函数的概念及其构成要素
一、选择题（共20小题）
1、已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是（ ）
A、0 B、1
C、0或1 D、1或2
2、设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（ ）
A、 B、0
C、 D、1
3、若，则方程f（4x）=x的根是（ ）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
4、下列两个变量之间的关系是函数关系的是（ ）
A、光照时间和果树产量
B、降雪量和交通事故发生率
C、人的年龄和身高
D、正方形的边长和面积
5、函数y=f（x）的图象与x=2的交点的个数（ ）
A、0个 B、1个
C、0个或1个 D、不能确定
6、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）21*cnjy*com
A、角度和它的正弦值
B、正方形边长和面积
C、正n边形边数和顶点角度之和
D、人的年龄和身高
7、对于函数y=f（x），以下说法不正确的是（ ）
A、y是x的函数
B、对于不同的x，y的值可以不同
C、f（a）表示当x=a时函数f（x）的值
D、f（x）一定可用一个具体的式子表示出来
8、下列图象图中是函数图象的是（ ）?
A、 B、
C、 D、
9、如图所示，不可能表示函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y=x2，x∈{﹣1，0，1，2}为同族函数的个数有（ ）
A、5个 B、6个
C、7个 D、8个
11、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数、下列函数：①f（x）=sinx；②f（x） =π（x﹣1）2+3；③；④f（x）=log0.6x其中是一阶格点函数的有（ ）
A、①② B、①④
C、①②④ D、①②③④
12、设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（ ）
A、 B、
C、 D、
13、函数f：{1，2}→{1，2}满足 f（f（x））=f（x），则这样的函数个数共有（ ）
A、1个 B、2个21*cnjy*com
C、3个 D、4个
14、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A、角度和它的正切值
B、人的右手一柞长和身高
C、正方体的棱长和表面积
D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间
15、在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数，下列函数中“一阶格点”函数有（ ）
①f（x）=π（x﹣1）2﹣1；②f（x）=20101﹣x；③f（x）=ln（x+1）；④．
A、①③ B、②③
C、①④ D、②④
16、具有性质：f=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
①y=x﹣，②y=x+，③y=
A、①② B、②③
C、①③ D、只有①
17、函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A、
B、g（x）=x2+6，x∈[4，16]
C、g（x）=x+6，x∈[4，16]
D、g（x）=2x+6，x∈[4，16]
18、某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n（n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n题的正确率f（n），则下列关系中不可能成立的是（ ）
A、f（5）=2f（10）
B、f（1）=f（2）=…=f（8）＞f（9）＞f（10）
C、f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（9）＜f（10）
D、f（8）＜f（9）且f（9）=f（10）
19、对于函数y=f（x），以下说法正确的有（ ）
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个常量；
④f（x）一定可以用一个具体的式子表示出来．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
20、已知B={4，25}，则能构成以B为值域且对应法则为f（x）=x2的函数关系有（ ）个．
A、4 B、8
C、9 D、10
二、填空题（共5小题）
21、已知函数f（x）=x2+|x﹣2|，则f（1）= _________ ．
22、对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．
请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：21*cnjy*com
f（x）=gx；②f（x）=x3，③④f（x）=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有 _________ ．（填上正确的序号）
23、已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是 _________ ．
①y=f（x）图象与直线x=a必有一个交点；
②y=f（x）图象与直线x=a没有交点；
③y=f（x）图象与直线x=a最少有一个交点；
④y=f（x）图象与直线x=a最多有一个交点．
24、函数的定义域为 _________ ．
25、函数的三要素： _________ ， _________ ， _________ ．相同函数的判断方法：① _________ ；② _________ （两点必须同时具备）
三、解答题（共5小题）
26、叙述函数的定义．
27、已知函数
（1）求f（x）的定义域；
（2）当x=时，求f（x）的值；
（3）判断函数f（x）的奇偶性．21*cnjy*com
28、对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]?D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2?[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x+|x﹣2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x﹣|x﹣3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+，x∈[﹣2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x﹣1|+n|x﹣2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
