函数的最值及其几何意义
一、选择题（共20小题）
1、已知a∈R，设集合A={x||x﹣1|≤2a﹣a2﹣2}，则A的子集个数共有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、无数个学
2、已知集合A={x||2x﹣1|＞1}，集合B={y|y=|log2x|}，x∈[m，n]，若B=CRA，且n﹣m的最小值为（ ）
A、2 B、
C、 D、121世纪教育网
3、函数y=x+2sinx在区间上的最大值是（ ）
A、 B、
C、 D、以上都不对
4、一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A、人可在7米内追上汽车
B、人可在10米内追上汽车
C、人追不上汽车，其间距离最近为5米
D、人追不上汽车，其间距离最近为7米
5、定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A、﹣1 B、1
C、6 D、12
6、已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），则（ ）
A、f（x）必是偶函数
B、当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必须关于x=1直线对称
C、f（x）有最大值a2﹣b
D、若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数
7、设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的常数k，定义函数，取函数f（x）=sinx，恒有fk（x）=f（x），则（ ）
A、k有最大值1 B、k有最小值1
C、k有最大值﹣1 D、k有最小值﹣1
8、对任意实数x规定y取4﹣x，x+1，（5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（ ）
A、有最大值2，最小值1
B、有最大值2，无最小值
C、有最大值1，无最小值
D、无最大值，无最小值
9、设函数f（x）=1﹣x2+（x﹣1），则下列说法正确的是（ ）
A、f（x）是增函数，没有最大值，有最小值
B、f（x）是增函数，没有最大值、最小值
C、f（x）是减函数，有最大值，没有最小值
D、f（x）是减函数，没有最大值、最小值
10、函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A、1，﹣1 B、1，﹣17
C、3，﹣17 D、9，﹣19
11、已知有（ ）
A、最大值 B、最小值
C、最大值1 D、最小值1
12、设P（x，y）是函数y=（x＞0）图象上的点x+y的最小值为（ ）
A、2 B、2
C、4 D、
13、在x∈[，2]上，函数f（x）=x2+px+q与g（x）=+在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[，2]上的最大值是（ ）
A、 B、421世纪教育网
C、8 D、
14、8．函数（）的最大值是（ ）
A、0 B、
C、4 D、16
15、已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当的最小值为（ ）
A、﹣1 B、1
C、2 D、
16、如果，那么（ ）
A、y最小值=5 B、
C、y最大值=5 D、
17、函数y=x2+的最小值为（ ）
A、0 B、
C、1 D、
18、函数在[﹣1，2]上的最小值（ ）
A、 B、6
C、3 D、
19、若x∈（﹣∞，1），则函数y=有（ ）
A、最小值1 B、最大值1
C、最大值﹣1 D、最小值﹣121世纪教育网
20、分段函数，错误的结论是（ ）
A、f（x）有最大值2
B、x=﹣1是f（x）的最大值点
C、f（x）在[1，+∞）上是减函数
D、f（x）是有界函数
二、填空题（共5小题）
21、设集合A={（x，y）|y≥|x﹣2|，x≥0}，B={（x，y）|y≤﹣x+b}，A∩B≠?，b的取值范围是 _________ ．
22、函数f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|的最大值是 _________ ，最小值是 _________ ．
23、题干有误设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=4，a+b=2，则的最大值为 _________ ．
24、函数的最小值为 _________ ．
25、已知非负实数x，y满足，则非负实数x+y满足的最大值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、设，，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f2（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设，不等式t≤M1（x）﹣M2（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h1（x）﹣h2（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．
27、已知．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．
28、已知向量，将函数的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的表达式；
（2）若函数上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
29、设函数f（x）是定义在[﹣1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2ax+（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞﹣1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值﹣6．
