1.5.1 全称量词与存在量词 课件（共37张PPT）

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1.5.1　全称量词与存在量词
课标定位
素养阐释
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能判断其真假.
3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应用.
4.培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、全称量词与全称量词命题
【问题思考】
给出下列语句:
(1)3x+2是无理数;
(2)x有算术平方根;
(3)对一切无理数x,3x+2还是无理数;
(4)所有实数x都有算术平方根.
1.以上语句(1)(2)是命题吗
提示:语句(1)(2)中含有变量x,无法判断它们的真假,所以(1)(2)不是命题.
2.比较语句(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“一切”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“所有”对变量x进行限定.
3.以上语句(3)(4)是命题吗 你能判断它们的真假吗
提示:(3)(4)是能判断真假的语句,是命题;(3)是真命题,(4)是假命题.
4.填表:
5.做一做:下列命题中全称量词命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数;
②所有的偶数都是合数;
③三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:命题①②含有全称量词,命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”,故三个都是全称量词命题.
答案:D
二、存在量词与存在量词命题
【问题思考】
给出下列语句:
(1)x>5;
(2)x是有理数;
(3)存在实数x,使x>5;
(4)至少有一个实数x,使x是有理数.
1.以上语句(1)(2)是命题吗
提示:不是.
2.比较语句(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.
3.以上语句(3)(4)是命题吗 若是命题,你能判断它们的真假吗
提示:(3)(4)是命题,都是真命题.
4.填表:
5.做一做:下列命题是存在量词命题的是(　　)
A.一元二次函数的图象关于y轴对称
B.正方形都是平行四边形
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“有理数全是实数”是全称量词命题.( √ )
(2)同一个全称量词命题的表述是唯一的.( × )
(3)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 全称量词命题与存在量词命题的判定
【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意实数a,b,若a>b,则
(4)有些三角形不是直角三角形;
(5)负数的平方是正数;
(6)若x>0,则x+2>2.
分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素.
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.
(4)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称量词命题.
(6)省略了全称量词“所有”,可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.
反思感悟
1.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.
2.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.
【变式训练1】 给出下列四个命题:
①有理数是实数;
②矩形都不是梯形;
③ x,y∈R,x2+y2≤1;
④凡是三角形,都有内切圆.
其中是全称量词命题的是　　　　　.(填序号)
解析:在④中含有全称量词“凡是”,为全称量词命题.③为存在量词命题.又①的实质是:所有的有理数都是实数,②的实质是:所有的矩形都不是梯形,故①②④为全称量词命题.
答案:①②④
探究二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】 用量词符号“ ”“ ”表示下列命题,并判断其真假.
(1)实数都能写成小数形式;
(2)有一个实数x,使
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)至少有一个集合A,满足A {1,2,3}.
解:(1) x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.
所以该命题是假命题.
(3) x∈{x|x是平行四边形},x的对角线互相平分,由平行四边形的性质可知此命题是真命题.
(4) A∈{A|A是集合},A {1,2,3}.
存在A={3},使A {1,2,3}成立,所以该命题是真命题.
反思感悟
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在M中找到一个x,使p(x)不成立.
(2)对于存在量词命题“ x∈M,p(x)”,要判断它为真,只需在M中找到x,使p(x)成立,要判断它为假,需要判断“ x∈M,p(x)不成立”.
【变式训练2】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;
(2) x,y为正实数,使x2+y2=0;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)存在一组m,n的值,使m-n=1.
解:(1)是全称量词命题,因为对任意x∈N,2x+1都是奇数,故该命题是真命题.
(2)是存在量词命题,因为x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故该命题是假命题.
(3)是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系,知该命题是真命题.
(4)是存在量词命题,当m=4,n=3时,m-n=1成立,故该命题是真命题.
探究三 利用全称量词命题、
存在量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 已知命题p: x∈R,使x2+2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.
解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,
所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.
即实数a的取值范围为a≥1.
将本例中的条件“ x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“ x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解:由 x∈R,x2+2x+2-a>0为真命题,
得函数y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的图象在x轴上方,
即1-a>0,得a<1.
所以实数a的取值范围为a<1.
反思感悟
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题来处理.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理.
易 错 辨 析
对量词理解不到位致错
【典例】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)矩形有一个外接圆;
(2)非负实数有两个平方根.
错解:(1)存在量词命题.
(2)存在量词命题.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题.
正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题.
(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题.
防范措施
1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定.
2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学抽象素养.
【变式训练】 用全称量词或存在量词表述下列命题:
(1)有理数都能写成分数形式;
(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°;
(3)有一个实数乘任意一个实数都等于0.
解:(1)任意一个有理数都能写成分数形式.
(2)所有n边形的内角和都等于(n-2)·180°.
(3)存在一个实数x,它乘任意一个实数都等于0.
随 堂 练 习
1.下列语句不是全称量词命题的是(　　)
A.任何一个实数乘零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高一(1)班绝大多数同学都是团员
D.所有二次函数的图象都开口向上
解析:“高一(1)班绝大多数同学都是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是存在量词命题.
答案:C
解析:当x=0时,0∈N,但0<1.
故“ x∈N,x≥1”是假命题.
答案:B
3.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除”是　　　　　命题.(填“真”或“假”)
答案:真
4.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是　　　　　.
解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,故a≤3.
答案:a≤3
5.用全称量词表述下列命题,并判断真假:
(1)x2+2x+3≥2;
(2)负数都没有算术平方根;
(3)对角线垂直的四边形是菱形.
解:(1) x∈R,x2+2x+3≥2.
x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.是真命题.
(2)所有的负数都没有算术平方根.是真命题.
(3)所有对角线垂直的四边形都是菱形.是假命题.