第一章 空间向量与立体几何 单元测试题（含答案）

第一章空间向量与立体几何
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 已知正方体的棱长为，对角线与相交于点，则有．( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，若向量与向量平行，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3. 已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在四面体中，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5. 设、，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，则能使的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面夹角为( )
A. B. C. 或 D.
8. 在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，( )
A. B. C. D.
9. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点不包括端点，，若使异面直线与所成角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
10. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离，则( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题
11. 已知向量，，则平面的一个单位法向量是( )
A. B. C. D.
12. 给出下列命题，其中正确的有( )
A. 已知向量，则
B. 若向量，共线，则向量，所在直线平行或重合
C. 已知向量，则向量，与任何向量都不构成空间的一个基底
D. ，，，为空间四点，若，，构成空间的一个基底，则，，，共面
13. 已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
14. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
15. 已知菱形中，，与相交于点将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A. B. 存在一个位置，使为等边三角形
C. 与不可能垂直 D. 直线与平面所成的角的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知空间向量，，那么在上的投影向量为___________．
17. 平行六面体中，，，，则线段的长度是__________．
18. 已知空间向量，，则在方向上投影向量的坐标为_________．
19. 已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则 ．
20. 如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为，，平面，异面直线与所成的角为，若为线段的中点，则点到直线的距离为 ．
四、解答题
21. 已知空间三点，，．
求向量与的夹角的余弦值；
若向量与垂直，求实数的值
22. 如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值．
23. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，为棱上一点，且，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
写出，，，四点的坐标
求，
24. 如图，在四棱锥中，，为平行四边形，，平面，，分别是，的中点．
证明：平面平面．
求二面角的余弦值．
25. 如图，已知直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点．
证明：；
当平面与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：，，
，．
．
；
向量与向量垂直，
，
即，
解得 ．
22.【答案】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则，
与所成角的余弦值为．

23.【答案】解：依题意可得，，，．
因为，，
所以，．
24.【答案】证明：因为平面，平面，所以．
又因为，且为平行四边形，，
所以为等边三角形，
又因为为的中点，所以，
又因为，所以，
因为，，都在平面内，所以平面，平面
所以平面平面．
解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
由，，可得令，则，，
即．
，
又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
25.【答案】解：以为坐标原点，建立如图所示的建立空间直角坐标系，
设，可得，，，，
所以，，
因为，
所以；
因为，
设为平面的法向量，则
即，可取，
因为平面的法向量为，
所以，
由题设，可得，
所以线段的长度．