（寒假自学课）第三单元长方体和正方体的表面积讲义讲义+例题+练习-小学数学五年级下册人教版

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（寒假自学课）第三单元长方体和正方体的表面积讲义+例题+练习
学习目标：
掌握长方体和正方体表面积的计算方法,并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。
知识梳理：
1.长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。
2.长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
用字母表示:S=6a2。
3.如果把一个长方体沿一个面截成n块,就增加了2(n-1)个截面,每个截面的4条棱就是增加的棱,总共增加了8(n-1)条棱。
典型例题：
1．学校要对新教室的顶部和四壁进行粉刷。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗的面积是12平方米。如每平方米要花40元涂料费，粉刷这个教室需要花多少涂料费？
【答案】4800元
【分析】由题意可知，求粉刷的面积就是求长方体五个面的面积，根据长方体五个面的面积公式：S＝（ah＋bh）×2＋ab，据此求出教室的顶部和四壁的面积，再减去门窗的面积就是需要粉刷的面积，最后用粉刷的面积乘每平方米要花的钱数即可求解。
【详解】[（8×3＋6×3）×2＋8×6－12]×40
＝[（24＋18）×2＋8×6－12]×40
＝[42×2＋48－12]×40
＝[84＋48－12]×40
＝120×40
＝4800（元）
答：粉刷这个教室需要花4800元的涂料费。
【点睛】本题考查长方体的表面积，熟记公式是解题的关键。
2．做一个无盖的长方体铁桶，共用铁皮192平方分米。已知桶底是边长10分米的正方形，请问桶高几分米？
【答案】2.3分米
【分析】铁皮面积－底面积＝前后左右4个面的面积和，将前后左右4个面展开是长方形，长方形的宽就是长方体的高，长方体的长是长方体底面周长，用前后左右4个面的面积和÷底面周长＝长方体的高，据此分析。
【详解】（192－10×10）÷（10×4）
＝（192－100）÷40
＝92÷40
＝2.3（分米）
答：桶高2.3分米。
【点睛】关键是熟悉长方体特征，能想明白无盖长方体铁通展开的形状。
3．如图，将一个长方体分割成两个小长方体，分别按A、B、C三种方式进行分割后，表面积分别增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】52平方厘米
【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图A是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图B是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图C是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。
【详解】12＋24＋16
＝36＋16
＝52（平方厘米）
答：原来这个长方形的表面积是52平方厘米。
【点睛】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。
4．一种长方体通风管，高3米，通风口长4分米，宽5分米。做10节这样的通风管共需铁皮多少平方米？
【答案】54平方米
【分析】要求做10个这样的通风管共需要多少铁皮，就是求10个长方体的侧面积，长方体侧面积＝底面周长×高，可以求出这样一节的通风管道，最后即可求出10节的通风管面积。
【详解】4分米＝0.4米，5分米＝0.5米
底面周长：
（0.4＋0.5）×2
＝0.9×2
＝1.8（米）
一节的面积：1.8×3＝5.4（平方米）
10节的面积：5.4×10＝54（平方米）
答：一共需要54平方米的铁皮。
【点睛】考查长方体的表面积公式，关键是理解长方体通风管只求侧面积，还要注意单位换算。
长方体和正方体的表面积课后练习
一、选择题
1．妈妈买了一块长方体形状的豆腐，豆腐长12厘米，宽10厘米，高4厘米。妈妈按下图方式把它平均分成4块长方体形状的豆腐。每小块豆腐的表面积是（ ）平方厘米。
A．416 B．148 C．100
2．用棱长1厘米的小正方体拼成图①所示的立体模型，在这个立体模型的不同位置添加一个小正方体后，形成了图②、图③、图④。与图①的表面积比较，下面说法错误的是（ ）。
A．图②的表面积增加了2cm2 B．图②的表面积增加了4cm2
C．图③的表面积没有变化 D．图④的表面积增加了4cm2
3．把三个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来三个正方体表面积之和减少了（ ）平方厘米。
A．8 B．16 C．4 D．32
4．一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是（ ）cm2。
A．48 B．64 C．96 D．216
5．一个正方体接上一个完全相等正方体后，表面积比原来增加了60平方厘米，这个正方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．60 B．72 C．80 D．90
6．将四块橡皮（如图）包成一包，下面方法中（ ）最节约包装纸。
A．（重合6大） B．（重合6中）
