并集及其应用
一、选择题（共20小题）
1、已知集合A={2，3}，B={2，4}，P=A∪B，则集合P的子集的个数是（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
2、设集合，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A、1 B、3
C、4 D、8
3、已知集合M，P满足M∪P=M，则一定有（ ）
A、M=P B、M?P
C、M∩P=M D、M?P
4、若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（ ）
A、{0，1，2，3，4}
B、{1，2，3，4}
C、{1，2}
D、{0}
5、若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ）
A、{x|﹣1＜x＜1} B、{x|﹣2＜x＜1}
C、{x|﹣2＜x＜2} D、{x|0＜x＜1}
6、集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、4
7、已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（ ）
A、{x|x＜﹣5或x＞﹣2}
B、{x|﹣5＜x＜5}
C、{x|﹣2＜x＜5}
D、{x|x＜﹣3或x＞5}
8、已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（ ）
A、{x|x≥﹣1} B、{x|x≤2}
C、{x|0＜x≤2} D、{x|﹣1≤x≤2}
9、已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N=（ ）
A、? B、{x|x≥﹣3}
C、{x|x≥1} D、{x|x＜1}
10、设集合M={4，5，6，8}，集合N={3，5，7，8}，那么M∪N=（ ）
A、{3，4，5，6，7，8}
B、{5，8}
C、{3，5，7，8}
D、M={4，5，6，8}
11、设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（ ）
A、{x|x＞﹣2} B、{x|x＞﹣1}
C、{x|﹣2＜x＜﹣1} D、{x|﹣1＜x＜2}
12、设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）
A、1 B、3
C、4 D、8
13、满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
14、设集合A={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）
A、11 B、10
C、16 D、15
15、已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（ ）
A、﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜
B、﹛x|﹣5＜x＜5﹜
C、﹛x|﹣3＜x＜5﹜
D、﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜
16、若集合M={y|y=2x，x∈R}，集合S={x|y=lg（x﹣1）}，则下列各式中正确的是（ ）
A、M∪S=M B、M∪S=S
C、M=S D、M∩S=Φ
17、已知集合A={x|x＞0}，B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，则A∪B=（ ）
A、{x|0＜x＜1} B、{x|x＜1或x＞2}
C、{x|1＜x＜2} D、R
18、若集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}则A∪B=（ ）
A、{x|3≤x＜4} B、{x|2≤x＜4}
C、{x|x≥2} D、{x|x≥3}
19、若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则满足A∪B=B的所有a的集合是（ ）
A、{a|1≤a≤9} B、{a|6≤a≤9}
C、{a|a≤9} D、?
20、设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A、{3，0} B、{3，0，1}
C、{3，0，2} D、{3，0，1，2}
二、填空题（共5小题）
21、下列命题中，正确的命题的序号是 _________ ：（1）空集是任何集合的子集；（2）设A?B，若a?B，则a?A；（3）本班成绩优秀的学生可组成的集合；（4）设A=（x，y）|a1x+b1y+c1=0，B=（x，y）|a2x+b2y+c2=0，则方程（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）=0的解集为A∪B．
22、满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是 _________ ．
23、已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 _________ ．
24、已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A，则m= _________ ．
25、已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、知集合A={ x|x2﹣1=0 }，B={ x|ax﹣1=0 }，A∪B=A，求实数a的值．
27、已知A={2，4，a3﹣2a2﹣a+7}，B={﹣4，a+3，a2﹣2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}．（1）求实数a的值；（2）求A∪B．
28、已知集合，B=（x，y）|（a+1）x+y=15，试问当a取何实数时，A∩B=?．
29、已知集合M={x||x﹣2|≤2，x∈R}，，求M∪N．
30、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|mx﹣2=0}，若A∪B=A，求m的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知集合A={2，3}，B={2，4}，P=A∪B，则集合P的子集的个数是（ ）21世纪教育网
A、2 B、4
C、8 D、16
考点：子集与真子集；并集及其运算。
专题：计算题。
分析：先由题设条件求出集合P中元素的个数，再计算集合P的子集的个数．
解答：解：∵A={2，3}，B={2，4}，
∴P=A∪B={2，3，4}，
∴集合P的子集的个数=23=8．
故选C．
点评：本题考查并集的运算和子集个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答．
2、设集合，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A、1 B、3
C、4 D、8
考点：子集与真子集；并集及其运算。
专题：计算题。
分析：先利用列举法求出，再根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解集合P即可．
解答：解：∵=
∵，
∴P=或或或{0}
故选C．
点评：本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
3、已知集合M，P满足M∪P=M，则一定有（ ）21世纪教育网
A、M=P B、M?P
C、M∩P=M D、M?P
考点：集合的包含关系判断及应用；并集及其运算。
专题：探究型。
分析：先由条件得出集合P中的元素全部在集合M内，再由子集的定义求解．
解答：解：已知集合M，P满足M∪P=M，
∴P中元素全部在集合M内
由子集的定义得
P?M
故选B
点评：本题主要考查并集和子集的概念及运算．
4、若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（ ）
A、{0，1，2，3，4} B、{1，2，3，4}
C、{1，2} D、{0}
考点：并集及其运算。
专题：常规题型。
分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．
解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，
∴A∪B={0，1，2，3，4}
故答案为：A
点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．
5、若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ）
A、{x|﹣1＜x＜1} B、{x|﹣2＜x＜1}
C、{x|﹣2＜x＜2} D、{x|0＜x＜1}
考点：并集及其运算。
专题：常规题型。
分析：由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．