30、已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知a∈R，设集合A={x||x﹣1|≤2a﹣a2﹣2}，则A的子集个数共有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、无数个学
考点：子集与真子集；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：集合A中不等式的左边配方后，得到左边不等式的最大值为﹣1，故绝对值不等式无解，确定出集合A为空集，则集合A的子集个数只有一个，是它本身．
解答：解：因为2a﹣a2﹣2=﹣2a2+2a﹣2=﹣（a﹣1）2﹣1≤﹣1，
所以|x﹣1|≤2a﹣a2﹣2无解，即集合A=?，
则集合A的子集个数只有一个是本身，即?．
故选B．21世纪教育网
点评：此题考查了函数的最值及其几何意义，以及集合的子集与真子集．利用配方法求出2a﹣a2﹣2的最大值是解本题的关键．
2、已知集合A={x||2x﹣1|＞1}，集合B={y|y=|log2x|}，x∈[m，n]，若B=CRA，且n﹣m的最小值为（ ）
A、2 B、
C、 D、1
考点：集合关系中的参数取值问题；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先求出集合A，然后根据B=CRA求出集合B，再结合集合B={y|y=|log2x|，x∈[m，n]}={x|0≤x≤1}求出x的范围，从而求出n﹣m的最小值．
解答：解：A={x||2x﹣1|＞1}={x|x＞1或x＜0}
B=CRA={x|0≤x≤1}
令|log2x|=1，解得x=或2
集合B={y|y=|log2x|，x∈[m，n]}={x|0≤x≤1}
∴x∈[，n]，n∈[1，2]或x∈[m，2]，m∈[，1]
∴n﹣m的最小值为
故选C
点评：本题主要考查了集合关系中的参数取值问题，以及函数的最值及其几何意义，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．
3、函数y=x+2sinx在区间上的最大值是（ ）
A、 B、
C、 D、以上都不对
考点：函数的值域；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
调递减，
∴当cosx=时，函数y=x+2sinx有最大值为+2×=．
故选A．21世纪教育网
点评：导数是数学学习的一种解决问题的工具，是函数几何意义的代数表达，导数是求解函数最值的有效手段之一．
4、一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A、人可在7米内追上汽车 B、人可在10米内追上汽车
C、人追不上汽车，其间距离最近为5米 D、人追不上汽车，其间距离最近为7米
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：设t秒时此人与汽车的距离为s米，建立s关于t的函数关系式，再根据这个函数的单调性求出此函数的最小值，根据函数的最小值为7，7大于0，可得应该选C
解答：解：设t秒时此人与汽车的距离为s米，则
s/（t）=t﹣6
当0＜t＜6时，s/（t）＜0，函数在（0，6）上为减函数；
当t＞6时，s/（t）＞0，函数在（6，+∞）为增函数．
说明当t=6时，函数取到极小值7，并且这个极小值就是函数的最小值，
因为7大于0，所以此人人追不上汽车，其最近距离最近为7米．
故答案为D
点评：本题以物理应用为背景，运用位移与速度、加速度关系的公式建立函数关系式，再解函数问题，从而得出实际问题的解，是一道不错的应用题．
5、定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A、﹣1 B、1
C、6 D、12
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题；综合题；新定义。
分析：当﹣2≤x≤1和1＜x≤2时，分别求出函数f（x）的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数f（x）的最大值．
解答：解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．
故选C．
点评：本题考查分段函数，以及函数的最值及其几何意义，考查函数单调性及导数求最值，是基础题．
6、已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），则（ ）
A、f（x）必是偶函数 B、当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必须关于x=1直线对称
C、f（x）有最大值a2﹣b D、若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数
B 当a=2，b=2时，有f（x）=|x2﹣4x+2|，f（0）=f（2），但此函数关于x=1不对称．
C 当a=1，b=3 f（x）=|x2﹣2x+3|函数没有最大值．
D a2﹣b≤0时，函数y=x2﹣2ax+b与x轴没有交点，f（x）=|x2﹣2ax+b|=x2﹣2ax+b 在区间[a，+∞）上单调递增．
故选D
点评：本题主要考查了分段函数的性质：函数的奇偶性，函数的最值的求解，函数的对称性，函数的单调性，二次函数性质的应用．是一道综合性比较好的试题．21cnjy
7、设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的常数k，定义函数，取函数f（x）=sinx，恒有fk（x）=f（x），则（ ）
A、k有最大值1 B、k有最小值1
C、k有最大值﹣1 D、k有最小值﹣1
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。
分析：不难发现fk就是取f（x）与k两个中小的那个值，而sinx有最大值，可推出结论．
解答：解：fk就是取f（x）与k两个中小的那个值，f（x）=sinx有最大值1，恒有fk（x）=f（x）说明k≥sinx，∴k≥1
故选A．
点评：本题考查分段函数，以及函数的最值及其几何意义，是创新题型，理解题意最关键．
8、对任意实数x规定y取4﹣x，x+1，（5﹣x）三个值中的最小值，则函数y（ ）
A、有最大值2，最小值1 B、有最大值2，无最小值
C、有最大值1，无最小值 D、无最大值，无最小值