C．（重合4中4小） D．（重合4大4中）
二、填空题
7．一个长方体罐头，长15厘米，宽10厘米，高6厘米。在它的侧面贴一圈宽5厘米的商标纸，接头处长1厘米。这张商标纸的面积是( )平方厘米。
8．如图，将3块棱长为5分米的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少( )平方分米。
9．一个长2m、宽1.5m、高1m的长方体水池，水池的四壁和底部需要做防水处理，需要做防水处理部分的面积是( )。已知每平方米防水层的材料费和人工费一共是a元，给这个水池做防水处理需要( )元。
10．由棱长是1厘米的搭成的两个立体图形（如图所示），图1的表面积可以这样计算：
请根据图1的表面积计算方法，计算图2的表面积：( )＝( )（cm2）。
11．一个长方体的高截去2厘米，表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方体，正方体的表面积是( )平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。
12．用一根96cm长的铁丝正好能焊成一个正方体框架，在框架的各个面糊上彩纸，至少需要( )cm2的彩纸。
三、判断题
13．从一个长方体上切下一个正方体后，剩下部分的表面积一定变小了。( )
14．李老师将棱长为1分米的正方体粉笔盒按如图方式摆放在墙角里，露在外面的面积是9平方分米。( )
15．正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大8倍。( )
16．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长、宽、高分别是5dm、4dm、3dm，做这个鱼缸至少需要玻璃94dm2。( )
17．用8个大小相同的小正方体拼成一个大正方体，如果拿走其中一个小正方体，它的表面积不变。( )
四、图形计算
18．求出下面图形的表面积。（单位：分米）
五、解答题
19．淘气的房间长5米，宽是3米，高是2.4米。除去门窗的面积是3.6平方米不贴墙纸外，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸。如果每平方米的墙纸80元，淘气的房间贴墙纸共花多少元？
20．用硬纸皮做一个棱长为8分米的纸箱（六个面），至少要用多少平方分米的纸皮？
21．工厂要制作100根通风管，每根长2米，管口边长是30厘米的正方形，一共需要铁皮多少平方米？
22．2020年1月，国家发布了《关于进一步加强塑料污染治理的意见》。对于餐饮打包外卖服务、商超、药店等领域塑料制品禁限提出了要求。不可降解的塑料袋可以用纸袋、无纺布袋等替代。制作一个无纺布袋（如图），需要多少无纺布？（重叠部分和提手需4.8平方分米的无纺布）
23．学校礼堂有4根长方体立柱，高5米，底面是边长为3分米的正方形，要油漆这些立柱的侧面，按每平方米用25元的油漆算，至少需要多少元的油漆？
24．用玻璃做一个棱长是4分米的无盖正方体鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？
参考答案：
1．B
【分析】通过图形观察可知，每小块豆腐的长为（12÷2）厘米，宽为（10÷2）厘米，高为4厘米，根据长方体的表面积公式求解即可。
【详解】12÷2＝6（厘米）
10÷2＝5（厘米）
（6×5＋6×4＋5×4）×2
＝（30＋24＋20）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
每小块豆腐的表面积是148平方厘米。
故答案为：B
【点睛】本题考查了长方体表面积公式的灵活应用。
2．B
【分析】分析每个选项时，可利用长方体的表面特征，以及平移补面的方式去判断正确与否。
【详解】A．观察图形发现，把长方体空缺的两个面补齐之后，还多出了两个面，所以图②的表面积增加了2cm2，正确；
B．图②的表面积增加了2cm2，错误；
C．观察图形发现，把长方体空缺的两3个面刚好补齐，图③的表面积没有变化，正确；
D．观察图形发现，把长方体空缺的两3个面补齐之后，多出4个面，所以图④的表面积增加了4cm2，正确。
故答案为：B
【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是理解每一个图形的表面积变化情况，再逐一判断。
3．B
【分析】把三个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（3－1）×2个小正方形面，先求出一个小正方形面为（2×2）平方厘米，然后再乘减少的小正方形面的个数，即可求出长方体的表面积比原来三个正方体表面积之和减少了多少平方厘米。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
2×2×4
＝4×4
＝16（平方厘米）
长方体的表面积比原来三个正方体表面积之和减少了16平方厘米。
故答案为：B
【点睛】本题考查了立体图形的切拼，关键是明确拼成的长方体比原来少了几个面。
4．C
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，根据正方体的棱长总和先求出正方体的棱长，再利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。
【详解】棱长：48÷12＝4（cm）
