函数的表示方法
一、选择题（共11小题）
1、曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）
A、y2=8﹣4x B、y2=4x﹣8
C、y2=16﹣4x D、y2=4x﹣16
2、曲线y=x2﹣3x关于x轴的对称图形所对应的函数是（ ）
A、x=y2﹣3y B、y=x2+3y
C、y=﹣x2﹣3x D、y=﹣x2+3x
3、已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=（x≠0），则f（）等于（ ）21*cnjy*com
A、15 B、1
C、3 D、30
4、一次函数g（x）满足g[g（x）]=9x+8，则g（x）是（ ）
A、g（x）=9x+8 B、g（x）=3x+8
C、g（x）=﹣3x﹣4 D、g（x）=3x+2或g（x）=﹣3x﹣4
5、投寄本埠平信，每封信不超过20g时付邮费0.6元，超过20g不超过40g时付邮费1.2元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.6元（重量在100g以内），如果某人投一封重量为72.5g的信，他应付邮费（ ）
A、2.1元 B、2元
C、2.3元 D、2.4元
6、已知函数f（x）满足：，则f（x）=（ ）
A、2x4+3x2 B、2x4﹣3x2
C、4x4+x2 D、4x4﹣x2
7、对于函数（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（ ）
A、f（n+1）﹣f（n）=1
B、f（n+k）=f（n）（k∈N*）
C、αf（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）
D、αf（n+1）=α﹣（α+1）f（n）（α≠0）
8、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ）
A、4个 B、6个
C、8个 D、9个
9、某工厂某种产品的产量x（千件）与单位成本y（万元）之间的关系满足y=60﹣2.5x，则以下说法正确的是（ ）
A、产品每增加1000件，单位成本下降2.5万元
B、产品每减少1000件，单位成本上升2.5万元
C、产品每增加1000件，单位成本上升2.5万元
D、产品每减少1000件，单位成本下降2.5万元
10、设，则（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
11、函数f（x）满足f（x）?f（x+2）=13，若f（0）=2，则f（2010）=（ ）
A、13 B、2
C、 D、
二、填空题（共14小题）
12、已知f（x2﹣4）=lg，则f（x）的定义域为 _________ ．
13、已知函数f（x）=2x+3，x∈[1，5），则函数g（x）=f（1﹣2x）的表达式及定义域为 _________ ．
14、符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数{x}=x﹣[x]．给出下四个命题：
①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]
②方程有无数个解；21*cnjy*com
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号有： _________ ．
15、已知函数f（x）=x[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[﹣2.1]=﹣3，[﹣3]=﹣3，[2.2]=2，若x∈[0，n]（n∈N*）则f（x）的值域为 _________ ．
16、已知f（x）=，则f（x）+f（）= _________ ．
17、a为非零实数，直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0恒过定点 _________ ．
18、已知f（1﹣cosx）=sin2x，则f（x）= _________ ．
19、设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b）集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有 _________ 个．
20、对于函数（x∈[﹣2，+∞），若存在闭区间[a，b]?[﹣2，+∞）（a＜b），使得对任意x∈[a，b]，恒有f（x）=c（c为实常数），则实数m，n的值依次为_________．
21、f（1﹣x）=x2，则f（x）= _________ ，若f（ax）=x（a＞0，且a≠1），则f（x）= _________ ．
若f（x﹣）=，则f（x）= _________ ．
22、设{x}表示离x最近的整数，即若，则{x}=m．
下面是关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是；②函数y=f（x）的图象关于直线对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；其中正确的命题序号是 _________ ．