29、已知集合A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，其中a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，
使B中的元素y=3x+1和A中元素x对应，求a和k的值．
30、对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2?[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|和f2（x）=x+|x﹣2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（3）若函数是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是（ ）
A、0 B、1
C、0或1 D、1或221*cnjy*com
考点：并集及其运算；函数的概念及其构成要素。
分析：先将题目转化成求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1?F时没有交点．
解答：解：从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），
不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，
因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．
这里给出了函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1?F时没有交点，
故选C．
点评：本题首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言，主要考查了交集的运算，属于基础题．
2、设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（ ）
A、 B、0
C、 D、1
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：因为f（）=|﹣1|﹣||=0，再将f（）=0代入f[f（）]即可得到答案．
解答：解：∵f（）=|﹣1|﹣||=0，∴f[f（）]=f（0）=1﹣0=1．
故选D．
点评：本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．这里将已知值代入即可得到答案．
3、若，则方程f（4x）=x的根是（ ）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：计算题。
分析：由f（4x）=x建立方程，进行化简配方可得方程的根．
解答：解：∵f（4x）=x，
∴（x≠0）
化简得4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2=0
解得，
故选A．
点评：本题考查了方程根的问题，属于基础问题，培养学生计算能力．
4、下列两个变量之间的关系是函数关系的是（ ）
A、光照时间和果树产量 B、降雪量和交通事故发生率
C、人的年龄和身高 D、正方形的边长和面积
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：阅读型。
分析：根据相关关系和函数关系的定义，逐一对四个答案逐一进行分析，即可得到结论．
解答：解：A中光照时间和果树产量是一种不确定的关系，即相关关系，故A不满足要求；
B中降雪量和交通事故发生率是一种不确定的关系，即相关关系，故B不满足要求；
C人的年龄和身高是一种不确定的关系，即相关关系，故C也不满足要求；
D正方形的边长和面积是一种确定的关系，即函数关系，故D满足要求；
故选D21*cnjy*com
点评：本题考查的知识点是函数关系与相关关系的定义，熟练掌握两个定义，根据定义分析两个变量之间的关系是否确定，即可得到答案．
5、函数y=f（x）的图象与x=2的交点的个数（ ）
A、0个 B、1个
C、0个或1个 D、不能确定
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：常规题型。
分析：根据函数的定义来判断解的个数．
解答：解：∵函数是从非空数集A到非空数集B的映射，故定义域内的一个x值只能对应一个y值，
∴函数y=f（x）的图象与一条直线x=2有交点个数至多有一个，
故选C．
点评：学生做错一般不理解函数的定义：函数是从非空数集A到非空数集B的映射，此题是一道基础题．
6、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A、角度和它的正弦值 B、正方形边长和面积
C、正n边形边数和顶点角度之和 D、人的年龄和身高
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：阅读型。
分析：本题考查了函数的概念（设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域）A中的任意一个角总对应唯一的一个正弦值，B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，C中任意的正n边形边数（n≥3）总对应唯一的顶点角度之和（（n﹣2）180°），故A，B，C均为函数关系，而D中的任意一个年龄对应的身高不唯一，故而不是函数关系
解答：解：A中的任意一个角总对应唯一的一个正弦值，
B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，
C中任意的正n边形边数（n≥3）总对应唯一的顶点角度之和（（n﹣2）180°），
故A，B，C均为函数关系，
而D中的任意一个年龄对应的身高不唯一，故而不是函数关系
故选D
点评：本题考查了函数的概念，对概念中的“任意”与“唯一”的理解，属于基础题．
7、对于函数y=f（x），以下说法不正确的是（ ）
A、y是x的函数 B、对于不同的x，y的值可以不同
C、f（a）表示当x=a时函数f（x）的值 D、f（x）一定可用一个具体的式子表示出来
点评：此题是个基础题．本题的考点是函数的概念以及要素，考查了对概念的理解程度和运用能力，注意特殊函数的运用．
8、下列图象图中是函数图象的是（ ）?
