（寒假自学课）第二单元因数与倍数讲义+例题+练习-小学数学五年级下册人教版

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（寒假自学课）第二单元因数与倍数讲义+例题+练习
学习目标：
一、理解因数和倍数的意义,掌握找一个数的因数和倍数的方法。
二、掌握2、3、5倍数的特征,认识奇数、偶数。
三、理解质数和合数的意义,能正确判断一个数是质数还是合数,能找出100以内的质数,并熟记20以内的质数。
四、和与积的奇偶性。
知识梳理：
1.在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。
如:在算式c÷a=b(a、b、c均是非0自然数)中,a和b是c的因数,c是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
找一个数的因数的方法:(1)列乘法算式找,根据因数的意义,有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式,算式中的每个乘数都是该数的因数。(2)列除法算式找,用此数除以大于等于1而小于它本身的整数,所得的商是整数而无余数,这些除数和商都是该数的因数。
3.找一个数的倍数的方法:(1)列乘法算式找,用这个数依次与非0自然数相乘,所乘之积就是这个数的倍数。(2)列除法算式找,看哪些数除以这个数,商是整数而无余数,这些数就是这个数的倍数。
4.自然数中个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。整数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。
5.个位上是0或5的数都是5的倍数。
6.一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
7.一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数(或素数)。
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数。
8.1既不是质数,也不是合数。
9.20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。
奇数+奇数=偶数　奇数+偶数=奇数　偶数+偶数=偶数
奇数×奇数=奇数　奇数×偶数=偶数　偶数×偶数=偶数
典型例题：
1．观察下面的两个材料，回答问题。
（1）仿照样子，在材料上圈出各数的组成部分哪些是5的倍数。
（2）我们已经知道：判断一个数是不是5的倍数，只要看这个数的个位是不是0或5就行了。请结合材料说明为什么？
（3）我的猜测：判断一个数是不是4的倍数，不能只看这个数的个位，要看（ ）。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）末两位
【分析】（1）圈出个位是0或5的数即可；
（2）根据数的组成，千位上的数是几表示几千，百位上的数是几表示几百，十位上的数是几表示几十，这些数都是5的倍数，据此分析。
（3）一个数的末两位数是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。
【详解】（1）
（2）因为除个位上的数字外，其余数位上的数字都可以表示成整千数、整百数等，这些数一定是5的倍数，因此只要个位上是0或5，则该数一定能被5整除。
（3）判断一个数是不是4的倍数，不能只看这个数的个位，要看末两位。
【点睛】关键是掌握2和5的倍数的特征。
2．把36块月饼装在几个相同的盒子里，每个盒子的月饼同样多，刚好装完，有几种装法？（可以列表格表示）
【答案】8种
【分析】求出月饼数量因数的个数就是所有不同的装法，因装在几个相同的盒子里，所以排除全部装在1个盒子里的情况。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36
每盒数量 18 12 9 6 4 3 2 1
盒数 2 3 4 6 9 12 18 36
答：刚好装完，有8种装法。
【点睛】关键是会求一个数的因数，通过月饼数量的因数个数即可确定所有不同的装法。
3．一块长方形菜地的周长是24米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数，平均每平方米的菜地要施肥0.4千克。这块地共需施多少千克肥料？
【答案】14千克
【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2；再找出2个质数的和等于长、宽之和，进而找到长方形的长与宽；然后根据“长方形的面积＝长×宽”求出菜地的面积；最后乘每平方米菜地需施肥的质量，求出这块地共需施肥的质量。
【详解】长方形的长、宽之和：
24÷2＝12（米）
10以内的质数有2、3、5、7，且12＝7＋5，
所以这块长方形菜地的长是7米，宽是5米；
长方形的面积：
7×5＝35（平方米）
共需施肥：
0.4×35＝14（千克）
答：这块地共需施14千克肥料。
【点睛】根据长方形的周长公式求出长、宽之和，再根据质数的意义，找出长方形的长与宽是解题的关键。
4．五年级有48名同学报名参加义务劳动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于3，小于10，可以分为几组？每组多少人？
【答案】可以分为6或8组，每组8人或6人。
【分析】根据题意可得，组数是48的因数，组数要大于3，小于10，则组数可为6或8，据此解答即可。
