函数单调性的判断与证明
一、选择题（共20小题）
1、给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①； ②f（3，4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（ ）
A、①② B、①③21世纪教育网
C、②④ D、③④
2、四位同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
②若x1，x2∈R且x1＜x2＜0，则一定有；
③若x1，x2∈R且x1＜x2，则一定有；
④若集合M=[a，b]，N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的有序实数对（a，b）只有一个．
则上述四个结论中正确的是（ ）
A、①② B、①③
C、①④ D、②④
3、设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，将F（x）的图象按向量=（π，o）平移得到一个新的函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递减区间是（ ）
A、[，2π] B、[π，]
C、[，π] D、[﹣，0]
4、给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
5、动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A、[0，1] B、[1，7]
C、[7，12] D、[0，1]和[7，12]
6、设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为 （ ）
A、（﹣∞，0） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，﹣1） D、（1，+∞）
7、如果函数y=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、若函数f（x）=，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（ ）
A、单调递减无最小值 B、单调递减有最小值
C、单调递增无最大值 D、单调递增有最大值
9、函数y=1﹣（ ）
A、在（﹣1，+∞）内单调递增
B、在（﹣1，+∞）内单调递减
C、在（1，+∞）内单调递增
D、在（1，+∞）内单调递减
10、函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，则（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、
11、已知f（x）=loga[（3﹣a）x﹣a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、（1，3）
C、（0，1）∪（1，3） D、（3，+∞）
12、定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），且当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2则f（x）（ ）
A、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是增函数
B、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是减函数
C、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
D、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是减函数
13、函数在（ ）
A、（﹣∞，+∞）内是增函数
B、（﹣∞，+∞）内是减函数
C、（﹣1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
D、（﹣1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数
14、下列函数中，在（1，+∞）上为减函数的是（ ）
A、y=1﹣ B、y=1﹣（x﹣2）2
C、y=﹣ D、y=﹣|x+1|
15、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A、y=tanx B、
C、y=2﹣x D、y=﹣x2﹣4x+1
16、函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则=（ ）
A、 B、
C、1 D、
17、下列结论正确的是（ ）
A、函数y=kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数
B、函数y=x2在R上是增函数
C、在定义域内为减函数
D、在（﹣∞，0）为减函数
18、对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]=3，[﹣3.4]=﹣4等），设函数f（x）=x﹣[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数，其中正确结论的个数是（ ）
A、1 B、221世纪教育网
C、3 D、4
19、“反比例函数在定义域上是减函数”的一个反例的条件可以是（ ）
A、取x1=1，x2=2 B、取x1=﹣1，x2=﹣2
C、取x1=﹣1，x2=2 D、任取x1，x2，且x1＜x2
20、给出下列四个函数：①f（x）=x+1，=2 ②，③f（x）=x2，④f（x）=sinx，其中在（0，+∞）是增函数的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
二、填空题（共5小题）
21、已知函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题正确的有 _________ ．
①若，则y=f（x）的周期为2；
②y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称；
③若f（x﹣1）=f（1﹣x），且（﹣2，﹣1）是f（x）的单调减区间，则（1，2）是f（x）的单调增区间；
④若函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则函数y=f（x﹣2）+1的图象关于点（1，1）对称．
22、函数，（x＞0）单调减区间是 _________ ．
23、下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的 _________ ．①；②y=1﹣x2；③y=x2+x；④．
24、函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是 _________ ．
25、函数的单调减区间是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、设函数）．
（1）求函数y=f（2x）的定义域；
（2）用函数单调性的定义证明）在其定义域上为减函数．
27、已知函数的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数y=f（x）的单调性并给予证明；
（3）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．
28、已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；
