函数的定义域及其求法
一、选择题（共20小题）
1、已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A、{x|x＞﹣1} B、{x|x＜1}
C、{x|﹣1＜x＜1} D、?
2、设A=，B={x|x≤6，x∈Q}，则A∩B等于（ ）
A、{1，4} B、{1，6}
C、{4，6} D、{1，4，6}
3、集合，则M∩N=（ ）
A、（2，+∞） B、[2，+∞）
C、N D、?
4、已知函数的定义域为M，集合N={y|y＞1}，则M∩N=（ ）21*cnjy*com
A、[0，2） B、（0，2）
C、（1，2] D、[1，2）
5、已知全集U=R，集合M={x|y=}，则CUM=（ ）
A、{x|x≥1} B、{x|x＜1}
C、{x|x≥0} D、{x|x＜0}
6、函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），f（x）≥0的解集为M，f（x）＜0的解集为N，则下列结论正确的是（ ）
A、M=CRN B、CRM∩CRN=?
C、M∪N=R D、CRM∪CRN=R
7、若，则f（x）的定义域为（ ）
A、 B、
C、 D、（0，+∞）
8、函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（ ）
A、（﹣∞，﹣1） B、（1，+∞）
C、（﹣1，1）∪（1，+∞） D、（﹣∞，+∞）
9、函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、（﹣∞，﹣1]
C、（﹣1，+∞） D、[﹣1，+∞）
10、设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（ ）
A、[0，1） B、（0，1）
C、[0，1] D、（﹣1，0]
11、函数的定义域为（ ）
A、[﹣4，1] B、[﹣4，0）
C、（0，1] D、[﹣4，0）∪（0，1]
12、函数的定义域为（ ）
A、（0，+∞） B、（﹣∞，1]
C、（﹣∞，0）∪[1，+∞） D、（0，1]
13、若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A、[0，1] B、[0，1）
C、[0，1）∪（1，4] D、（0，1）
14、函数f（x）=lg的定义域为（ ）
A、[0，1] B、（﹣1，1）
C、[﹣1，1] D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
15、函数的定义域是（ ）
A、（0，1] B、（0，+∞）
C、[1，+∞） D、（1，+∞）
16、函数的定义域为（ ）21*cnjy*com
A、（1，2）∪（2，3） B、（﹣∞，1）∪（3，+∞）
C、（1，3） D、[1，3]
17、函数f（x）=的定义域是（ ）
A、（﹣∞，0] B、[0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，+∞）
18、函数的定义域是（ ）
A、（，1] B、[，1）
C、（，+∞） D、[1，+∞）
19、函数y=的定义域为（ ）
A、（﹣
B、
C、
D、
20、函数的定义域为（ ）
A、? B、R
C、[﹣1，1] D、x=1
二、填空题（共5小题）
21、设U=R，M={x|x2﹣x≤0}，函数的定义域为N，则M∩N= _________ ．
22、已知集合，B={y|y=x2+1}，则A∩B= _________ ．
23、设集合M={x|0≤x≤1}，函数的定义域为N，则M∩N= _________ ．
24、集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，集合，则M∩N等于 _________ ．
25、已知集合P={x|≤x≤3}，函数f（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q，若P∩Q=[，），P∪Q=（﹣2，3]则实数a的值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、求函数的定义域．
27、（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
28、记函数的定义域为A，的定义域为B（a为实常数且a≠1）
（1）求A、B；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
29、选修4﹣5：不等式选讲
设函数．21*cnjy*com
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
30、求函数的定义域．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A、{x|x＞﹣1} B、{x|x＜1}
C、{x|﹣1＜x＜1} D、?
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。21*cnjy*com
分析：根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．
解答：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，
∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，
和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，
∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．
故选C．
点评：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
2、设A=，B={x|x≤6，x∈Q}，则A∩B等于（ ）
A、{1，4} B、{1，6}
C、{4，6} D、{1，4，6}
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。
专题：综合题。
分析：集合的交集表示两个集合的公共元素，所以根据k属于自然数列举出k的值，分别求出相应的x的值，根据集合B表示小于等于6的有理数，从集合A中列举的x的值中找出小于等于6的有理数，即可得到两集合的交集．
解答：解：集合A中的x=，k∈N，
所以k=0时，x=1；
k=2时，x=；
k=3时，x==4；
k=4时，x=；
k=5时，x=；
k=6时，x=；
k=7时，x==6，…，
所以集合A={1，4，6，…}；而集合B中x≤6，x∈Q，
则A∩B={1，4，6}
故选D
点评：此题考查学生理解交集的定义，会进行交集的运算，是一道基础题．
3、集合，则M∩N=（ ）
A、（2，+∞） B、[2，+∞）
C、N D、?