A、 B、
C、 D、
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：数形结合。
分析：根据函数的定义，值域中有且只有一个值与定义域中的元素对应，表现在图象上，即函数的图象与任一条与Y轴平行的直线至多有一个交点，由此逐一分析四个答案中的图象，即可得到结论．
解答：解：若为函数图象，则与平行于y轴的动直线至多有一个交点．
则A，B，C均有可能为两个，故不正确
故选D21cnjy
点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构成要素，熟练掌握函数的定义，特别是值域中有且只有一个值与定义域中的元素对应，是解答本题的关键．
9、如图所示，不可能表示函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：作图题。
分析：有函数的定义，对每个x有唯一的y和x对应，反映在图象上，即图象与平行于y轴的直线有唯一的交点．
解答：解：由函数的定义知D不可能为函数，因为存在x有两个y和x对应．
故选D
点评：本题考查函数的定义和图象，属基本概念的考查．
10、若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y=x2，x∈{﹣1，0，1，2}为同族函数的个数有（ ）
A、5个 B、6个
C、7个 D、8个
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：计算题；新定义。
分析：同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=x2，值域为{0，1，4}时，定义域只要包含0，1与﹣1，2，三组数中的至少一个数字就可以，列举出所有结果．
解答：解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，
函数解析式为y=x2，值域为{0，1，4}时，
定义域中，0是肯定有的，正负1，至少含一个，正负2，至少含一个．
它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，﹣2}，{0，﹣1，2}，{0，﹣1，﹣2}，{0，1，﹣2，2}，{0，﹣1，﹣2，2}，
{0，1，﹣1，﹣2}，{0，1，﹣1，2，﹣2}，
共有8种不同的情况，
故选D．
点评：本题考查重新定义问题，考查函数的意义，考查函数的定义域，本题是一个好题，题目虽然不大，但是考查的知识点非常到位．
11、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数、下列函数：①f（x）=sinx；②f（x）=π（x﹣1）2+3；③；④f（x）=log0.6x其中是一阶格点函数的有（ ）
A、①② B、①④
C、①②④ D、①②③④21cnjy
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：根据“格点”的定义，若①中X取非0整数，则f（x）必要无理数，故可以判断f（x）=π（x﹣1）2﹣1只有（0，﹣1）一个格点；②中根据指数函数性质，当X为小于等于1的整数时，f（x）均为整数，则f（x）=20101﹣x有无数个格点，③中若X取正整数时，则f（x）必要无理数，故可以判断f（x）=ln（x+1）只有（0，0）一个格点；而④中，X为任意整数（x）都为整数．由此易得答案．
解答：解：①中，∵x=0，f（x）=0；当x≠0，x∈Z时，f（x）均为非整数，
∴f（x）=sinx只有（0，0）一个格点，为“一阶格点”函数；
②中，∵x=1时，f（x）=3．当x≠0，x∈Z时，f（x）均为非整数，
故f（x）=π（x﹣1）2+3只有（1，3）一个格点
为“一阶格点”函数；
③中，∵x=0时，f（x）=1，
当x≠0，x∈Z时，f（x）均为非整数，
故f（x）=只有（0，1）一个格点，为“一阶格点”函数；
④中，∵x=1时，f（x）=0
当x≠0，x∈Z+时，f（x）均为非整数，
故f（x）=ln（x+1）只有（0，0）一个格点
为“一阶格点”函数．
故选D．
点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
12、设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：可用排除法根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．
解答：解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
点评：本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
13、函数f：{1，2}→{1，2}满足 f（f（x））=f（x），则这样的函数个数共有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
若构成的函数是二对一的函数，则对应的方式为，或，此两种对应都满足f（f（x））=f（x），符合题意
综上知，这样的函数个数共有3个
故选C
点评：本题考查函数的概念，解题关键是理解函数的定义，根据函数是一对一或二对一的对应将符合条件的对应方式列举出来，从而得到所有可能的函数的个数．
14、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A、角度和它的正切值 B、人的右手一柞长和身高
C、正方体的棱长和表面积 D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：由函数的定义知，两个变量具有确定的关系，利用这一点可知B不是函数关系，再由正切函数、正方体的表面积公式和物理知识知A、C、D是函数关系．
解答：解：由正切函数y=tanx知，A是函数关系；人的右手一柞长和身高不是确定的关系，故不是函数关系；
设正方体的棱长为a，则它的表面积S=6a2，C是函数关系；
由物理知识知，自由落体运动物体的下落距离h和下落时间t满足h=gt2（t＞0），D是函数关系．
故选B．
点评：本题考查了函数的概念中其中一个要素：确定的对应关系，即两个变量具有确定的关系可以用代数式表达出来．
15、在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数，下列函数中“一阶格点”函数有（ ）
①f（x）=π（x﹣1）2﹣1；②f（x）=20101﹣x；③f（x）=ln（x+1）；④．