（2）当x∈[a﹣2，a﹣1]时，求证：；
（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn+1=f（xn）．如果xi∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果xi?A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．
29、设f（x）=1﹣．
（1）求f（x）的值域；21世纪教育网
（2）证明f（x）为R上的增函数．
30、定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．如果对于函数f（x）的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数f（x）的上确界．已知函数，．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上确界T（m）．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：21世纪教育网
①；②f（3，4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（ ）
A、①② B、①③
C、②④ D、③④
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明。
专题：新定义。
分析：在理解新定义的基础上，求出{﹣}、{3.4}、{﹣}、{}对应的整数，进而利用函数f（x）=|x﹣{x}|可判断①②③的
正误；而对于④易知f（x）=|x﹣{x}|的值域为[0，]，则④错误．此时即可作出选择．
解答：解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=|﹣0|=，∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]∴④错误．
故选B．
点评：本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
2、四位同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
②若x1，x2∈R且x1＜x2＜0，则一定有；
③若x1，x2∈R且x1＜x2，则一定有；
④若集合M=[a，b]，N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的有序实数对（a，b）只有一个．
则上述四个结论中正确的是（ ）
A、①② B、①③
C、①④ D、②④
考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明。
专题：数形结合。
分析：作出函数（x∈R）的图象，依据图象判断①④．②③借助图象及其几何意义判断．
解答：解：由图象知①正确，
对于②若x1，x2∈R且x1＜x2＜0，则一定有，表示（x1，f（x1））与（0，0）连线的斜率大于（x2，f（x2））与（0，0）连线的斜率，由图象知这一结论正确．21世纪教育网
对于③，其结论与②相悖，故不正确
④这样的数对的个数超过一个，故不正确．
故应选A．
点评：考查函数的单调性每一点处切线的斜率的变化，函数本身的特征．本解法借助图象，以形助数，是解题的好方法．
3、设F（x）=f（x）+f（﹣x），x∈R，[﹣π，﹣]是函数F（x）的单调递增区间，将F（x）的图象按向量=（π，o）平移得到一个新的函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递减区间是（ ）
A、[，2π] B、[π，]
C、[，π] D、[﹣，0]
考点：函数的图象与图象变化；函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：先根据偶函数的定义，得到F（x）是偶函数，再画出图象得到其单调递减区间，然后根据平移后的图象与原图象之间的关系即可得到G（x）的一个单调递减区间．
解答：解：由于F（﹣x）=F（x），∴F（x）是偶函数，
其图象关于y轴对称，
∴[，π]是函数F（x）的单调递减区间．
又F（x）的图象按向量=（π，o）平移得到一个新的函数G（x）的图象，
∴G（x）的一个单调递减区间是[+π，π+π]
即[，2π]．
故选A．
点评：本题考查了函数的图象与图象的变换、函数单调性的判断与证明、函数的奇偶性及单调性，培养学生画图的能力，属于基础题．
4、给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，期中在区间（0，1）在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．
5、动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A、[0，1] B、[1，7]
C、[7，12] D、[0，1]和[7，12]
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．
解答：解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．
故选D．
点评：本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题．
6、设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数fK（x）的单调递增区间为（ ）
A、（﹣∞，0） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，﹣1） D、（1，+∞）
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：先根据题中所给的函数定义求出函数函数fK（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．
解答：解：由f（x）≤得：，即，21cnjy
解得：x≤﹣1或x≥1．
∴函数fK（x）=
由此可见，函数fK（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，
故选C．
点评：本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题．
7、如果函数y=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：将函数y=ax（ax﹣3a2﹣1）转化为二次函数来考虑即可得到答案．
解答：解：函数y=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）可以看作是关于ax的二次函数，
若a＞1，则y=ax是增函数，原函数在区间[0，+∞）上是增函数，
则要求对称轴≤0，矛盾；
若0＜a＜1，则y=ax是减函数，原函数在区间[0，+∞）上是增函数，
则要求当t=ax（0＜t＜1）时，
y=t2﹣（3a2+1）t在t∈（0，1）上为减函数，
即对称轴≥1，
∴，
∴实数a的取值范围是，
故选B．
点评：本题主要考查将复杂函数式转化为二次函数的问题．注意转化后函数定义域的转变．
8、若函数f（x）=，则该函数在（﹣∞，+∞）上是（ ）
A、单调递减无最小值 B、单调递减有最小值
C、单调递增无最大值 D、单调递增有最大值
考点：函数单调性的判断与证明。21cnjy
专题：计算题。