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：先由已知条件求出集合M和N，再求集合M∩N．
解答：解：∵集合M={x|y=}={x|x≥2}，
N={y|y=}={y|y≥0}，
∴M∩N={x|x≥2}．
故选B．
点评：本题考查集合的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数定义域的合理运用．
4、已知函数的定义域为M，集合N={y|y＞1}，则M∩N=（ ）
A、[0，2） B、（0，2）
C、（1，2] D、[1，2）
点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算．此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获．
5、已知全集U=R，集合M={x|y=}，则CUM=（ ）
A、{x|x≥1} B、{x|x＜1}
C、{x|x≥0} D、{x|x＜0}
考点：补集及其运算；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可．
解答：解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
全集U=R，
∴CUM={x|x＜1}．
故选B．
点评：本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题
6、函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），f（x）≥0的解集为M，f（x）＜0的解集为N，则下列结论正确的是（ ）
A、M=CRN B、CRM∩CRN=?
C、M∪N=R D、CRM∪CRN=R
考点：交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：设函数f（x）的定义域为A，由题意可得M和N的并集为A，交集为空集，由全集为R，得到A的补集为M，而CRA?CRN，故选项A错误；由德摩根律得到CRM∩CRN为A的补集，而A的补集为{a}，选项B错误；根据所设M和N的并集为A不为R，选项C错误；再利用德摩根律CRM∪CRN为M和N交集的补集，即空集的补集，故结果为R，选项D正确．
解答：解：设A=（﹣∞，a）∪（a，+∞），
根据题意得：M∪N=A，M∩N=?，
则M=CRA?CRN，选项A错误；
而CRM∩CRN=CR（M∪N）=CRA={a}，选项B错误；
则M∪N=A，选项C错误；
则CRM∪CRN=CR（M∩N）=R，选项D正确，
故选D
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域，熟练掌握德摩根律及交、并、补集的意义是解本题的关键，在求补集时注意全集的范围．
7、若，则f（x）的定义域为（ ）
A、 B、
C、 D、（0，+∞）
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．
解答：解：要使函数的解析式有意义
自变量x须满足：
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即0＜2x+1＜1
解得
故选A
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键．
8、函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（ ）
A、（﹣∞，﹣1） B、（1，+∞）
C、（﹣1，1）∪（1，+∞） D、（﹣∞，+∞）
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．
解答：解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，
应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；
故选C．
点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．
9、函数f（x）=lg（x+1）的定义域为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、（﹣∞，﹣1]
C、（﹣1，+∞） D、[﹣1，+∞）
点评：本题主要考查了对数函数的定义域，对数函数定义域的求解一般确保真数恒大于0，属于基础题．
10、设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（ ）
A、[0，1） B、（0，1）
C、[0，1] D、（﹣1，0]
考点：函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断。
专题：计算题。21cnjy
分析：先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．
解答：解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0
解得其解集是{0≤x≤1}，
而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0
解得：﹣1＜x＜1
所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，
所以M∩N=[0，1），
故选A
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算．
11、函数的定义域为（ ）
A、[﹣4，1] B、[﹣4，0）
C、（0，1] D、[﹣4，0）∪（0，1]
考点：函数的定义域及其求法。
分析：为使得式子有意义，则偶次开方一定非负且分母不为0．
解答：解：由
得﹣4≤x＜0或0＜x≤1，
故选D．
点评：注意偶次开方一定非负且分母不为0
12、函数的定义域为（ ）