表面积：4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
所以，这个正方体的表面积是96cm2。
故答案为：C
【点睛】灵活运用正方体的棱长之和计算公式求出正方体的棱长是解答题目的关键。
5．D
【分析】拼接上一个完全相同的正方体后增加4个正方形的面积，根据增加部分的面积求出正方体每个面的面积，最后利用“正方体的表面积＝一个面的面积×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。
【详解】60÷4×6
＝15×6
＝90（平方厘米）
所以，这个正方体的表面积是90平方厘米。
故答案为：D
【点睛】正方体六个面的总面积叫做它的表面积，求出正方体一个面的面积是解答题目的关键。
6．A
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），分别求出每个选项里的表面积，再比较表面积的大小，组合图形中表面积最小的即是最节约包装纸的方法。据此解答。
【详解】A．长是5cm，宽是3cm，高是1×4＝4（cm）
表面积：（5×3＋5×4＋3×4）×2
＝（15＋20＋12）×2
＝47×2
＝94（cm2）
B．长是3×4＝12（cm），宽是5，高是1cm
表面积：（12×5＋12×1＋5×1）×2
＝（60＋12＋5）×2
＝77×2
＝154（cm2）
C．长是5×2＝10（cm），宽是3×2＝6（cm），高是1cm
表面积：（10×6＋10×1＋6×1）×2
＝（60＋10＋6）×2
＝76×2
＝152（cm2）
D．长是3×2＝6（cm），宽是5cm，高是1×2＝2（cm）
表面积：（6×5＋6×2＋5×2）×2
＝（30＋12＋10）×2
＝52×2
＝104（cm2）
94＜104＜152＜154
所以A选项包装的方法最节约包装纸。
故答案为：A
【点睛】此题考查了包装问题，找出每个图形是长、宽、高是解题关键。
7．255
【分析】在它的侧面贴上高5厘米的商标纸（不含上、下面），要贴的是4个面（前后左右），不贴上面和下面，根据长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，求出侧面贴商标纸的面积，再加上接头处的面积，即可得解。
【详解】15×5×2＋10×5×2＋1×5
＝150＋100＋5
＝255（平方厘米）
即这张商标纸的面积是255平方厘米。
【点睛】解答有关长方体表面积计算的实际问题，一定要搞清所求的是哪几个面的面积，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
8．100
【分析】通过图形观察可知，将3块棱长为5分米的正方体木块拼成一个长方体，表面积比原来少了4个边长为5分米的正方形面，所以用5×5×4即可求出减少了多少平方分米。
【详解】5×5×4
＝25×4
＝100（平方分米）
表面积减少100平方分米。
【点睛】本题考查了立体图形的切拼，注意拼成的长方体少了几个面。
9． 10 10a
【分析】求做防水处理部分的面积，实际上是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，把数据代入即可求出做防水处理部分的面积；再用做防水处理部分的面积乘a元，求出给这个水池做防水处理需要的钱数。
【详解】2×1.5＋2×1×2＋1.5×1×2
＝3＋4＋3
＝10（m2）
10×a＝10a（元）
即需要做防水处理部分的面积是10m2，给这个水池做防水处理需要10a元。
【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。
10． （6＋3＋3）×2 24
【分析】图2中立体图形前面露出6个小正方形，上面露出3个小正方形，右面露出3个小正方形，图2的表面积＝（前面小正方形的数量＋上面小正方形的数量＋右面小正方形的数量）×2，据此解答。
【详解】分析可知，图2的表面积：（6＋3＋3）×2
＝12×2
＝24（cm2）
所以，图2的表面积是24cm2。
【点睛】本题主要考查组合体表面积的计算方法，根据立体图形准确数出露出小正方形的数量是解答题目的关键。
11． 54 78
【分析】根据题意，高减少2厘米，表面积比原来减少24平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，用面积除以宽（2厘米），即可求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入解答即可。
【详解】24÷4÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
3＋2＝5（厘米）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
（3×3＋3×5＋3×5）×2
＝（9＋15＋15）×2
＝39×2
＝78（平方厘米）
则正方体的表面积是54平方厘米，原来长方体的表面积是78平方厘米。
【点睛】本题考查正方体和长方体的表面积，熟记公式是解题的关键。
12．384
【分析】根据题意，用一根铁丝焊成一个正方体框架，那么正方体的棱长总和等于铁丝的长度；根据“正方体的棱长＝棱长总和÷12”，求出正方体的棱长；
在框架的各个面糊上彩纸，求彩纸的面积，就是求这个正方体的表面积，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”，代入数据计算即可。
【详解】正方体的棱长：
96÷12＝8（cm）
正方体的表面积：