分析：利用复合函数求解，先令u（x）=2x+1，f（u）=．u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，f（u）=在（1，+∞）上单调递减，再由“同增异减”得到结论．
解答：解：令u（x）=2x+1，
则f（u）=．
因为u（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增且u（x）＞1，
而f（u）=在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，且无限趋于0，故无最小值．
故选A
点评：本题主要考查复合函数，在研究性质中，要转化为两个基本函数，利用同增异减来解决，特别要注意定义域．
9、函数y=1﹣（ ）
A、在（﹣1，+∞）内单调递增 B、在（﹣1，+∞）内单调递减
C、在（1，+∞）内单调递增 D、在（1，+∞）内单调递减
点评：本题的考点是考查函数的图象，与函数图象的平移知识，注意函数图象变换的规则，左加右减的意义．
10、函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，则（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：计算题；数形结合。
分析：先验证当2k+1=0时，函数y=（2k+1）x+b=1b为常函数不满足条件，然后根据一次函数是增函数时斜率必为大于0的数，从而可求出k的值，确定答案．
解答：解：∵函数y=（2k+1）x+b在实数集上是增函数，
当2k+1=0时，y=b是常函数，不满足题意，
∴2k+1＞0，∴
故选A．
点评：此题是个基础题．本题主要考查函数的单调性的判断．考查对基础知识的应用．
11、已知f（x）=loga[（3﹣a）x﹣a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、（1，3）
C、（0，1）∪（1，3） D、（3，+∞）
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：令u=（3﹣a）x﹣a，原函数可以转化为：y=logau，u=（3﹣a）x﹣a两个简单函数，再由复合函数单调性同增异减来判断．
解答：解：设u=（3﹣a）x﹣a，
当1＜a＜3时，y=logau在（0，+∞）上为增函数，
u=（3﹣a）x﹣a在其定义域上为增函数．21cnjy
∴此时f（x）在其定义域内为增函数，符合要求．
当a＞3时，y=logau在其定义域内为增函数，
而u=（3﹣a）x﹣a在其定义域内为减函数，
∴此时f（x）在其定义域内为减函数，不符合要求．
当0＜a＜1时，同理可知f（x）在其定义域内是减函数，不符合题目要求．
故选B．
点评：本题主要考查复合函数单调性问题．关于对数函数的复合函数一定莫忘对数函数的定义域，即真数一定要大于0．
12、定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），且当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2则f（x）（ ）
A、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是增函数 B、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[5，6]上是减函数
C、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数 D、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是减函数
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：计算题；转化思想。
分析：由已知中定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），我们可得函数f（x）是以2为周期的周期函数，又由当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，我们可以判断出函数在区间[3，5]上的单调性，进而结合函数的周期性，得到结论．
解答：解：∵当x∈[3，5]时，f（x）=1﹣（x﹣4）2，
则在区间[4，5]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
又由函数满足f（x）=f（x+2），
故函数f（x）是以2为周期的周期函数
则函数f（x）区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[5，6]上是增函数
故选C
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的周期性，其中根据已知条件判断出函数的性质（周期及一个周期上的单调性）是解答本题的关键．
13、函数在（ ）
A、（﹣∞，+∞）内是增函数 B、（﹣∞，+∞）内是减函数
C、（﹣1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数 D、（﹣1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：对函数进行求导，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
解答：解：∵函数∴y'=
当y'＞0时，解得﹣1＜x＜1 故原函数的增区间为：（﹣1，1）
当y'＜0时，解得 x＜﹣1或x＞1 故原函数的减区间为：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
故选C．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定原函数单调区间的问题．导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
14、下列函数中，在（1，+∞）上为减函数的是（ ）
A、y=1﹣ B、y=1﹣（x﹣2）2
C、y=﹣ D、y=﹣|x+1|21cnjy
在（1，+∞）上y=﹣x﹣1为减函数
故选D
点评：本题考查了函数单调性的判断方法，特别是复合函数法和图象法，解题时要仔细辨别函数类型，利用函数图象或构成复合函数的基本函数的单调性迅速作出判断
15、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）
A、y=tanx B、
C、y=2﹣x D、y=﹣x2﹣4x+1
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：设x1，x2且x1＜x2，看哪个选项中的f（x1）＜f（x2）．
解答：解：对于A选项，设x1，x2且0＜x1＜x2＜1，
∴tanx1＜tanx2，即tanx1﹣tanx2＜0
即f（x1）﹣f（x2）=tanx1﹣tanx2＜0
∴y=tanx为增函数．
样的方法可知，选项B、C、D中的函数均为减函数．
故答案选A．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断．属基础题．
16、函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则=（ ）
A、 B、
C、1 D、
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：新定义。
分析：由已知中函数f（x）满足的三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x），我们可以求出f（1），f（），f（），进而求出f（），f（）的函数值，又由函数f（x）为非减函数，求出f（）的值，即可得到答案．