【详解】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，18，24，48，所以组数为6或8。
当组数为6组时，48÷6＝8（人）
当组数为8组时，48÷8＝6（人）
答：可以分为6或8组，每组8人或6人。
【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是理解组数跟总人数之间的关系。
因数与倍数课后练习
一、选择题
1．一筐苹果有28个，每人分3个，至少再添（ ）个苹果才能正好分完。
A．2 B．3 C．5
2．最小的质数与最小的合数组成的两位数中，最小的两位数的因数有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．10
3．一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。翻动50次，杯口（ ）。
A．朝上 B．朝下 C．不确定
4．两个质数的和是20，这两个质数是（ ）。
A．1和19 B．9和11 C．7和13
5．下列说法中，正确的是（ ）。
A．买一张电影票，座位号一定是偶数
B．投掷一枚质地均匀的硬币，一定是正面朝上
C．三条任意长的线段不一定能组成一个三角形
6．8的因数有（ ）个，倍数有（ ）个。
A．4；无数 B．4；6 C．无数；4
7．a、b、c是三个不同的自然数，且a÷b＝c，那a至少有（ ）个不同的因数。
A．4 B．3 C．2
8．用0、5、4组成的所有三位数都是（ ）的倍数。
A．2 B．3 C．5
二、填空题
9．把“2，30，41，58，73，95”这6个数按要求填入括号里。奇数：( )；偶数：( )；质数：( )；合数：( )；既是2和5的倍数、又是3的倍数：( )。
10．一个数既是7的倍数，又是7的因数，这个数是( )。
11．有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。
12．一个三位数，它的百位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，这个三位数是( )。
13．两个自然数相乘，积是48的乘法算式有( )个。（交换乘数位置后的算式看作与原来不同的算式。）
14．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21…从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，在前200个数中，有( )个是偶数。
三、判断题
15．a能被b整除或b能整除a；则a叫做b的倍数；b叫做a的因数。( )
16．因为1只有一个因数，所以1是质数。( )
17．是2的倍数的数一定是5的倍数。( )
18．若a是合数，则a＋4一定是合数。( )
19．一个数的倍数总比这个数的因数大。( )
四、解答题
20．王老师把48本练均分给一些小朋友，正好分完，小朋友的人数可能是多少？
21．两个质数和是20，积是91，求这两个数，如果一个质数和一个合数的和是15，积是36，那这两个数又是多少？
22．三村小学五2班有32名学生排队，要求每行的人数相同，可以排成几行？有几种排法？
23．选择包装盒并说明理由。
设计与上面不同的其它包装方式，并给予说明。
24．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？
参考答案：
1．A
【分析】每人分3个，苹果的总数应该是3的倍数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，据此解答即可。
【详解】，，12是3的倍数，则至少再添2个苹果才能正好分完。
故答案为：A
【点睛】本题考查3的倍数特征，解答本题的关键是掌握3的倍数特征。
2．C
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。最小的质数是2，最小的合数是4，组成的最小的两位数是24，根据列乘法算式找因数，即可写出这个最小两位数的所有因数。
【详解】最小的质数是2，最小的合数是4，最小的两位数是24；
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
所以最小的两位数的因数有8个。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是理解质数和合数的定义以及掌握求一个数的因数的方法。
3．A
【分析】翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上，即翻动次数是奇数杯口朝下，翻动次数是偶数杯口朝上，据此分析。
【详解】根据分析，翻动50次，翻动了偶数次，杯口朝上。
故答案为：A
【点睛】关键是理解奇数和偶数的含义，明确奇数次和偶数次对应的杯口朝向。
4．C
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数。据此逐项判断。
【详解】A．1＋19＝20，1既不是质数，也是合数，不符合题意。
B．9＋11＝20，9是合数，不符合题意。
C．7＋13＝20，7和13均为质数，符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题考查对质数和合数的理解。
5．C
【分析】事件发生的可能性的大小，对事件发生的可能大小，可以用“一定”“经常”“偶尔”“可能”“不可能”等词语来描述。
抛硬币只会出现正面朝上和反面朝上两种结果，每种结果朝上的可能性都为，不会受投掷的次数影响。
根据三角形的特性：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。