A、（0，+∞） B、（﹣∞，1]
C、（﹣∞，0）∪[1，+∞） D、（0，1]
考点：函数的定义域及其求法。
分析：偶次开方一定要非负，即1﹣x≥0，并且，对数函数的真数一定要大于0，即，x＞0．
解答：解：由?0＜x≤1
故选D．
点评：注意：定义域是函数式子有意义时要满足的条件，偶次开方一定要非负，对数函数的真数一定要大于0．
13、若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A、[0，1] B、[0，1）
C、[0，1）∪（1，4] D、（0，1）
考点：函数的定义域及其求法。21cnjy
分析：根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．
解答：解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2但x≠1故x∈[0，1），
故选B．
点评：本题考查求复合函数的定义域问题．
14、函数f（x）=lg的定义域为（ ）
A、[0，1] B、（﹣1，1）
C、[﹣1，1] D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21cnjy
考点：函数的定义域及其求法。
分析：对数的真数一定要大于0，进而构造不等式进行求解．
解答：解：由，知，1﹣x2＞0，即，x2＜1，进而得到，﹣1＜x＜1
故，函数的定义域为（﹣1，1）
故选B
点评：考查对数真数的要求，即，真数要大于0．
15、函数的定义域是（ ）
A、（0，1] B、（0，+∞）
C、[1，+∞） D、（1，+∞）
考点：函数的定义域及其求法。
分析：根据对数函数的定义，及根式有意义的条件，进行求解．
解答：解：∵函数的定义域是log2x≥0，
解得x≥1，
选C．
点评：此题主要考查对数函数定义域的求法，注意根式里面要大于等于0，这是个易错点．
16、函数的定义域为（ ）
A、（1，2）∪（2，3） B、（﹣∞，1）∪（3，+∞）
C、（1，3） D、[1，3]
点评：对定义域的考查一定要使得式子有意义．比方说分母不能是0，对数的真数必须大于0，偶次开方一定非负等等．
17、函数f（x）=的定义域是（ ）
A、（﹣∞，0] B、[0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，+∞）21cnjy
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：由题意得1﹣2008x≥0，，移项后把“1”变为20080，求出不等式的解集即是所求的定义域．
解答：解：要使函数f（x）=有意义，只需要1﹣2008x≥0，
即2008x≤1=20080，解得x≤0，
则函数f（x）的定义域是（﹣∞，0]．
故选A．
点评：本题根据偶次根号下被开方数大于等于零列出不等式，再把常数化为底数相同的指数幂形式，求出x的解集，即是函数的定义域．
18、函数的定义域是（ ）
A、（，1] B、[，1）
C、（，+∞） D、[1，+∞）21cnjy
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：函数的定义域即使函数有意义的自变量的取值范围，本题中偶次根号下要非负，真数位置要大于0，由此得到不等式，解不等式即可得到所求的定义域．
解答：解：由题设条件得
解得x≥1
故选D
点评：本题考点是定义域及其求法，考查求定义域的方法，求定义时要注意分工分母不为0，偶次根号下非负，对数的真数大于0等限制条件，平时学习时对每一个概念的适应范围要注意总结，以备在求解本类题时作为限制条件．
19、函数y=的定义域为（ ）
A、（﹣ B、
C、 D、
点评：本题考查求函数的定义域时，当函数解析式有开偶次方根的部分，需使被开方数大于等于0．注意：定义域的形式是集合或区间．
20、函数的定义域为（ ）
A、? B、R
C、[﹣1，1] D、x=1
考点：函数的定义域及其求法。21cnjy
专题：计算题。
分析：令两个被开方数同时大于等于0，求出x的范围，写成区间形式即为定义域．
解答：解：要使函数有意义，需满足：
解得﹣1≤x≤1．
所以函数的定义域为【﹣1，1】
故选C
点评：求具体函数的定义域时，要保证各部分由意义即可．特别需注意：开偶次方根，被开方数大于等于0、分母非0、对数函数的真数大于0底数大于0不为1等．
二、填空题（共5小题）
21、设U=R，M={x|x2﹣x≤0}，函数的定义域为N，则M∩N= [0，1） ．
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：求出M中不等式的解集得到集合M，再求出f（x）的定义域得到N，然后分别把M和N的区间表示在数轴上得到M∩N即可．
解答：解：集合M中，不等式x2﹣x≤0，解得：0≤x≤1；集合N中，得到不等式1﹣x＞0，解得x＜1．
根据数轴上的区间可得：M∩N=[0，1）
故答案为[0，1）
点评：考查学生会求一元二次不等式的解集，会求函数的定义域，会利用数形结合的思想方法解决实际问题，会求两个集合的交集．
22、已知集合，B={y|y=x2+1}，则A∩B= {1} ．
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：根据函数的定义域及其求法，我们可以求出集合A，根据二次函数的值域，我们可以求出集合B，代入集合的交集运算，即可得到答案．
解答：解：要使函数的解析式有意义21*cnjy*com
x∈[﹣1，1]
故A=[﹣1，1]
又∵y=x2+1≥1
∴B={y|y=x2+1}=[1，+∞）
故A∩B={1}
故答案为：{1}
点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，函数的定义域及其求法，二次函数的性质，其中根据函数定义域和值域的求法，分别求出集合A，B是解答本题的关键．
23、设集合M={x|0≤x≤1}，函数的定义域为N，则M∩N= [0，1） ．