解答：解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．
点评：常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．
6、集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、4
考点：并集及其运算。
分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．
解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}
∴
∴a=4，
故选D．
点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．
7、已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（ ）
A、{x|x＜﹣5或x＞﹣2} B、{x|﹣5＜x＜5}
C、{x|﹣2＜x＜5} D、{x|x＜﹣3或x＞5}
考点：并集及其运算。
分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答：解：在数轴上画出集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，
如图：
则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣2}．
故选A．
点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
8、已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∪B=（ ）
A、{x|x≥﹣1} B、{x|x≤2}
C、{x|0＜x≤2} D、{x|﹣1≤x≤2}
考点：并集及其运算。
分析：根据并集的求法，做出数轴，求解即可．
解答：解：根据题意，作图可得，
则A∪B={x|x≥﹣1}，故选A．
点评：本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解．
9、已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N=（ ）21世纪教育网版权所有
A、? B、{x|x≥﹣3}
C、{x|x≥1} D、{x|x＜1}
考点：并集及其运算。
分析：根据并集的意义，做出数轴，观察可得答案．
解答：解：根据题意，做出数轴可得，
分析可得，M∪N={x|x＜1}，
故选D．
点评：本小题主要考查集合的相关运算知识，注意并集的意义即可．
10、设集合M={4，5，6，8}，集合N={3，5，7，8}，那么M∪N=（ ）
A、{3，4，5，6，7，8} B、{5，8}
C、{3，5，7，8} D、M={4，5，6，8}
考点：并集及其运算。
分析：根据题意，容易发现M与N的所有元素为3，4，5，6，7，8；进而可得答案．
解答：解：由题意，找M与N的所有元素为3，4，5，6，7，8，
则M∪N={3，4，5，6，7，8}．
故选A．
点评：本题考查并集的运算，难度不大，细心计算即可．
11、设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（ ）
A、{x|x＞﹣2} B、{x|x＞﹣1}
C、{x|﹣2＜x＜﹣1} D、{x|﹣1＜x＜2}
考点：并集及其运算。
分析：根据题意，做出数轴，结合并集的意义，即可得到答案．
解答：解：根据题意，做出数轴表示AB可得：
即可得A∪B={x|x＞﹣2}，
故选A．
点评：本题考查并集的计算，细心计算即可．
12、设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、3
C、4 D、8
考点：并集及其运算。
分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．
解答：解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，
则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，
所以满足题目条件的集合B共有22=4个．
故选择答案C．
点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．
13、满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
14、设集合A={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）
A、11 B、10
C、16 D、15
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：解出集合B中的不等式，然后列举出两集合中的元素，求出两集合的并集，即可得到并集中元素的个数．
解答：解：由集合A中的条件可得A中的元素有：﹣10，﹣9，﹣8，…，﹣1共10个；
集合B中的不等式|x|≤5解得﹣5≤x≤5且x∈Z，所以B中的元素有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共11个
所以A∪B中的元素有：﹣10，﹣9，﹣8，…，﹣1，0，1，2，3，4，5共16个
故选C
点评：本题属于以不等式的整数解为平台，考查了并集的运算，是高考中常考的题型．
15、已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（ ）
A、﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜ B、﹛x|﹣5＜x＜5﹜
C、﹛x|﹣3＜x＜5﹜ D、﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答：解：在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，
则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．
故选A
点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
16、若集合M={y|y=2x，x∈R}，集合S={x|y=lg（x﹣1）}，则下列各式中正确的是（ ）
A、M∪S=M B、M∪S=S
C、M=S D、M∩S=Φ
考点：并集及其运算。
分析：根据题意，由指数函数与对数函数的性质，可得M={y|y＞0}、S={x|x＞1}，再由并集的求法可得答案．
解答：解：根据题意，M为y=2x的值域，由指数函数的性质，可得M={y|y＞0}，
S为y=lg（x﹣1）的定义域，由对数函数的定义域，必有x﹣1＞0，即S={x|x＞1}，
则M∪S={y|y＞0}=M，
故选A．
点评：解本题时，应注意集合的表示方法，S与M都是数集，与其代表元素（x，y）无关．
17、已知集合A={x|x＞0}，B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，则A∪B=（ ）
A、{x|0＜x＜1} B、{x|x＜1或x＞2}
C、{x|1＜x＜2} D、R
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：通过解二次不等式化简集合B；利用并集的定义求出A∪B．
解答：解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜1}
∵A={|x|x＞0}，
∴A∪B=R
故选D
点评：本题考查二次不等式的解法、考查求并集时先化简各个集合，再利用并集的定义求集合的并集．
18、若集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}则A∪B=（ ）
A、{x|3≤x＜4} B、{x|2≤x＜4}
C、{x|x≥2} D、{x|x≥3}
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：根据题意知A={x|2≤x＜4}，而B={x|x≥3}，根据并集的意义为属于A或属于B集合的元素组成的集合，求出A∪B即可．
解答：解：因为集合A={x|2≤x＜4}，而3x﹣7≥8﹣2x?x≥3，所以集合B={x|x≥3}，
根据并集的定义可知A∪B={x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}
故选C．
点评：此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了并集的求法，是一道基础题．
19、若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则满足A∪B=B的所有a的集合是（ ）
A、{a|1≤a≤9} B、{a|6≤a≤9}
C、{a|a≤9} D、?