23、已知f（1+）=﹣1，则f（x）= _________ ．
24、若f（x）=，g（x）=，则f（x）?g（x）= _________ ．
25、已知，那么f（x）的解析式为 _________ ．21*cnjy*com
三、解答题（共5小题）
26、（1）已知函数f（x）=，满足f（1）=1，f（2）=4．求f（x）的解析式；
（2）请写出3个不同的二次函数y=f（x）的解析式，满足f（1）=1，f（2）=4．
27、对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；21*cnjy*com
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
28、已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（a﹣x）（a≠0）
（1）求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称．
（2）又若函数y=f（x）的图象在于直线x=b（b≠a）对称，证明函数y=f（x）是周期函数．
29、设f（x）的图象是抛物线，并且当点（x，y）在f（x）图象上任意移动时，点（x，y2+1）在函数g（x）=f[f（x）]的图象上移动，求g（x）的表达式．
30、例2：
（1）已知，求f（x）．
（2）已知，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．
（4）已知f（x）满足，求f（x）．
答案与评分标准
一、选择题（共11小题）
1、曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）
A、y2=8﹣4x B、y2=4x﹣8
C、y2=16﹣4x D、y2=4x﹣1621*cnjy*com
考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法。
分析：要求曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程，我们可采用坐标法，即设出待求曲线上任一点为P（x，y），然后根据P点关于直线x=2对称的Q（4﹣x，y）在曲线y2=4x上，然后将Q点代入曲线y2=4x中，即可得到x，y之间的关系，即为所求曲线的方程．
解答：解：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，
在曲线C上任取一点P（x，y），
则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4﹣x，y）．
因为Q（4﹣x，y）在曲线y2=4x上，
所以y2=4（4﹣x），
即y2=16﹣4x．
故选C．
点评：本题考查的知识点是轨迹方程的求法﹣﹣坐标法，其步骤为：设动点坐标为P（x，y），然后根据已知条件用x，y表示与P点相对应的在已知曲线上的点Q的坐标，将Q的坐标代入已知曲线的方程，得到x，y的关系，即为所求曲线的方程．
2、曲线y=x2﹣3x关于x轴的对称图形所对应的函数是（ ）
A、x=y2﹣3y B、y=x2+3y
C、y=﹣x2﹣3x D、y=﹣x2+3x
3、已知g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=（x≠0），则f（）等于（ ）
A、15 B、1
C、3 D、30
考点：函数的表示方法。
分析：可令g（x）=，得出x的值，再代入可得答案．
解答：解：令g（x）=，得1﹣2x=，解得x=．
∴f（）=f[g（）]===15．
故选A．
点评：本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．
4、一次函数g（x）满足g[g（x）]=9x+8，则g（x）是（ ）
A、g（x）=9x+8 B、g（x）=3x+8
C、g（x）=﹣3x﹣4 D、g（x）=3x+2或g（x）=﹣3x﹣4
考点：函数的表示方法。
专题：计算题。
分析：设一次函数g（x）=kx+b，利用满足g[g（x）]=9x+8，得到解决关于k，b的方程组，解方程组即可．
解答：解：∵一次函数g（x），
∴设g（x）=kx+b，
∴g[g（x）]=k（kx+b）+b，
又∵g[g（x）]=9x+8，21*cnjy*com
∴，
解之得：或，
∴g（x）=3x+2或g（x）=﹣3x﹣4．
故选D．
点评：当函数类型给定，且函数某些性质已知，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式．可以先设出函数的一般形式，然后再利用题中条件建立方程（组）求解．
5、投寄本埠平信，每封信不超过20g时付邮费0.6元，超过20g不超过40g时付邮费1.2元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.6元（重量在100g以内），如果某人投一封重量为72.5g的信，他应付邮费（ ）
