人教A版（2019）必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课件（共85张ppt）

(共85张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第1课时）
整理得：
解：
x2–12x+20＜0
问题1： 园艺师打算在绿地上用栅栏围一
个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是
24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于
20ｍ ，则这个矩形的边长为多少米？
（1）与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点？
（2）根据一元一次不等式的定义，能否给这个不等式起个名字？并给出一般形式？
注：
①一元：只含一个未知数；
②二次：未知数的最高次数是2；
一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或____________ ，其中a，b，c均为常数， .
一个
2
③一般形式 ;
④一般形式中 不可以省略.
一元二次不等式
思考
？




没有实数根


R



二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
记忆口诀：大于取两边，小于取中间
【例题讲解】
思考
？
把二次项系数化为正数
解一元二次不等式的流程图








化标准式
解方程
画图像
写解集
（课本P53）
课堂练习
1.判断下列式子是否是一元二次不等式.　
（5）不是，其他都是.
2.解下列不等式：
∴原不等式可化为
所以原不等式的解集为
而 的图象开口向上，
（2）不等式可化为
∴方程 有两个实数根
所以原不等式的解集为
（3）原不等式化为
所以不等式的解集是
∴方程 有两个实数根
（4）原不等式可化为
所以原不等式的解集是
2.一元二次不等式解法的步骤：
（1）将二次项系数化为正数 (a>0);
（2）计算判别式，判断方程是否有根;
（3）如果有根，求出方程的根；
（4）结合图像写出不等式的解集.
口诀：大于取两边，小于取中间
1.“三个二次”的关系
课堂小结
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第2课时）
例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
一元二次不等式在实际问题中的应用
所以方程 有两个实数根：
因为
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.由题意得，
移项整理得
因为在这个实际问题中x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.
得不等式的解集为
练习 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）
方程 有两个实数根，
显然
即
移项整理，得
解：设这辆汽车刹车前的车速至少为 xkm/h，根据题意，得
所以这辆汽车刹车前的车速至少为
然后,画出二次函数 的图象，由图象得不等式的解集为
解一元二次不等式的过程涉及一元二次方程、一元二次
函数的图象的有关知识，那么一元二次不等式与一元二次方
程、一元二次函数之间有什么关系呢？
三个“二次”的关系
例2 已知一元二次不等式 的解集为
求 的值.
分析：-2和1是一元二次方程 的两个根.
解：由根与系数的关系，得
解得
寻找关系式
练习、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
例3 不等式 对所有实数
都成立，求a的取值范围.
解：(1)当 时，不等式为 不符合题意.
(2)当 时，则
解之得
综上所述 的取值范围是
探究3：含参不等式恒成立的问题
含参不等式恒成立的问题
（1）一元二次不等式 恒成立.
（2）一元二次不等式 恒成立.
（4）一元二次不等式 恒成立.
（3）一元二次不等式 恒成立.
O
练习1
解：由根与系数的关系，得
解得
2.不等式 恒成立，
试求 的取值范围.
解：由题意知：
①当 ，即 时，不等式化为
②当 ，即 时，原不等式等价于
恒成立，满足条件.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第3课时）
解：原不等式可化为
它所对应的二次方程的两根为
当 即 时，原不等式的解集为 ；
当 即 时，原不等式的解集为 ；
当 即 时，原不等式的解集为
例1.解关于 的不等式
x
含参数的一元二次不等式的解法
判别式大于零时，还需要讨论两根的大小
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时
当a=0时
当a<0时
练习、 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
例2 解关于 的不等式
当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零
三种情况进行分类.
①
②
③
【练习】　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
例3 解关于 的不等式
解:
(1) 当
有两个不相等的实数根,
所以不等式
判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
(3)当
无实数根,
所以不等式
解集为
(2)当
有两个相等的实数根，
【练习】　解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
解　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1.
(3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，∴xx2.
综上，当－4当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
（第4课时）
分式不等式和绝对值不等式的解法
分式不等式的定义：
一、分式不等式的解法
把分式不等式等价转化为整式不等式
解分式不等式的本质：
例1：求不等式 的解集
分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.
因此
或
不等式组(1)的解集是 ，
不等式组(2)的解集是
所以，原不等式的解集为
分析：当且仅当分子 与分母 同号时， 上述不等式成立，而两个数的商与积同号.
因此，上述不等式可转化为
所以，原不等式的解集为
整式不等式
解法比较
分类讨论
转化（化归）
不等式
简
需要解两个不等式组，再取这两个不等式组解集的并集
通过等价转换，变成我们熟悉的、已经因式分解好了整式不等式C
繁
同解不等式
例2.解不等式
所以原不等式的解集为:

