第四章 指数函数与对数函数单元测试-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第四章指数函数与对数函数
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
3. 化简等于( )
A. B. C. D.
4. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5. 若，，则函数的图像一定经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限
6. 函数的图像有可能是( )
A. B. C. D.
7. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
9. 为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是( )
参考数据：，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
10. 中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 下列函数的图象过定点的有( )
A. B.
C. D.
12. 则的取值可能是( )
A. B. C. D.
13. 若，则( )
A. B. C. D.
14. 在同一直角坐标系中，函数与，且的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数的取值的有( )
A. B. C. D.
15. 已知某湖泊蓝藻面积单位：与时间单位：月满足若第个月的蓝藻面积为，则下列说法正确的是( )
A. 从第二个月起，蓝藻面积每个月相对于前一个月的增长率为
B. 从第二个月起，蓝藻每个月增加的面积都相等
C. 第个月时，蓝藻面积就会超过
D. 若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 关于的不等式的解集为 ．
17. 已知函数，的定义域和值域都是，则________．
18. 函数，且的图象恒过定点的坐标为 ．
19. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
20. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：把物体放在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度单位：满足：若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟．则再经过分钟后，该物体的温度为________．
四、解答题
21. 已知函数且的图象经过点．
求，并比较与的大小；
求函数的值域．
22. 解下列方程：
；
；
．
23. 已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并给予证明；
求不等式的解集．
24. 已知二次函数满足
求的最小值；
若在上有两个不同的零点，求的取值范围．
25. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在到之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．
求出函数的解析式；
一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？保留小数点后一位，参考数据，
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：由已知得：，解得，所以，
因为在上单调递减，，
所以；
解：因为，
所以，故的值域是．
22.【答案】．
．
．
23.【答案】解：真数部分大于零，即解不等式，解得，
函数的定义域为．
函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数．
解不等式，即，
即，
从而有，所以．
不等式的解集为．
24.【答案】解：因为满足，
所以，
化得，
因为对任意恒成立，
所以，即，
，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得小值为．
由知，
由，得，
因为在上有两个不同的零点，
所以
解得，
所以的取值范围是．
25.【答案】解：Ⅰ令，则，
由图象可知，图象经过，两点，
则有，解得，
所以；
Ⅱ由题意可知，有治疗效果的浓度在到之间，
所以浓度在时为最迟停止注射时间，
故，解得，
浓度在从时降到时为最长间隔时间，
故，即，
两边同时取以为底的对数，
则有，
即
，
所以，
所以最迟隔小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔小时开始进行第二次注射．