1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
1.5.2　全称量词命题
和存在量词命题的否定
课标定位
素养阐释
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3.会判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假.
4.培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、命题的否定
【问题思考】
给出下列命题:
1.比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
提示:命题(3)是对命题(1)的否定;命题(4)是对命题(2)的否定.
2.试判断以上四个命题的真假.
提示:(1)假;(2)真;(3)真;(4)假.
3.填空:(1)一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
二、全称量词命题的否定
【问题思考】
1.写出下列命题的否定:
(1)所有的正比例函数都是一次函数;
(2)每一个有理数都能写成分数形式.
提示:(1)并非所有的正比例函数都是一次函数.
(2)并非每一个有理数都能写成分数形式.
2.怎样用存在量词改写上述两个命题的否定
提示:(1)存在一个正比例函数不是一次函数.
(2)存在一个有理数不能写成分数形式.
3.以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化
提示:这两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
4.填表:
5.做一做:命题“ x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是(　　)
A. x∈R,都有x2-x+1≤0
B. x∈R,使x2-x+1>0
C. x∈R,使x2-x+1≤0
D.以上均不正确
解析:原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题.故选C.
答案:C
三、存在量词命题的否定
【问题思考】
1.写出下列命题的否定:
(1)有些矩形是正方形;
(2) x∈R,x3-1=0.
提示:(1)没有一个矩形是正方形.
(2)不存在x∈R,x3-1=0.
2.怎样用全称量词改写上述两个命题的否定
提示:(1)每一个矩形都不是正方形.
(2) x∈R,x3-1≠0.
3.以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化
提示:这两个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
4.填表:
5.做一做:命题“ x≥0,2x=3”的否定是(　　)
A. x<0,2x≠3 B. x≥0,2x≠3
C. x≥0,2x≠3 D. x<0,2x≠3
解析:因为原命题为存在量词命题,所以其否定为全称量词命题,即 x≥0,2x≠3.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.( × )
(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.( √ )
(3)存在量词命题与其否定的真假可以相同.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 全称量词命题的否定与真假判断
【例1】 写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
(3)等圆的面积相等,周长相等.
解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等.是假命题.
(2)该命题的否定:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,即 时,方程没有实数根,故为真命题.
(3)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.是假命题.
若题(2)变为“不论m取什么实数,关于x的方程x2+2mx+m2+1=0都无实数根”,试写出其否定,并判断其真假.
解:该命题的否定:存在实数m,使关于x的方程x2+2mx+m2+1=0有实数根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程无实数根.所以其否定为假命题.
反思感悟
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是:“ x∈M,p(x)”,其否定形式应该是先把全称量词改为存在量词,再对命题p(x)进行否定,即“ x∈M, p(x)”.所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题,则其否定命题就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定命题就是真命题.
【变式训练1】 命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,|x|+x2<0 B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0 D. x∈R,|x|+x2≥0
解析:根据全称量词命题的否定形式知,命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定为“ x∈R,|x|+x2<0”.故选C.
答案:C
探究二 存在量词命题的否定与其真假判断
【例2】 写出下列存在量词命题的否定并判断真假:
(1) x>1,使x2-2x-3=0;
(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;
(3)至少有一个点(x,y),满足y=2x+1.
解:(1)该命题的否定: x>1,x2-2x-3≠0.是假命题.
(2)该命题的否定:对所有实数x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定为真命题.
(3)该命题的否定:对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是假命题.
反思感悟
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是:“ x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量词改为全称量词,再对命题p(x)进行否定,即“ x∈M,
p(x)”,所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
【变式训练2】 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)有些被5整除的整数末位是0;
(2)存在x∈R,x>2;
(3)存在x∈R,x2<0.
解:(1)该命题的否定:所有被5整除的整数末位都不是0.是假命题.
(2)该命题的否定:任意x∈R,有x≤2,是假命题.
(3)该命题的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命题.
易 错 辨 析
忽略隐含量词致错
【典例】 写出下列命题的否定.
(1)有理数是实数;
(2)能被8整除的数都能被4整除.
错解:(1)该命题的否定:有理数不是实数.
(2)该命题的否定:能被8整除的数不能被4整除.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:由于有些全称量词命题或存在量词命题隐含了量词,从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误.
正解:(1)原命题省略了全称量词“所有的”,可以改写为“所有的有理数都是实数”,故原命题的否定为:至少存在一个有理数不是实数.
(2)原命题省略了全称量词“每一个”,可以改写为“每一个能被8整除的数都能被4整除”,故原命题的否定为:有些能被8整除的数不能被4整除.
防范措施
1.对于隐含了量词的命题的否定,先补全量词再进行否定.要注意对其进行改写进而找出量词,同时应把握每一个命题的含义,写出否定形式后最好结合它们的真假性(一真一假)进行验证.
2.注意对全称量词命题和存在量词命题的否定形式的理解,培养数学抽象素养.
随 堂 练 习
1.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是(　　)
A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0
答案:D
2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案:D
3.存在量词命题“有些奇数是合数”的否定是　　　　　　　,这是　　　　　命题.(填“真”或“假”)
解析:存在量词命题“有些奇数是合数”的否定是“任何一个奇数都不是合数”,这是假命题.
答案:任何一个奇数都不是合数　假
4.命题“正多边形的内角都相等”的否定是　　　　　　　.
解析:原命题为全称量词命题,可以改写为“所有的正多边形的内角都相等”,故否定为“有的正多边形的内角不都相等”.
答案:有的正多边形的内角不都相等
5.写出下列命题的否定.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2) x∈R,x2-2x+1≤0;
(3)有些实数的绝对值是正数;
(4) x∈R,x2+1<0.
解:(1)否定:有的矩形不是平行四边形.
(2)否定: x∈R,x2-2x+1>0.
(3)否定:任意实数的绝对值都不是正数.
(4)否定: x∈R,x2+1≥0.