í
ì
>
+

-
-

í
ì
<
+

-
-

0
1
2
0
2
0
1
2
0
2
x
x
x
x
或

í
ì
+

+

í
ì
+

+

<0
1
2
0
2
>0
1
2
0
2
x
x
x
x
或
求下列不等式的解集
练一练
课堂练习
1.求不等式 的解集
2.
若不等式
的解集是
求a的值。
3.解关于x的不等式:
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：x∈φ
（3）当a2综上：
（1） 当a>1或a<0时, 原不等式解集为：{x|a（2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：x∈φ
（3）当0解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
移项
通分
解不等式
解：
1o
∴原不等式解集为：
4.解关于x的不等式：
2o
解集为：
解集为：
解集为：
综上：(1)当a>1时,原不等式的解集为：
(2)当0(3)当a=0时,原不等式的解集为：
(4)当a<0时,原不等式解集为：
二、含绝对值不等式的解法
1、理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．
2、会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c； |ax＋b|≥c；
|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.
3、能利用绝对值不等式解决实际问题.
学习目标
观察、思考：不等式│x│<2的解集
方程│x│＝2的解集？
{x│x=2或x=-2}
0
2
-2
{x│-2 < x < 2 }
不等式│x│> 2解集
{x│x > 2或x<-2 }
0
2
-2
0
2
-2
-a
a
-a
a
归纳：|x|0)
|x|>a (a>0)
-aX>a 或 X<-a
如果 a ＞0，则
【例1】解不等式：|3x－1|≤2
题型一：|ax+b|≤c和|ax+b|≥c (c>0) 型不等式的解法
练习： 解不等式
解：
这个不等式等价于
因此，不等式的解集是（–1，4）
例 2 解不等式
＞5
解：
这个不等式等价于
或
（1）
（2）
（1）的解集是（4，+∞），
（2）的解集是（－∞，－1），
∴ 原不等式的解集是（4，+∞）∪ （－∞，－1）。
还有没有其他方法
例 3
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
方法一：等价于不等式组
方法二：几何意义
-m
-n
n
m
0
例4、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法一：原不等式可化为：
∴原不等式的解集为：
题型三：|x-a|+ |x-b|≥c和|x-a|+ |x-b|≤c(c>0) 型不等式的解法
【例1】试解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一：利用绝对值的几何意义,体现了数形结合的思想.
-2
1
2
-3
解:由绝对值的几何意义，得：
3个单位
1个单位
1个单位
方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解．体现了分类讨论的思想．
解:原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0
令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则
-3
1
2
-2
-2
x
y
方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想．
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。
主要方法有：
⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；
⑵定义法:分类讨论去绝对值符号；
含一个绝对值符号直接分类；
含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定.
⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）;
⑷利用函数图象来分析.
题型四：形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题
【例1】(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．
【解】(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，
即f(x)min＝5，∴a<5.
【例1】(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．
【解】(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，
由题意a>f(x)min，同上得a>5.
【例1】(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．
【解】(3)问题可转化为对一切x∈R恒有
a≤f(x) a≤f(x)min，可知a≤5.
1．不等式1＜|x+1|＜3的解集是(　　)
　　A．(0,2)　　　　　　　　B．(-2,0)∪(2,4)
　　C．(-4,0)　　　　　　　 D．(-4,-2)∪(0,2)
D
【解析】原不等式等价于1＜x+1＜3或-3＜x+1＜-1，
解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.
练习
2.解不等式.
(1)|x－5|<8;
(2)|2x + 3|>1.
解:(1)由原不等式可得－8∴－3∴原不等式的解集为{x|－3(2)由原不等式可得2x + 3< －1或2x + 3 >1,
∴x<－2或x>－1
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
3.解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解：
由绝对值的意义，原不等式转化为：
-(6-x)<5x-6<(6-x)
综合得0解(Ⅰ)得：0