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，
分析可得，当a＜﹣1，成立；
故当a＞﹣1时，该不等式组的解集不是空集，
故答案为（﹣1，+∞）．
点评：本题考查空集的性质的运用，注意结合题意，分析空集的几何或代数意义，有时需从反面下手．
13、已知集合，若A∩R=Φ，则实数m的取值范围是 0≤m＜4 ．
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：先根据根式的定义域求出m的范围，再由题意集合，A∩R=Φ，R为实数集，可得集合A为空集，也就是方程x2+x+1=0没有根，从而得△＜0，从而求出m的范围；
解答：解：∵集合，又∵A∩R=Φ，
∴A=Φ，
∴方程x2+x+1=0没有根，∴△=m﹣4＜0，
∴m＜4，
∵≥0，
∴m≥0，
∴0≤m＜4，
故答案为0≤m＜4；
点评：此题主要考查交集的运算和空集的定义及二次根式的性质，考查的知识点比较全面，是一道基础题．
14、下列四个集合中，是空集的是 ④
①{x|x+3=3}；
②{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}；
③{x|x2≤0}④{x|x2﹣x+1=0，x∈R}．
考点：空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：解一元一次方程x+3=3，由于方程有解，故①不是空集；解二元二次方程，易得方程也有解，故②不是空集；解不等式x2≤0，易得其解集不为空集；而由一元二次方程△的取值与实根个数的关系，我们易得到④为空集．
解答：解：若x+3=3，则x=0，
故①{x|x+3=3}={0}≠?
若y2=﹣x2，则y=x=0
故②{（x，y）|y2=﹣x2，x，y∈R}={（0，0）}≠?
若x2≤0，则x=0
故③{x|x2≤0}={0}≠?
∵方程x2﹣x+1=0的△=﹣3＜0，故方程无实根
故④{x|x2﹣x+1=0，x∈R}=?
故答案为：④
点评：本题考查的知识点是空集的定义、性质及运算，熟练掌握空集的定义：无任何元素的集合，是解答本题的关键．
15、在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 ．
考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．
解答：解：∵集合中共有10个元素
而当n=2和n=10时，
故满足条件的基本事件个数为2
故所取元素恰好满足方程的概率P==
故答案为：
点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．
16、已知关于x的方程sinx+cosx=a的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．21cnjy
考点：三角函数的最值；空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：利用两角和的正弦函数化简方程sinx+cosx=a为：sin（ x+）=a 解集是空集，
就是a不在[﹣，]区间内，求出即可．
解答：解：方程化简为：sin（ x+）=a
即 sin（ x+）=
若没有解集，那么＞1或＜﹣1
解得 a＞或a＜﹣；
故答案为：
点评：本题考查三角函数的最值，空集的概念，考查计算能力，解题的关键是：a不在[﹣，]区间内．是基础题．
三、解答题（共3小题）
17、设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
（2）若B=φ，求m的取值范围．
（3）若A?B，求m的取值范围．
18、设集合P={x|x2﹣x﹣6＜0}，Q={x|x﹣a≥0}21cnjy
（1）设P?Q，求实数a的取值范围； （2）若P∩Q=?，求实数a的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算。
专题：计算题。
分析：（1）由一元二次不等式解集解集解集的结论，将集合P化简为P={x|﹣2＜x＜3}，再在数轴上标出集合P和集合Q对应的图象，结合图象可求出a的取值范围．
（2）类似（1）的方法，结合数轴上的图象，可求出使P∩Q=?的a的取值范围．
解答：解：（1）根据题设条件在数轴上作出集合P={x|﹣2＜x＜3}和集合Q={x|x≥a}．
结合图象可知a＜﹣2．
（2）根据题设条件在数轴上作出集合P={x|﹣2＜x＜3}和集合Q={x|x≥a}．
结合图象可知a≥3．
点评：本题考查集合的包含关系的判断和应用，具体做法是先化简出集合P和集合Q，然后结合数轴进行求解．
19、对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求证：A?B；
（3）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=?，求证：B=?．