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：若A∪B=B，则A?B．又因为A为非空集合，应满足，求得a的取值范围即可．
解答：解：∵A∪B=B，
∴A?B，
∴解得：{a|6≤a≤9}，
故选B．
点评：（1）A∪B=B?A?B；
（2）此类题目容易出现错误的地方为端点值的取舍．
20、设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A、{3，0} B、{3，0，1}
C、{3，0，2} D、{3，0，1，2}
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．
解答：解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
点评：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
二、填空题（共5小题）
21、下列命题中，正确的命题的序号是 （1）（2）（4） ：（1）空集是任何集合的子集；（2）设A?B，若a?B，则a?A；（3）本班成绩优秀的学生可组成的集合；（4）设A=（x，y）|a1x+b1y+c1=0，B=（x，y）|a2x+b2y+c2=0，则方程（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）=0的解集为A∪B．
的性质：确定性、互异性、无序性．
22、满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是 2 ．
考点：子集与真子集；并集及其运算。
专题：计算题。
分析：由已知中集合M满足条件M∪{1}={1，2，3}，我们可以列举出满足条件的集合M，进而得到答案．
解答：解：∵M∪{1}={1，2，3}
∴2∈M，且3∈M
∴的集合M可能为{2，3}或{1，2，3}
故答案为：2
点评：本题考查的知识点是子集与真子集，并集及其运算，其中由M∪{1}={1，2，3}，得到2∈M，且3∈M是解答的关键．
23、已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 a≤1 ．
考点：并集及其运算。
专题：常规题型。
分析：利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
解答：解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1
点评：本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
24、已知集合A={1，3，m}，B={3，4}，A，则m= 2 ．
25、已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B= {x|x＜4} ．
考点：并集及其运算。
分析：由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B
解答：解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，
∴A∪B={x|x＜4}．
故答案为{x|x＜4}．
点评：本题主要考查了集合的并运算，较为简单．
三、解答题（共5小题）
26、知集合A={ x|x2﹣1=0 }，B={ x|ax﹣1=0 }，A∪B=A，求实数a的值．
考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算。
专题：计算题。
分析：由A∪B=A得B?A，可分B=?和B≠?两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值即可得到答案．
解答：解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，
又∵A∪B=A得：B?A，
当a=0，ax=1无解，故B=?，满足条件
若B≠?，则B={﹣1}，或Q={1}，
即a=﹣1，或a=1
故满足条件的实数a为：0，1，﹣1．
点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，本题有两个易错点，一是忽略B=?的情况，二是忽略题目要求求满足条件的实数a的取值集合，而把答案没用集合形式表示，属中档题．
27、已知A={2，4，a3﹣2a2﹣a+7}，B={﹣4，a+3，a2﹣2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}．（1）求实数a的值；（2）求A∪B．
28、已知集合，B=（x，y）|（a+1）x+y=15，试问当a取何实数时，A∩B=?．
考点：并集及其运算；空集的定义、性质及运算。
专题：分类讨论。
分析：联立关于x，y的方程组：．消去y得到关于x的方程：（a+2）x=14（*）由题意，关于x的方程（*）无解或者解为x=2，然后再分别进行讨论，能够得到a的值．
解答：解：联立关于x，y的方程组：．
消去y得到关于x的方程：（a+2）x=14（*）
由题意，关于x的方程（*）无解或者解为x=2．
若（*）无解，则a+2=0，解得a=﹣2．
若（*）的解为x=2，则2（a+2）=14，解得a=5．
综上所述，a=﹣2或者a=5．
点评：本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．
29、已知集合M={x||x﹣2|≤2，x∈R}，，求M∪N．
30、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|mx﹣2=0}，若A∪B=A，求m的值．
考点：并集及其运算。
专题：计算题。
分析：先求出集合A，然后根据对条件A∪B=A的理解在于：B是A的子集，其中B也可能是空集，分别求解即可．
解答：解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}
∴A={﹣1，3}
∵A∪B=A
∴B?A
∴B=?，或B={﹣1}，或B={3}，
∴，
即∴．
点评：本题主要考查集合的运算性质A∪B=A，一般A∪B=A转化成B?A来解决．若是A∩B=A，一般A∩B=A转化成A?B来解决．