A、2.1元 B、2元
C、2.3元 D、2.4元
考点：函数的表示方法。
分析：作为选择题，将72.5g分为三部分，分别计算各部分的费用求和即可．
解答：解：根据题意：第一个20g付0.6元，第二个20g付1.2元，剩余的32.5g付0.6元．共计2.4元．
故选D
点评：本题主要考查分段函数的求函数值问题．
6、已知函数f（x）满足：，则f（x）=（ ）
A、2x4+3x2 B、2x4﹣3x2
C、4x4+x2 D、4x4﹣x2
考点：函数的表示方法。
专题：换元法。
分析：本题是知道了复合函数的解析式，用换元法求外层函数解析式，故可令内层函数为t=，从中解出x的表达式代入函数表达式，整理即得．
解答：解：令t=，得x=故有
整理得f（t）=2t4+3x2
即f（x）=2x4+3x2
故选A．
点评：本题考点是解析式，属于知道了复合函数的解析式与内层函数的解析式求外层函数的解析式的问题，求解本题的常用换元法求解，通过本题请认真体会换元法求外层函数解析式的过程与原理．
7、对于函数（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（ ）
A、f（n+1）﹣f（n）=1 B、f（n+k）=f（n）（k∈N*）
C、αf（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0） D、αf（n+1）=α﹣（α+1）f（n）（α≠0）
0，1，0，1，…
对于A：f（3）﹣f（2）=﹣1不成立，故错；
对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
对于C：αf（n）=，f（n+1）+αf（n）=成立，故正确；
对于D：αf（n+1）=α﹣（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
故选C．
点评：本小题主要考查函数的表示方法、函数周期性的应用、数列的表示方法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
8、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ）
A、4个 B、6个
C、8个 D、9个
考点：函数的表示方法；函数的定义域及其求法；函数的值域。
分析：读懂“孪生函数”的定义本题就很简单了，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个方程罢了．
解答：解：令2x2+1=5得x=±，令2x2+1=19得x=±3，使得函数值为5的有三种情况，
即x=﹣，，±，使得函数值为19的也有三种情况，即x=3，﹣3，±3，
则“孪生函数”共有3×3=9个．
故选D．
点评：新定义问题一般都是表面翻新，但解决问题的知识点不变，解决新定义问题的关键就是读懂定义，考查的是学生对知识应变迁移能力．属于中低档题较多．
9、某工厂某种产品的产量x（千件）与单位成本y（万元）之间的关系满足y=60﹣2.5x，则以下说法正确的是（ ）
A、产品每增加1000件，单位成本下降2.5万元 B、产品每减少1000件，单位成本上升2.5万元
C、产品每增加1000件，单位成本上升2.5万元 D、产品每减少1000件，单位成本下降2.5万元
考点：函数的表示方法。
专题：阅读型。
分析：由题设条件知某工厂某种产品的产量x（千件）与单位成本y（万元）之间的关系满足y=60﹣2.5x，可知，由此规律即可选出正确选项
解答：解：由于“产量x（千件）与单位成本y（万元）之间的关系满足y=60﹣2.5x”
∴此函数模型是一个递减的函数模型，产量增加一个一千件，函数值就减少2.5万元
故选A
点评：本题考查函数的表示方法，解题的关键是理解所给的函数模型，由所给的函数模型得出其运算规律从而得出正确选项，本题考查理解能力及判断能力
10、设，则（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
考点：函数的表示方法。
专题：计算题。
分析：由已知中，累加各项分子均为1，分母从n开始到n2结束，求出n=2时的首项和末项，比照四个答案可得结论．
解答：解：∵，
当n=2时，n2=4
故
故选D
点评：本题考查的知识点是函数的表示方法，其中分析出通项公式中，累加各项的规律是解答本题的关键．
11、函数f（x）满足f（x）?f（x+2）=13，若f（0）=2，则f（2010）=（ ）
A、13 B、2
C、 D、
点评：此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．
二、填空题（共14小题）
12、已知f（x2﹣4）=lg，则f（x）的定义域为 （4，+∞） ．
考点：函数的定义域及其求法；函数的表示方法。
分析：先用换元法求f（x）的解析式，再由真数要大于0求解．
解答：解：设x2﹣4=t，则t≥﹣4，x2=4+t．
∴f（t）=lg．∴f（x）=lg（x≥﹣4）．
由得x＞4．
故答案是（4，+∞）
点评：本题主要考查求函数解析式，提醒学生要注意定义域．
13、已知函数f（x）=2x+3，x∈[1，5），则函数g（x）=f（1﹣2x）的表达式及定义域为 g（x）=﹣4x+5，x∈（﹣2，0] ．