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。
专题：转化思想。
分析：根据题目条件先得到函数y=，然后按照每一段求其值域，从而得到结论．
解答：解：根据题意：y=
∴当x≤1时，y≤2
当1＜x＜3时，1＜y＜2
当x≥3时，y≤1
∴有最大值2，无最小值
故选B
点评：本题主要考查函数的构造，以及研究分段函数的最值，属中档题．
9、设函数f（x）=1﹣x2+（x﹣1），则下列说法正确的是（ ）
A、f（x）是增函数，没有最大值，有最小值 B、f（x）是增函数，没有最大值、最小值
C、f（x）是减函数，有最大值，没有最小值 D、f（x）是减函数，没有最大值、最小值
考点：函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：首先求出函数的定义域，在（1，+∞）上为减函数，利用在同一区间上两减函数的和仍为减函数，确定出函数f（x）=1﹣x2+（x﹣1）单调性，从而确定有无最值．
解答：解：要使函数f（x）=1﹣x2+（x﹣1）有意义，
只需：x﹣1＞0即可，21cnjy
所以函数的定义域为：{x|x＞1}．
设，
因为g（x），h（x）在（1，+∞）都是减函数，
所以f（x）=1﹣x2+（x﹣1）在（1，+∞）上为减函数，
因为（1，+∞）是开区间，区间的两个端点取不到，所以f（x）在（1，+∞）上没有最大值、最小值．
故选D．
点评：本题考查函数的单调性，最值，用到了同一区间上两减函数的和仍为减函数，单调函数开区间上没有最大值、最小值．
10、函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A、1，﹣1 B、1，﹣17
C、3，﹣17 D、9，﹣19
点评：本题考点是导数法求函数最值．此类解法的步骤是求导，确定极值点，研究单调性，求出极值与区间端点的函数值，再比较各数的大小，选出最大值与最小值．
11、已知有（ ）
A、最大值 B、最小值
C、最大值1 D、最小值1
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：先对函数f（x）进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”．
解答：解：≥1
当且仅当x=3时取等号，
故选D．
点评：本题考查了利用基本不等式求函数的值域，要注意到条件：“一正二定三相等”，同时要灵活运用不等式．
12、设P（x，y）是函数y=（x＞0）图象上的点x+y的最小值为（ ）
A、2 B、2
C、4 D、
考点：函数的最值及其几何意义。21cnjy
专题：计算题。
分析：先根据x＞0得到y＞0，而x+y=x+，利用基本不等式可知x+y的最小值．
解答：解：x+y=x+
∵x＞0则y=＞0
∴x+y=x+≥2
故选：B
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及基本不等式的应用等有关知识，属于基础题．
13、在x∈[，2]上，函数f（x）=x2+px+q与g（x）=+在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[，2]上的最大值是（ ）
A、 B、4
C、8 D、
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：综合题；综合法。
分析：由于两函数在同一点出取到相同的最小值，故本题应先从g（x）=+的最值上研究，观察其形式可以看出，可以用基本不等式求最小值，由此得到函数f（x）=x2+px+q在x∈[，2]上的最小值，由此得出参数p，q的关系，求出两个参数的值，问题得到求解．
解答：解：∵在x∈[，2]上，g（x）=+≥3，当且仅当x=1时等号成立
∴在x∈[，2]上，函数f（x）=x2+px+q在x=1时取到最小值3，
∴解得p=﹣2，q=4
∴f（x）=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+4，
∴当x=2时取到最大值4
故选B
点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，考查了基本不等式求最值与二次函数求最值，利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件，及相关两项的符号．本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛，注意总结此两种求最值方法的规律．
14、8．函数（）的最大值是（ ）
A、0 B、
C、4 D、16
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，由于本题中函数的形式出现了和为定值的形式，故采取了用基本不等式的方法求最值，得用基本不等式求最值时注意规律：和定积有最大值，积定和有最小值，以及等号成立的条件是否足备．
15、已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当的最小值为（ ）
A、﹣1 B、1
C、2 D、
考点：函数的最值及其几何意义。
分析：先由曲线y=x3+ax经过点P（1，2），求得a值，进而利用导数的几何意义求得曲线y=x3+ax经过点P（1，2）的切线方程l；再由y=x2+bx+c经过点P（1，2）的切线方程也是l，可求得b、c的值；最后代入，利用均值定理求最小值即可
解答：解：将P（1，2）代入两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c，得
设f（x）=x3+x，g（x）=x2+bx+c
∵f′（x）=3x2+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵两曲线在点P处有公切线
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=﹣1
∴==≥log22=1 （当且仅当x=1时取等号）
故选B
点评：本题考查了导数的几何意义和均值定理的运用，解题时要抓住要害，准确作答．
16、如果，那么（ ）
A、y最小值=5 B、
C、y最大值=5 D、