A、①③ B、②③
C、①④ D、②④
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：根据“格点”的定义，若①中X取非0整数，则f（x）必要无理数，故可以判断f（x）=π（x﹣1）2﹣1只有（0，﹣1）一个格点；②中根据指数函数性质，当X为小于等于1的整数时，f（x）均为整数，则f（x）=20101﹣x有无数个格点，③中若X取正整数时，则f（x）必要无理数，故可以判断f（x）=ln（x+1）只有（0，0）一个格点；而④中，X为任意整数（x）都为整数．由此易得答案．
解答：解：①中，∵x=0时，f（x）=1
当x≠0，x∈Z时，f（x）均为无理数，
故f（x）=π（x﹣1）2﹣1只有（0，﹣1）一个格点
为“一阶格点”函数；
②中，∵x=0时，f（x）=2010
当x=1时，f（x）=1
故f（x）=20101﹣x至少有两个格点
不为“一阶格点”函数；
③中，∵x=0时，f（x）=0
当x≠0，x∈Z+时，f（x）均为无理数，21cnjy
故f（x）=ln（x+1）只有（0，0）一个格点
为“一阶格点”函数；
④中，∵x=0时，f（x）=﹣2010
当x=1时，f（x）=﹣2009
故至少有两个格点
不为“一阶格点”函数；
故选A
点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
16、具有性质：f=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
①y=x﹣，②y=x+，③y=
A、①② B、②③
C、①③ D、只有①
对于③，当0＜x＜1时，f=﹣=﹣x=﹣f（x），
当x=1时，f=0=﹣f（x），
当x＞1时，f==﹣=﹣f（x），
∴满足“倒负”变换．
故应选C．
点评：考查新定义 型题，这类题的特点是依据定义来进行运算或判断，故审题中认真了解定义是做题的关键．
17、函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A、 B、g（x）=x2+6，x∈[4，16]
C、g（x）=x+6，x∈[4，16] D、g（x）=2x+6，x∈[4，16]
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：新定义。21cnjy
分析：由已知中，对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”，我们结合“置换”的定义，逐一分析四个答案中的函数是否答“置换”的定义即可得到结论．
解答：解：∵函数，x∈[4，16]
当时，，则恒成立，故A满足条件；
当g（x）=x2+6，x∈[4，16]时，令x=4，则，故B不满足条件；
当g（x）=x+6，x∈[4，16]时，令x=4，则，故C不满足条件；
当g（x）=2x+6，x∈[4，16]时，令x=4，则，故D不满足条件；
故选A
点评：本题考查的知识点是函数的值域，这是一个新定义类问题，该类题型的特点一般是新而不难，正确理解新定义，结合新定义对所给答案进行判断是解答本题的关键．
18、某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n（n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n题的正确率f（n），则下列关系中不可能成立的是（ ）
A、f（5）=2f（10） B、f（1）=f（2）=…=f（8）＞f（9）＞f（10）
C、f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（9）＜f（10） D、f（8）＜f（9）且f（9）=f（10）
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：证明题；分类讨论。
分析：逐一分析各个选项成立的条件是否有可能具备，把不可能成立的选项找出来．
解答：解：若前5题全部做对，后5个题全做错，则f（5）=2f（10）=1，A成立．
若前8个题全做对，后2个都做错，则B成立．
若前第1个题做错，其余的题全部做对，则C成立．
f（8）＜f（9），说明前8个题中有做错的，第9个题做对了，不论第10个题做对与否，f（9）与f（10）不可能相等．
故选 D．
点评：本题考查前n题的正确率f（n）的意义，体现了分类讨论的数学思想．
19、对于函数y=f（x），以下说法正确的有（ ）
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个常量；
④f（x）一定可以用一个具体的式子表示出来．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：证明题。
分析：由函数的定义和常函数知①正确、②不正确；根据函数值的定义知它是一个确定的值，判断出③正确；
根据函数的表示方法知④不正确．
解答：解：①、由函数的定义知，y是x的函数，故①正确；
②、不一定成立，如常函数y=f（x）=0，故②不正确；
③、由函数值的定义知，f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个确定的值，故③正确；
④、函数的表示方法有解析法、表格法和图象法，对于表格法和图象法有的无法用一个具体的式子表示出来，故④不正确．
故选B．
点评：本题的考点是函数的概念以及要素，考查了对概念的理解程度和运用能力，注意特殊函数的运用．
20、已知B={4，25}，则能构成以B为值域且对应法则为f（x）=x2的函数关系有（ ）个．
A、4 B、8
C、9 D、10
点评：本题考查函数函数的概念以及构成函数的三要素，本题解题的关键是依据条件知函数的定义域中至少有2个元素，即至少有绝对值分别为2，5的两个元素，最多有4个元素，本题是一个基础题．
二、填空题（共5小题）
21、已知函数f（x）=x2+|x﹣2|，则f（1）= 2 ．
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：将x=1代入函数解析式即可求出答案．
解答：解：∵f（1）=12+|1﹣2|=1+1=2
故答案为：2
点评：本题主要考查函数解析式，求函数值问题．
22、对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．
请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：
