数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式 课件（共69张ppt）

(共69张PPT)
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式(第一课时）
1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、 几何意义；(重点）
2.基本不等式的简单应用。(难点）
【情景1】一根定长的细线围成一个矩形，为什么正方形的面积最大？
【情景2】从A地到B地，甲乙用了两种不同的走法：
①甲方案：一半路程的速度为a,一半路程的速度为b;
②乙方案：一半时间的速度为a,一半时间的速度为b。
当 时请问谁先到达B地？
问题1 试比较 a2+b2 与 2ab 的大小关系？
解：
当且仅当a=b时，等号成立
当且仅当a=b时，等号成立
文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍
重要不等式
问题2 特别地，如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？
基本不等式
当且仅当a=b时，等号成立
算术平均数
几何平均数
文字表述：两个正数的算术平均数大于等于几何平均数
问题3 能否用几何角度解释基本不等式？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点,
AC=a, BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD OD=______
②如何用a, b表示CD CD=______
③OD与CD的大小关系怎样 OD_____CD
≥
（射影定理）
（当O和D重合时取等号）
几何意义：半径不小于半弦.
（1）基本不等式的结构特征分析
两个正数的和
两个正数的积
特征：基本不等式反映了两个正数的和与两个正数的积之间的不等关系
（2）基本不等式的几个变式
①
②
（公式的顺用）
（公式的逆用）
③
（公式的变形）
两个数的平方和
两个数的和
例1 当 时，求 的最小值
基本不等式在求最值中的应用
解：
B
【巩固练习2】
例2.已知 x，y 都是正数，求证：
（1）如果积 xy 等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和 x+y 等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
总结提升：和定积最大，积定和最小
注意： ①各项皆为正数；
②和为定值或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”，
二“定”，
三“等”.
最值定理
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
例3 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
基本不等式在实际生活中应用
C
2.
B
C
4.
2
5. 已知直角三角形的面积等于50c㎡，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
解：设两条直角边的长分别为x，y，
当且仅当x=y=10时，等号成立，
即当两条直角边的长度各为10cm时，两条直角边的和最小,最小值为20cm.
1.两个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式
2.不等式的简单应用：主要是求最值，
把握 “六字方针” 即 “一正，二定，三等”.
基本不等式
重要不等式
积定和最小
和定积最大
应用
基本不等式求最值使用条件
证明
P46练习
证明：
证明：
证明：
P46练习
3. 当x取什么值时， 取得最小值？最小值是多少？
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式(第二课时）
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题；（重点）
2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式；（重点）
3.会求给定条件的最值问题；
4.能证明一些简单的不等式.
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”.
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？
基本不等式在求最大、最小值中的应用
1.化正型
特别提醒： 如果所求因式都是负数，通常采用添负号变为正数的处理方法.
关注因式是负数
例2 求函数 的最小值.
2.凑定型
(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值.
(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
当且仅当
，即
时，
合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键.
即 的最小值为
不正确.过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错误.
例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 的最小值.
3.整体代换型
这个解法正确吗？
分析：本题给定约束条件
，来求
注意到
故可以采用对目标函数
乘“1”构造使用基本不等式的条件.
的最小值,
正确解答:
当且仅当
即
时取“=”号.
即此时
对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件.
例5 已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证：
利用基本不等式证明简单的不等式
分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？
1.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
Ｃ
A.
B.
C. 5 D.6
【解析】由x+3y=5xy可得
∴3x+4y的最小值是5.
2．已知
，求函数
的最大值．
当且仅当
故函数的最大值
等号成立，
把握基本不等式成立的三个条件：
1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；
2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造：互为相反数、互为倒数）
3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域.
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式(第三课时）
a+b为定值
a2+b2为定值
ab为定值
考点一　利用基本不等式求最值
1.　分式型函数的最值求法 （拆项法 / 换元法）
拆项法：
考点一　利用基本不等式求最值
1.　分式型函数的最值求法 （拆项法 / 换元法）
换元法：
分母是什么因式，分子
就相应变成这个因式
【练习】
2.“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；
提示： a+b=a-b+2b=1
9
考点二：求参数值或范围
D　
【课后练习】
3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
4.