考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：根据t=（x+2）2+5≥5，以及y=在[0，+∞）上单调递增可求出原函数的值域，从而得到最值．
解答：解：∵t=（x+2）2+5≥5，y=在[0，+∞）上单调递增
∴≥
当且仅当x=﹣2时取最小值21cnjy
故选B．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及二次函数的性质和幂函数的性质，属于基础题．
17、函数y=x2+的最小值为（ ）
A、0 B、
C、1 D、
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：设=t≥0，然后将函数转化成y=t2+1+t=（t+）2+，根据函数的单调性可求出函数的最值．
解答：解：设=t≥0，则x2=t2+1
∴y=t2+1+t=（t+）2+
∵y=t2+1+t=（t+）2+在[0，+∞）上单调递增
∴当t=0时取最小值，最小值为1
故选C．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，同时考查了利用换元法求最值，属于基础题．
18、函数在[﹣1，2]上的最小值（ ）
A、 B、6
C、3 D、
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由函数的解析式可以判断出，函数是一个减函数，故本问题是求一个减函数在闭区间上的最小值问题，先判断函数在[﹣1，2]上的单调性，再求最小值．
解答：解：由于2x+3x＞0，且在[﹣1，2]上是增函数，故在[﹣1，2]上是减函数
由此可知数在[﹣1，2]右端点取到最小值．
故最小值为
故选D．
点评：本题的考点是函数的最值及其几何意义，考查判断函数的单调性以及用函数的单调性求最值的能力．
19、若x∈（﹣∞，1），则函数y=有（ ）
A、最小值1 B、最大值1
C、最大值﹣1 D、最小值﹣1
20、分段函数，错误的结论是（ ）
A、f（x）有最大值2 B、x=﹣1是f（x）的最大值点
C、f（x）在[1，+∞）上是减函数 D、f（x）是有界函数
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：数形结合。
分析：根据分段函数的解析式，我们可以画出分段函数的图象，进而分析出函数的性质，与四个答案逐一进行比照后，即可得到结论．
解答：解：分段函数的图象如下图所示：
由图可知，函数f（x）有最大值2，故A正确；
x=﹣1是f（x）的最大值点，故B正确；
f（x）在[1，+∞）上是减函数，故C正确；
f（x）无下界，故D错误，
故选D
点评：本题考查的知识点是分段函数的图象及画法，函数的最值及其意义，其中根据已知中分段函数的解析式，画出函数的图象是解答本题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、设集合A={（x，y）|y≥|x﹣2|，x≥0}，B={（x，y）|y≤﹣x+b}，A∩B≠?，b的取值范围是 [2，+∞） ．
考点：集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题；数形结合。
分析：分别画出集合A，B表示的图形，欲使它们的交集非空，结合图形观察即可得出结论．
解答：解：集合A={（x，y）|y≥|x﹣2|，x≥0}表示图中阴影部分，
集合B={（x，y）|y≤﹣x+b}表示直线y=﹣x+b的下文，
∵A∩B≠?，
∴由图象可知b的取值范围是[2，+∞）．
答案：[2，+∞）．
点评：本题主要考查了集合的交集的含义及数形结合思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．
22、函数f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|的最大值是 2 ，最小值是 ﹣2 ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：先通过讨论去掉绝对值，得到分段函数，画出函数图象，结论很快得到．
解答：解：f（x）=|1﹣x|﹣|x﹣3|=
画出上述函数图象，
分析可得最大值2，最小值﹣2；
故答案为2，﹣2．21*cnjy*com
点评：本题考查了分段函数的最值问题，利用数形结合法求解一目了然．
23、题干有误设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=4，a+b=2，则的最大值为 ．
考点：函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：由ax=bx=4得，，利用基本不等式可使问题解决．
解答：解：∵ax=bx=4，
∴，
又a+b=2，
∴=log42=，
故答案为：．
点评：本题考查函数的最值，解决的关键是掌握对数的概念与性质，利用好基本不等式是解决问题的技巧，是好题．
24、函数的最小值为 1+2 ．
；
而x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，?f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值为
点评：考查复合函数单调性的判断方法，依据单调性求函数的最值，训练学生对利用单调性求最值的方法．
25、已知非负实数x，y满足，则非负实数x+y满足的最大值为 9 ．
考点：函数的最值及其几何意义。
分析：借助均值不等式进行求解
解答：解：∵非负实数x，y满足，21*cnjy*com
∴非负实数x+y=（x+y）=≥5+=9．
∴非负实数x+y满足的最大值为9．
点评：巧妙地运用均值不等式能够又快又准地进行解题．
三、解答题（共5小题）
26、设，，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f2（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设，不等式t≤M1（x）﹣M2（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h1（x）﹣h2（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义；不等式的综合。