考点：函数的定义域及其求法；函数的表示方法。
专题：计算题。
分析：根据代换法，用1﹣2x代换函数f（x）=2x+3中的x，即可得到f（1﹣2x），求定义域时，因为1﹣2x代换的x所以要满足x的要求．
解答：解：用1﹣2x代换函数f（x）=2x+3中的x，则有f（1﹣2x）=﹣4x+5
∵x∈[1，5）21cnjy
∴1≤1﹣2x＜5
∴﹣2＜x≤0
故答案为：g（x）﹣4x+5，x∈（﹣2，0]
点评：本题主要考查用代换法求函数解析式和抽象函数定义域的求法．要注意定义域优先考虑原则上，不要求求定义域，也要考虑定义域．
14、符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数{x}=x﹣[x]．给出下四个命题：
①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]
②方程有无数个解；
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号有： ②③ ．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象与图象变化；函数的表示方法。
专题：新定义。
分析：可求出函数{x}的取值范围，即值域，可判断①不对；
令{x}=x﹣[x]=，可求出对应的x的值，且对应的有无数多个，故②正确；
根据周期函数的定义，可验证函数{x}是周期为1的函数，从而可判③正确；
根据函数{x}的性质和单调性可知{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确．
解答：解：函数{x}的定义域是R，但是0≤x﹣[x]＜1，故函数{x}的值域为{0，1），故①不对；
∵{x}=x﹣[x]=，∴x=[x]+，∴x=1.5，2.5，3.5，…，应为无数多个，故②正确；
∵{x+1}=x+1﹣[x+1]=x﹣{x}={x}，故函数{x}是周期为1的周期函数，故③正确；
函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确．
故答案为：②③
点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣定义域、值域、单调性、周期性．考查对基础知识的掌握程度和灵活运用．
15、已知函数f（x）=x[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[﹣2.1]=﹣3，[﹣3]=﹣3，[2.2]=2，若x∈[0，n]（n∈N*）则f（x）的值域为 [0，n2] ．
考点：函数的值域；函数的表示方法。
分析：根据题意，易得f（x）的解析式，进而由x的范围可得函数的值域．
解答：解：当0≤x≤n时，[x]=n，则f（x）=x[x]=nx，
而x∈[0，n]，有0≤nx≤n2，
故f（x）的值域为[0，n2]．21cnjy
点评：本题考查函数的解析式与值域，应分析题意，找到、找准函数的解析式，再进行下一步的分析．
16、已知f（x）=，则f（x）+f（）= 0 ．
考点：函数的表示方法。
分析：将x、代入函数解析式，然后相加即可得到答案．
解答：解：∵f（x）=∴f（x）+f（）=+=+=0
故答案为：0
点评：本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．一般用代入法．
17、a为非零实数，直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0恒过定点 （1，1） ．
考点：函数的表示方法。
分析：根据直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0可变为a（x﹣y）+2x+y﹣3=0，令x﹣y=0、2x+y﹣3=0可得答案．
解答：解：∵（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0∴a（x﹣y）+2x+y﹣3=0
令x﹣y=0、2x+y﹣3=0
解得：x=1，y=1
∴恒过点（1，1）21cnjy
故答案为：（1，1）
点评：本题主要考查含参数的直线方程横过定点的问题．这里要分离出参数进而求解．
18、已知f（1﹣cosx）=sin2x，则f（x）= 2x﹣x2 ．
19、设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b）集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有 3 个．
考点：函数的表示方法。
分析：先对解析式去绝对值写成分段函数，在每一段上考虑即可．
解答：解：由题意知，
当x≥0时，令M=[0，1]验证满足条件，
又因为x＞1时，f（x）=＜x 故不存在这样的区间．
当x≤0时，令M=[﹣1，0]验证满足条件．
又因为x＜﹣1时，f（x）=＞x 故不存在这样的区间．
又当M=[﹣1.1]时满足条件．
故答案为：3．
点评：本题主要考查分段函数解析式的问题．注意对每段函数都要研究到．