①f（x）=gx；②f（x）=x3，③④f（x）=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有 ②③ ．（填上正确的序号）
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：综合题。
分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
解答：解：①中，若f（x）=gx存在“稳定区间”
则当0＜g＜1时，ga=b，gb=a，
则f（x）=gx与其反函数f﹣1（x）=loggx，
有（a，b）与（b，a）两个交点，
这与指数函数与同底的对数函数图象无交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=gx不存在“稳定区间”
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=x3的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数的“稳定区间”；
④中，若f（x）=lnx+1存在“稳定区间”
则lna+1=a，lnb+1=b
即lnx=x﹣1有两个解，即函数y=lnx与函数y=x﹣1的图象有两个交点，
这与函数y=lnx与函数y=x﹣1的图象有且只有一个交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=lnx+1不存在“稳定区间” 21世纪教育网
故答案：②③
点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．
23、已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是 ④ ．
①y=f（x）图象与直线x=a必有一个交点； ②y=f（x）图象与直线x=a没有交点；
③y=f（x）图象与直线x=a最少有一个交点； ④y=f（x）图象与直线x=a最多有一个交点．
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：阅读型。
分析：我们分析a与函数y=f（x）的定义域A的关系，结合函数的概念中，函数值的唯一性，与自变量的任意性，我们分析题目中的四个结论，即可得到答案．
解答：解：设函数的定义域为A
当a∈A时，函数的图象与直线x=a有且只有一个交点；
当a?A时，函数的图象与直线x=a没有交点；
故①②③均错误，
故答案为：④
点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构成要素，其中正确的理解函数的概念是解答本题的关键．
24、函数的定义域为 {x|x≥1且x≠3} ．
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：计算题。
分析：据分式的分母不为0，开偶次方根被开方数大于等于0，列出不等式求出定义域．
解答：解：要使函数有意义，需使
x﹣1≥0且x﹣3≠0
解得x≥1且x≠3
故答案为{x|x≥1且x≠3}
点评：本题考查求函数的定义域需注意：分母非0，开偶次方根被开方数大于等于0．注意定义域形式是集合或区间．
25、函数的三要素： 定义域 ， 对应关系 ， 值域 ．相同函数的判断方法：① 函数的定义域 ；② 对应关系 （两点必须同时具备）
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：阅读型。
分析：根据函数的三要素和函数相等的定义的内容，分别去填空即可．
解答：解：根据函数的定义知，函数的三要素是：定义域、对应关系、值域；
由函数相等的定义知，相同函数的判断方法：判断函数的定义域和对应关系完全一致．
故答案为：定义域、对应关系、值域；函数的定义域，对应关系．
点评：本题考查了函数的三要素和函数相等的定义，是单纯对定义内容的考查．
三、解答题（共5小题）
26、叙述函数的定义．
考点：函数的概念及其构成要素。
分析：直接叙述即可．
解答：答：设A，B为非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．．
点评：本题考查了函数的定义，注意原始定义的准确记忆和确切理解．
27、已知函数21世纪教育网
（1）求f（x）的定义域；
（2）当x=时，求f（x）的值；
（3）判断函数f（x）的奇偶性．
解答：解：（1）由函数的解析式得：＞0，
解此不等式得：﹣1＜x＜1，
故函数的定义域为（﹣1，1）．（4分）
（2）当x=时，=﹣1．（8分）
（3）∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数（12分）
点评：本题考查求函数的定义域、求函数值、及判断函数奇偶性的方法，具有奇偶性的函数，其定义域必然关于原点对称．
28、对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]?D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2?[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x+|x﹣2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x﹣|x﹣3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+，x∈[﹣2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x﹣1|+n|x﹣2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
考点：函数的概念及其构成要素。
专题：综合题。
分析：（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，
②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．
（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，从而得到f（x）≤2，
结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．
（3）假定函数是“平底型”函数，则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件，