【详解】A．买一张电影票，座位号有可能是奇数，也有可能是偶数；所以原题的说法是错误的；
B．每次抛硬币是一个独立事件，下一次的结果不会受前一次的影响，只有正面朝上和反面朝上两种结果，可能性都为，即正面朝上的可能性和反面朝上的可能性相等，可能正面朝上，也可能反面朝上，“一定会正面朝上”的说法是错误的；
C．要想围成三角形，其三边必须符合三角形三边的关系，如果不满足此条件，是有可能围不成三角形；所以原题说法正确。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查事件的确定性与不确定性、可能性的大小以及三角形三边的关系。
6．A
【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；
求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，一个数倍数的个数是无限的，据此解答。
【详解】8÷1＝8
8÷2＝4
8的因数有：1，2，4，8，一共4个因数，
8×1＝8
8×2＝16
8×3＝24
8×4＝32
……
8的倍数有：8，16，24，32，…
所以，8的因数有4个，倍数有无数个。
故答案为：A
【点睛】掌握求一个数因数和倍数的方法，一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。
7．A
【分析】整数除法中，商是整数且没有余数时，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，所以a至少有1、b、c、a，这4个因数。
【详解】a至少有1、b、c、a，这4个因数。
故答案为：A
【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数的概念。
8．B
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。据此选择即可。
【详解】因为0＋5＋4＝9，9是3倍数，所以用0、5、4组成的所有三位数都是3倍数。
故答案为：B
【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。
9． 41，73，95 2，30，58 2，41，73 30，58，95 30
【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。即个位上是0，2，4，6，8的数都是偶数，个位上是1，3，5，7，9的数都是奇数。
（2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。即质数只有两个因数，合数至少有三个因数。
（3）个位上是0且各位上的数的和是3的倍数，这样的数既是2和5的倍数、又是3的倍数。
【详解】（1）41的个位上是1，73的个位上是3，95的个位上是5，所以41，73，95是奇数。
（2）2的个位上是2，30的个位上是0，58的个位上是8，所以2，30，58是偶数。
（3）2，41和73的因数都是只有两个，所以2，41，73是质数。
（4）30的因数有8个，58的因数有4个，95的因数有4个，所以30，58，95是合数。
（5）30的个位上是0，所以30既是2的倍数又是5的倍数；3＋0＝3，所以30是3的倍数。即30既是2和5倍数、又是3的倍数。
【点睛】解决此题的关键是明确2、5、3的倍数的特征、奇数和偶数的意义、质数和合数的意义。
10．7
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此分析。
【详解】一个数既是7的倍数，又是7的因数，这个数是7。
【点睛】关键是理解因数和倍数的含义，明确一个数的最大因数和最小倍数。
11． 0 8
【分析】一个数的个位上的数字是0或5的数就是5的倍数；一个数的个位上的数字是0、2、4、6、8的数就是2的倍数。据此填空即可。
【详解】由分析可知：
有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填0。如果它是2的倍数，□里最大可以填8。
【点睛】本题考查2、5的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。
12．129
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
据此确定各数位上的数，写出这个三位数即可。
【详解】1既不是质数也不是合数，2既是偶数又是质数，9既是奇数又是合数，这个三位数是129。
【点睛】关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。
13．10
【分析】可根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。即可写出所有的乘法算式。
【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
1×48＝48，48×1＝48
2×24＝48，24×2＝48
3×16＝48，16×3＝48
4×12＝48，12×4＝48
6×8＝48，8×6＝48
一共有10个；
所以，两个自然数相乘，乘积是48的乘法算式有10个。
【点睛】此题的解题关键是根据找一个数的因数的方法，找出积是48的所有乘法算式。
14．66