20、对于函数（x∈[﹣2，+∞），若存在闭区间[a，b]?[﹣2，+∞）（a＜b），使得对任意x∈[a，b]，恒有f（x）=c（c为实常数），则实数m，n的值依次为 ±1和1 ．
考点：函数的表示方法。
分析：根据题意对任意x∈[a，b]，恒有f（x）=c（c为实常数）知f（x）在[a，b]上应该为常函数，此时x的系数为0可得答案
解答：解：由题意知，当x∈[a，b]时，f（x）为常函数
当n=1时，f（x）=mx﹣=mx﹣|x+1|
当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=mx+x+1∴m=﹣1时f（x）为常函数．
当x∈（﹣1，+∝）时，f（x）=mx﹣x﹣1∴m=1时f（x）为常函数．
故答案为：±1和1．
点评：本题主要考查常函数的定义，函数的一种特殊情况．
21、f（1﹣x）=x2，则f（x）= x2﹣2x+1 ，若f（ax）=x（a＞0，且a≠1），则f（x）= logax ．
若f（x﹣）=，则f（x）= x2+2 ．21cnjy
考点：函数的表示方法。
分析：（1）令t=1﹣x，可得到x=1﹣t，代入原函数解析式即可得到关于t的关系式，然后将t代换为x可得答案．
（2）令ax=t，则x=logat，代入原函数解析式即可得到关于t的关系式，然后将t代换为x可得答案．
（3）根据，令t=x﹣，代入原函数解析式即可得到关于t的关系式，然后将t代换为x可得答案．
解答：解：（1）令t=1﹣x，则x=1﹣t
∴f（t）=（1﹣t）2∴f（x）=（1﹣x）2=x2﹣2x+1
故答案为：f（x）=x2﹣2x+1
2）令ax=t，则x=logat
∴f（t）=logat∴f（x）=logax
故答案为：f（x）=logax
（3）∵f（x﹣）==
∴令t=x﹣，f（t）=t2+2
∴f（x）=x2+2
故答案为：f（x）=x2+2
点评：本题主要考查求函数解析式的方法﹣﹣换元法和配方法．这两种方法在求函数解析式时经常用到，要给予重视．
22、设{x}表示离x最近的整数，即若，则{x}=m．
下面是关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域是R，值域是；②函数y=f（x）的图象关于直线对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；其中正确的命题序号是 ①②③ ．
当k为偶数时，为整数，∵f（+x）=|+x﹣{x}|=|x﹣{x}|
f（﹣x）=|﹣x﹣{﹣x}|=|﹣x+{x}|=|x﹣{x}|=f（+x）
当k为奇数时，为整数
∵f（+x）=|+x﹣{+x}|=|﹣{}|=|x﹣{x}|
f（）=|﹣x﹣{﹣x}|=|﹣{}|=|x﹣{x}|=f（）
y=f（x）的图象关于直线x=对称．
③∵f（x+1）=|x+1﹣{x+1}|=|x﹣{x}}=f（x）
∴f（x）是周期函数且最小正周期是1
故答案为：①②③
点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣定义域、值域、对称性、周期性．另外，函数的奇偶性、单调性也是经常被考到的对象，要引起重视．
23、已知f（1+）=﹣1，则f（x）= x﹣2（x≠1） ．21世纪教育网
考点：函数的表示方法。
专题：计算题。
分析：先令括号里1+=t，求出t的范围，将x用t表示，求出f（t）的解析式，最后在将t换成x即可，注意变量的范围．
解答：解：设1+=t（t≠1），则x=，
∴f（t）=﹣1=t﹣2（t≠1）．
∴f（x）=x﹣2（x≠1）．
故答案为x﹣2（x≠1）．
点评：本题主要考查了函数的表示方法解析式法，以及利用换元法求解析式，属于基础题．
24、若f（x）=，g（x）=，则f（x）?g（x）= ，x∈（2，3）∪（3，+∞） ．
考点：函数的表示方法。
专题：计算题。
分析：先求出两个函数的定义域，得出积函数的定义域，即f（x）?g（x）的定义域为（2，3）∪（3，+∞），再利用根式的运算法则得到f（x）?g（x）的解析式即可．
解答：解：先求出两个函数的定义域，
f（x）=，的定义域为x≠3；
g（x）=，的定义域为x＞2，
∴f（x）?g（x）的定义域为（2，3）∪（3，+∞），
且：f（x）?g（x）=×=，
故答案为：，x∈（2，3）∪（3，+∞）．
点评：本小题主要考查函数定义域的应用、函数的积、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
25、已知，那么f（x）的解析式为 ．
考点：函数的表示方法。
分析：函数对定义域内任何变量恒成立，故可以用x代即可求出f（x）解析式．
解答：解：由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，
取x=，代入上式得：f（x）==，
故答案为：．21世纪教育网
点评：本题属于求解函数的表达式问题，使用的是构造法．即在定义域范围内以x代从而解决问题．另外，求解函数解析式的常用方法还有待定系数法．
三、解答题（共5小题）
26、（1）已知函数f（x）=，满足f（1）=1，f（2）=4．求f（x）的解析式；