化简函数解析式，检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在．
解答：解：（1）（理）f1（x）是，∵函数定义域R，在区间[1，2]上，f1（x）=1，在区间[1，2]外，f1（x）＞1，
f2（x）不是，∵在（﹣∞，0]上，f2（x）=2，在（﹣∞，0]外，f2（x）＞2，（﹣∞，0]不是闭区间．
（文）f1（x）是，理由同（理）f1（x），f2（x）不是，∵在[3，+∞）上，f2（x）=3，在[3，+∞）外，f2（x）＜3．
（2）（理）|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x），即 f（x）≤|﹣1|+|+1|，∵|﹣1|+|+1|的最小值是2，
∴f（x）≤2，又由f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（文）∵|t﹣1|+|t+1|≥f（x），|t﹣1|+|t+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
又由f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（3）（理）x2+2x+n=（mx﹣c）221世纪教育网
则m2=1，﹣2mc=2，c2=n；解得m=1，c=﹣1，n=1，①，或m=﹣1，c=1，n=1，②
①情况下，f（x）=是“平底型”函数；
②情况下，f（x）=不是“平底型”函数；
综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数
（文）f（x）=
1°当m+n＞0时
若m﹣n=0，是“平底型”函数；若m﹣n≠0，不是“平底型”函数
2°当m+n＜0时，不是“平底型”函数
3°m+n=0
若m﹣n＞0，不是“平底型”函数
若m﹣n＜0，不是“平底型”函数
若m﹣n=0，f（x）=0，显然不是“平底型”函数．
故当m+n＞0，且m﹣n=0时，是“平底型”函数
点评：本题综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想．
29、已知集合A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，其中a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，
使B中的元素y=3x+1和A中元素x对应，求a和k的值．
点评：本题考查了函数的定义，即定义域内每一个x都有唯一的函数值与之对应，由于集合中含有参数，故用分类讨论求解，注意验证范围．
30、对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2?[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|和f2（x）=x+|x﹣2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
考点：函数恒成立问题；函数的概念及其构成要素。21世纪教育网
专题：综合题；转化思想。
分析：（1）对于函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，欲判断其是否是“平底型”函数，只须f1（x）＞=1是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；同理，对于函数f2（x）=x+|x﹣2|，也是如此验证．
（Ⅱ）若|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t﹣k|+|t+k|）min≥|k|?f（x）．故只须2|k|≥|k|?f（x）也即f（x）≤2最后即可解出实数x的范围．（Ⅲ）因为函数是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数，则存在区间[a，b]?[﹣2，+∞）和常数c，使得恒成立．
所以x2+2x+n=（mx﹣c）2恒成立，得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数即可解决问题．
解答：解：（1）对于函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，当x∈[1，2]时，f1（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1恒成立，故f1（x）是“平底型”函数．（2分）
对于函数f2（x）=x+|x﹣2|，当x∈（﹣∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x﹣2＞2，所以不存在闭区间[a，b]，使当x?[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f2（x）不是“平底型”函数．（4分）
（Ⅱ）若|t﹣k|+|t+k|≥|k|?f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t﹣k|+|t+k|）min≥|k|?f（x）．
因为（|t﹣k|+|t+k|）min=2|k|，所以2|k|≥|k|?f（x）．又k≠0，则f（x）≤2．（6分）
因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，则|x﹣1|+|x﹣2|≤2，解得．
故实数x的范围是．（8分）
（Ⅲ）因为函数是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数，则
存在区间[a，b]?[﹣2，+∞）和常数c，使得恒成立．
所以x2+2x+n=（mx﹣c）2恒成立，即．解得或．（10分）
当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．
此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数．（11分）
当时，g（x）=﹣x+|x+1|．
当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）21世纪教育网
综上分析，m=1，n=1为所求．（13分）
点评：本小题主要考查函数的概念及其构成要素、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