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：根据 1﹣x＞0，求出此函数的定义域为N=（﹣∞，1 ），再利用两个集合的交集的定义求得M∩N．
解答：解：对于函数，有 1﹣x＞0，∴x＜1，故此函数的定义域为（﹣∞，1）．
故N=（﹣∞，1），故M∩N=[0，1]∩（﹣∞，1）=[0，1）．
故答案为：[0，1）．
点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
24、集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，集合，则M∩N等于 [﹣1，2] ．
∴M∩N=[﹣1，2]
故答案为：[﹣1，2]
点评：本题考查交集及其运算，函数的定义域与值域，本题解题的关键是看出集合中的主要元素，看清元素在这个集合中指的是什么，再求出范围，本题是一个基础题．
25、已知集合P={x|≤x≤3}，函数f（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q，若P∩Q=[，），P∪Q=（﹣2，3]则实数a的值为 ﹣ ．
考点：子集与交集、并集运算的转换；函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：先根据P∩Q与P∪Q求出集合Q，从而求出ax2﹣2x+2＞0的解集，然后利用根与系数的关系求出a即可．
解答：解：∵P∩Q=[，），P∪Q=（﹣2，3]
∴Q=（﹣2，）
而函数f（x）=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q
ax2﹣2x+2＞0的解集为（﹣2，）
ax2﹣2x+2=0的两个根为﹣2，
∴﹣2×=解得a=﹣21*cnjy*com
故答案为：﹣
点评：本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念，以及指数函数的定义域的求解，属于基础题．
三、解答题（共5小题）
26、求函数的定义域．
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：要使函数有意义，则由负数不能开偶次方根和零的零次幂无意义求解．
解答：解：要使函数有意义，则需：
∴
故函数的定义域是：
点评：本题主要考查根式函数和幂函数的定义域，要注意负数不能开偶次方根，零的零次幂没有意义等．
27、（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
考点：函数的定义域及其求法。
专题：计算题。
分析：（1）根据使函数解析式有意义的原则，分别考虑分母不等0，偶次被开方数不小于0，真数部分大于0的原则，可以构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域．
（2）根据函数单调性的性质，我们易判断出函数在其定义域为为增函数，求出其定义域后，即可得到函数的值域
解答：解：（1）由题
解得
故x，1）
函数f（x）=，1）
（2）由题1+3x
，+∞）21*cnjy*com
∴=﹣1函数值域为[﹣1，+∞）
点评：本题考查的知识点函数的定义域及其求法，函数的值域及其求法，求定义域即构造使解析式有意义的不等式组，（2）的关键则是要分析出函数的单调性．
28、记函数的定义域为A，的定义域为B（a为实常数且a≠1）
（1）求A、B；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
而对于函数g（x），应该满足（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0?（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0
讨论：①a＜1时，B=（2a，a+1）
②a＞1时，B=（a+1，2a）
（2）A∪B=A?B?A
①
②
综上所述，实数a的取值范围为：
点评：本题考查了函数的定义域的求法和集合包含关系的判断，属于基础题．看准题中的二次根号的被开方数不小于零和分母同时不为零，是解决本题的关键．
29、选修4﹣5：不等式选讲
设函数．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法。21*cnjy*com
分析：（1）在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，结合图象写出：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0的解集，就是所求函数的定义域．
（2）由题意知，x∈R时，|x+1|+|x﹣2|≥﹣a 恒成立，故，|x+1|+|x﹣2|的最小值大于或等于﹣a，从而得到a的取值范围．
解答：解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，
在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象，…（3分）
由图象知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）． …（5分）
（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|﹣a≥0，
即|x+1|+|x﹣2|≥a，…（7分）
又由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴a≤3． …（10分）
点评：本题考查求函数的定义域的方法，绝对值不等式的意义和解法，体现了数形结合的数学思想．
30、（1977?河北）求函数的定义域．
考点：函数的定义域及其求法。
分析：求函数定义域就是保证函数有意义，本题只需2﹣3x＞0就可．
解答：解：由．
故函数定义域为{x|x＜}
点评：求函数定义域的常用方法：
（1）分母不为0；
（2）偶次根式下的式子大于等于0；
（3）对数函数的真数大于0；
（4）0的0次幂没有意义21*cnjy*com