（2）请写出3个不同的二次函数y=f（x）的解析式，满足f（1）=1，f（2）=4．
（2）因为二次函数满足f（1）=1，f（2）=4．
设二次函数y=f（x）=ax2+bx+c，
得到：a+b+c=1；4a+2b+c=0．联立得：（c≠2）
要写3个不同的二次函数y=f（x）的解析式即令c=1，3，4可得相应的a和b
所以f（x）=；f（x）=；f（x）=x2﹣4x+4．
点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力．
27、对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
考点：函数的表示方法；函数的值域；抽象函数及其应用。
分析：（1）将f（x）=，g（x）=）=x2，代入h（x）=（2）利用双勾函数的性质求得；（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
解答：解：（1）h（x）=．21世纪教育网
（2）当x≠1时，h（x）==x﹣1++2，
若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（﹣∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
则g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x﹣sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+sin2x，α=，
g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（1+sin2x）（1﹣sin2x）=cos4x．
点评：本题主要考查求函数解析式和求最值以及构造函数等问题．
28、已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（a﹣x）（a≠0）
（1）求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称．
（2）又若函数y=f（x）的图象在于直线x=b（b≠a）对称，证明函数y=f（x）是周期函数．
考点：函数的表示方法。
分析：（1）设y=f（x）上任一点P（x，f（x））得到关于x=a的对称点P’（2a﹣x，f（x）），根据f（a+x）=f（a﹣x）验证f（2a﹣x）=f（x）即可．
（2）根据函数f（x）的图象关于直线x=a、x=b（b≠a）对称，得到f（2a﹣x）=f（2b﹣x），然后设y=2b﹣x，那么f（y）=f[y+2（a﹣b）]可得答案．
解答：（1）证明：设P（x，f（x））是y=f（x）上任一点，其关于x=a的对称点P’应为（2a﹣x，f（x））．
∵f（a+x）=f（a﹣x），∴f（2a﹣x）=f[a+（a﹣x）]=f[a﹣（a﹣x）]=f（x），
故P’坐标为（2a﹣x，f（2a﹣x））显然在y=f（x）图象上．
由点P的任意性知道y=f（x）关于x=a对称
证毕！
（2）∵函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称∴f（x）=f（2a﹣x）
∵函数y=f（x）的图象关于直线x=b对称∴f（x）=f（2b﹣x）
∴f（2a﹣x）=f（2b﹣x）
设y=2b﹣x，那么f（y）=f[y+2（a﹣b）]
由于y是任意的所以f（x）是以2（a﹣b）为周期的周期函数．
点评：本题主要考查函数的性质﹣﹣对称性的应用．函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性，研究函数一般就从这几个方面入手．
29、设f（x）的图象是抛物线，并且当点（x，y）在f（x）图象上任意移动时，点（x，y2+1）在函数g（x）=f[f（x）]的图象上移动，求g（x）的表达式．
30、例2、（1）已知，求f（x）．21世纪教育网
（2）已知，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）．
（4）已知f（x）满足，求f（x）．
考点：函数的表示方法；函数解析式的求解及常用方法。
分析：（1）用配凑法根据可得答案．
（2）用换元法，令t=，可得x=，代入即可．
（3）设f（x）=ax+b代入可得．
（4）通过联立方程组可得答案．
解答：解：（1）∵，
∴f（x）=x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）．
（2）令（t＞1），
则，∴，∴．
（3）设f（x）=ax+b（a≠0），
则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=3ax+3a+3b﹣2ax+2a﹣2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，∴f（x）=2x+7．
（4）①，把①中的x换成，得②，
①×2﹣②得，∴．
点评：本题主要考查求函数解析式的一般方法﹣﹣配凑法、换元法、待定系数法、方程组法．