【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，从而可以发现该数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数 ”3个一周期排列的，每个周期里有1个偶数，因为200÷3＝66 2，所以前200个数中共有66个周期，余数为2，这两个数都是奇数，故偶数共有66×1＝66个偶数。
【详解】200÷3＝66 2
66×1＝66（个）
则在前200个数中，有66个是偶数。
【点睛】本题考查的是数字找规律的问题，并与周期问题相结合，关键是确定周期是多少。
15．√
【详解】如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如：24÷4＝6，24是4的倍数，4是24的因数。原题干说法正确。
故答案为：√
16．×
【分析】根据质数和合数的定义可知，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此解答。
【详解】如果1是质数，那它就要有两个因数：1＝1×1；
如果1是合数，那它就要有三个及以上的因数：1＝1×1×1……；
化简之后就是1＝1，只有一个因数，因此，1既不是质数也不是合数。
故答案为：×
【点睛】此题的解题关键是明确质数与合数的定义以及理解1既不是质数也不是合数。
17．×
【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答。
【详解】根据分析得，个位上是0的数，既是2的倍数也是5的倍数；
个位上是2、4、6、8的数是2的倍数，但却不是5的倍数；
比如22、24、26、28是2的倍数，但这些数都不是5的倍数。所以原题的说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查2、5的倍数的特征。
18．×
【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数；除了1和它本身两个因数，还有其它因数的数是合数，据此解答即可。
【详解】当a是9时，9＋4＝13，13是质数，说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查质数与合数，解答本题的关键是掌握质数与合数的概念。
19．×
【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，所以一个数的倍数有可能等于这个数的因数。
【详解】例如：3的因数3，和3的倍数3相等，所以本题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。
20．2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个或48个
【分析】根据题意，48本练习册正好分完，那么小朋友的人数是48的因数；找出48的因数，因为小朋友的人数不可能是1个，所以要排除因数1。
【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
答：小朋友的人数可能是2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个或48个。
【点睛】本题考查求一个数的因数解决实际问题。
21．13和7；12和3
【分析】根据质数与合数的意义，质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数；13是质数，7是质数，13＋7＝20，13×7＝91；3是质数，12是合数，3＋12＝ 15，12×3＝36，据此解答。
【详解】13是质数，7是合数，，，所以这两个数是13和7。
3是质数，12是合数，，，所以这两个数是12和3。
【点睛】本题主要是考查合数与质数的意义，要判断一个数是合数还是质数，关键要看它的因数的个数。
22．可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
【分析】根据找因数的方法，找出32所有的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。每一组的两个因数都可以做行数和每行人数，据此分析。
【详解】，可以排成32行，每行1人，或者排成1行，每行32人；
，排成16行，每行2人，或者排成2行，每行16人；
，排成8行每行4人，或者排成4行，每行8人；
所以32人可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
答：可以排成1行、2行、4行、8行、16行、32行，一共6种排法。
【点睛】关键是理解题意，掌握求一个数的因数的方法。
23．见详解
【分析】由题意可知，若包装盒内能装的瓶数能够整除90即正好能够装完。据此解答即可。
【详解】可以选择四种包装盒中的3瓶装、5瓶装或6瓶装。
理由：90＝3×30＝6×15＝18×5
创新包装：
还可以设计成1瓶装、2瓶装、9瓶装、10瓶装、15瓶装、18瓶装、30瓶装、45瓶装、90瓶装。
理由：90＝2×45＝3×30＝18×5＝6×15＝9×10＝1×90，只要包装盒所包装饮料的瓶数是90的因数就可。
【点睛】本题考查因数，明确包装盒内所包装饮料的瓶数必须是90的因数是解题的关键。
24．672个
【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。
【详解】2016÷3＝672（个）
672×1＝672（个）
答：前2016个数中共有672个偶数。
【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。
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