分析：（1）令4x在h（x）的定义域内，求出x的范围，写出区间形式即为h（4x）的定义域．
（2）对m分类讨论，利用导函数的符号，当导函数大于0时对应的区间为递增区间；导函数小于0时，对应的区间为递减区间；求出函数的单调区间．
（3）通过解不等式，比较出h（x）与h（4x）的大小，求出m（x）的解析式；求出M1（x），M2（x）求出M1（x）﹣M2（x）的值域，求出t，n的范围．
解答：解：理（1）∵，
∴
∴h（4x）的定义域为
（2）
m＜0时，h（x）在递增；
时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
（3）由题知：
所以，h（x）＞h（4x）
h（x）=h（4x）
h（x）＜h（4x）
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∴
文：（1）
（2）m＜0时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
时，h（x）在递增
（3）
21*cnjy*com
所以
点评：本题考查抽象函数的定义域的求法：知f（x）的定义域为[a，b]，求f（mx+n）的定义域只要解不等式a≤mx+n≤b即可、考查研究函数的单调区间时，若含参数一般需要讨论．分段函数的处理方法是先分再合的策略．
27、已知．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．
转化成，利用上一问结论即可求得最值．
解答：解：（1）f（x）的定义域为[0，1]．
（2），
设，∴，
则，
当α=β时，，此时f（x）最大值为，
又cos（β﹣α）在递增，在递减，21*cnjy*com
∴f（x）的最小值是f（0）与f（1）的较小者，即A与B的较小者．
（3）设，∴，
则，
由（2）知g（x）的最大值为，
最小值为和的较小者，即．
点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及函数的最值及其几何意义，属于基础题．
28、已知向量，将函数的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
考点：函数的图象与图象变化；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）利用图象平移的知识，根据向量平移的公式建立平移之后的图象上点的坐标与平移之前图象上点的坐标之间的关系是解决本题的关键；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中得到的函数关系式，确定该函数是二次函数类型，根据对称轴与函数定义区间的关系，结合分类讨论思想求出函数的最小值的表达式是解决本题的关键．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得
∴代入函数中，
得
∴函数y=g（x）的表达式为
（Ⅱ）函数g（x）的对称轴为
①当即时，函数g（x）在[]上为增函数，
∴；
②当即时，
∴
当且仅当时取等号；
③当即时，函数g（x）在[]上为减函数，21*cnjy*com
∴
综上可知，
∴当时，函数h（a）的最大值为
点评：本题考查向量平移公式的运用，考查学生对函数图象平移本质的理解，考查学生的分类讨论思想，二次函数最值问题的求解，考查学生最值问题的求法．
29、设函数f（x）是定义在[﹣1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2ax+（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞﹣1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值﹣6．
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax﹣，x∈（0，1]．
（2）证明：∵f′（x）=2a+，
∵a＞﹣1，x∈（0，1]，＞1，
∴a+＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．
（3）解：当a＞﹣1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）max=f（1）=﹣6，?a=﹣（不合题意，舍之），
当a≤﹣1时，f′（x）=0，x=．
如下表：fmax（x）=f（）=﹣6，解出a=﹣2． x=∈（0，1）．21*cnjy*com
∴存在a=﹣2，使f（x）在（0，1）上有最大值﹣6．
点评：（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义 （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．
30、已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，
（1）求f（x）解析式；
（2）求当x∈[a，a+2]，时，f（x）最大值．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义。
专题：计算题。
分析：（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x﹣1）=﹣2x2+4x，求出f（x）的解析式即可；
（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．
解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，
a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=﹣2x2+4x，
2ax2+2bx+2a+2c=﹣2x2+4x，
（2）f（x）=﹣（x﹣1）2+2，
①a+2＜﹣1即a＜﹣1，当x=a+2，f（x）max=﹣a2﹣2a+1；
②a≤1≤a+2即﹣1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）max=﹣a2+2a+1；
故
点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力．