8×8×6
＝64×6
＝384（cm2）
【点睛】灵活运用正方体的棱长总和、正方体的表面积公式是解题的关键。
13．×
【分析】若从长方体的一个角处切下一个正方体，则表面积比原来减少了3个正方形的面积，但又增加了3个正方形的面积，所以剩下部分的表面积不变。据此判断即可。
【详解】由分析可知：
从一个长方体上切下一个正方体后，剩下部分的表面积不一定变小了。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
14．√
【分析】正方体的棱长为1分米，一个面的面积为1平方分米，从立体图形的正面、上面、右面数出露出正方形的数量，最后乘一个正方形的面积，即可求得。
【详解】（4＋2＋3）×（1×1）
＝9×1
＝9（平方分米）
所以，露在外面的面积是9平方分米。
故答案为：√
【点睛】准确求出立体图形露出小正方形的数量是解答题目的关键。
15．×
【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律，正方体的表面积公式：S＝6a2，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。
【详解】正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大：2×2＝4倍；所以一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算公式。
16．×
【分析】根据题意，求做一个长方体无盖玻璃鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可，与94dm2相比较，得出结论。
【详解】5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝20＋30＋24
＝74（dm2）
做这个鱼缸至少需要玻璃74dm2。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
17．√
【分析】从大正方体众拿掉小正方体，减少三个面的同时增加三个面，表面积不变。
【详解】由分析可知：
用8个大小相同的小正方体拼成一个大正方体，如果拿走其中一个小正方体，它的表面积不变。说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
18．168平方分米
【分析】观察组合图形可得：组合图形表面积＝长方体表面积＋正方体的4个面的面积。
【详解】（8×6＋8×2＋2×6）×2＋2×2×4
＝（48＋16＋12）×2＋4×4
＝76×2＋16
＝152＋16
＝168（平方分米）
19．3984元
【分析】把淘气的房间看成一个长方体，房间的地面不贴墙纸，实际是求这个长方体的4个侧面和1个上底面共5个面的表面积，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要贴墙纸的面积，再用贴墙纸的面积乘每平方米墙纸的费用就是贴墙纸需要花费的钱数。
【详解】
＝
＝
＝
＝53.4（平方米）
（平方米）
（元）
答：淘气的房间贴墙纸共花3984元。
【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。
20．384平方分米
【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【详解】8×8×6
＝64×6
＝384（平方分米）
答：至少要用384平方分米的纸皮。
【点睛】掌握正方体表面积公式是解题的关键。
21．240平方米
【分析】30厘米＝0.3米，已知通风管长2米，管口边长是30厘米的正方形，因为通风管只有四个面，四个面相同，所以通风管的表面积是（0.3×2×4）平方米，再乘制作通风管的数量即可得总的需要铁皮的表面积。
【详解】30厘米＝0.3米
0.3×2×4×100
＝2.4×100
＝240（平方米）
答：一共需要铁皮240平方米。
【点睛】本题考查了长方体表面积公式的灵活应用，注意通风管的表面积只有4个面。
22．39.8平方分米
【分析】根据长方体的表面积公式，求出5个面的面积，再加上重叠部分和提手的面积即可解答。
【详解】3×1＋3×4×2＋1×4×2＋4.8
＝3＋24＋8＋4.8
＝27＋8＋4.8
＝35＋4.8
＝39.8（平方分米）
答：需要39.8平方分米的无纺布。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用。
23．600元
【分析】首先根据长方体的表面积公式，求出除上下底面外，每个长方体需要油漆的面积是多少，再乘4，求出4根长方体立柱需要油漆的总面积是多少；然后根据总价＝单价×数量，用每平方米的价格乘以需要油漆的总面积，求出一共需要多少元即可。
【详解】3分米＝0.3分米
25×（0.3×5×4×4）
＝25×24
＝600（元）
答：一共需要600元。
【点睛】解答此题的关键是求出4根长方体立柱需要油漆的总面积是多少。
24．80平方分米
【分析】求需要玻璃的面积就是计算正方体的表面积，因为鱼缸无盖，所以只计算正方体5个面的面积即可。
【详解】4×4×5
＝16×5
＝80（平方分米）
答：至少需要80平方分米的玻璃。
【点睛】本题主要考查应用正方体的表面积公式解决实际问题，根据实际情况分析需要计算面的数量是解答题目的关键。
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