解答：解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），
则f（1）=f（1﹣0）=1﹣f（0）=1，
f（1﹣）=f（）=1﹣f（），即f（）=
又∵21cnjy
f（）=f（1）=
∴f（）=f（）=
又∵函数f（x）为非减函数
又由＜＜
∴f（）=
∴=
故选A．
点评：本题考查的知识点是抽象函数的应用，其中根据已知中函数f（x）满足的三个条件及函数f（x）为非减函数，求出相应函数的函数值是解答本题的关键．
17、下列结论正确的是（ ）
A、函数y=kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数 B、函数y=x2在R上是增函数
C、在定义域内为减函数 D、在（﹣∞，0）为减函数
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：证明题。
分析：本题中四个选项中的函数分别为一次函数、二次函数、反比例函数，利用相关函数的性质逐一判断其单调性，以判断正确选项即可．
解答：解：对于选项A，y=kx（k为常数，k＜0）在R上是减函数，故A不对
对于选项B，函数y=x2在R上是先减后增的函数，故B不对
对于选项C，是一个反比例函数，在区间（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）为减函数，在R上没有单调性，故C不对
对于选项D，在（﹣∞，0）为减函数是正确的
故选D
点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，分别考查了一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，对于基础函数的单调性应好好掌握其图象形状及图象所表现出来的函数的性质．
18、对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]=3，[﹣3.4]=﹣4等），设函数f（x）=x﹣[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数，其中正确结论的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：函数单调性的判断与证明；函数的周期性。
专题：新定义。
分析：由[x]为不大于x的最大整数，可得[x]≤x＜[x]+1，可得f（x）=x﹣[x]≥0，且f（x）＜1，得①②正确，对于③则看f（x）与f（x+1）的关系即可，对于④，取特殊值即可说明其不成立．
解答：解：由题意有[x]≤x＜[x]+1
∴f（x）=x﹣[x]≥0，且f（x）＜1
∴①②正确
∵f（x+1）=x+1﹣[x+1]=x+1﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）
∴f（x）为周期函数
∵f（﹣0.1）=﹣0.1﹣[﹣0.1]=﹣0.1﹣（﹣1）=0.9，
f（0.1）=0.1﹣[0.1]=0.1﹣0=0.1≠f（﹣0.1）
∴f（x）不是偶函数，
故选 C．
点评：本题考查了在新定义下，判断函数的取值范围，单调性，奇偶性．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．
19、“反比例函数在定义域上是减函数”的一个反例的条件可以是（ ）
A、取x1=1，x2=2 B、取x1=﹣1，x2=﹣2
C、取x1=﹣1，x2=2 D、任取x1，x2，且x1＜x221*cnjy*com
考点：函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：由反比例函数的单调性，可得要举反例推反上述结论，可取两个符号相反的数，分析四个答案，可得结论．
解答：解：由反比例函数的性质，
可得反比例函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数
但在定义域上不具备单调性
故要举反例可得两个符号相反的数
故选C
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握反比例函数的单调性是解答本题的关键．
20、给出下列四个函数：①f（x）=x+1，=2 ②，③f（x）=x2，④f（x）=sinx，其中在（0，+∞）是增函数的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
点评：此题主要考查不同种类函数的单调性的判断．
二、填空题（共5小题）
21、已知函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题正确的有 ①③④ ．
①若，则y=f（x）的周期为2；
②y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称；
③若f（x﹣1）=f（1﹣x），且（﹣2，﹣1）是f（x）的单调减区间，则（1，2）是f（x）的单调增区间；
④若函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则函数y=f（x﹣2）+1的图象关于点（1，1）对称．
考点：函数的图象与图象变化；函数单调性的判断与证明；函数的周期性。
专题：综合题。
分析：由，知f（x+2）=﹣=﹣=f（x）与y=f（﹣x）的图象关于直线x=0对称；函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象可以由f（x）与y=f（﹣x）的图象向右移了一个单位而得到，所以函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称；若f（x﹣1）=f（1﹣x），且（﹣2，﹣1）是f（x）的单调减区间，则（1，2）是f（x）的单调增区间；若函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，函数y=f（x﹣2）+1的图象关于点（1，1）对称．
解答：解：∵，
∴f（x+2）=﹣=﹣=f（x），21*cnjy*com
∴y=f（x）的周期为2，故①正确；
：∵f（x）与y=f（﹣x）的图象关于直线x=0对称
又函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象可以由f（x）与y=f（﹣x）的图象向右移了一个单位而得到，
∴函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．故②不正确；
若f（x﹣1）=f（1﹣x），且（﹣2，﹣1）是f（x）的单调减区间，
则（1，2）是f（x）的单调增区间，故③正确；
∵若函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，
函数y=f（x﹣2）+1的图象关于点（1，1）对称．
故答案为：①③④．
点评：本题主要考查函数的图象及其图象间的变换，对于常见的类型如：f（x+2）=f（2﹣x），f（x+2）=﹣f（2﹣x），f（x+2）=f（x﹣2），y=f（x+2）与y=f（2﹣x）间的关系，要熟练掌握．
22、函数，（x＞0）单调减区间是 （0，1） ．
考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：由已知中函数的解析式，我们可以求出其导函数的解析式，根据导函数在函数的单调递减区间上函数值小于0，我们可以构造一个关于x的不等式，解不等式，即可求出满足条件的x的取值范围，得到答案．
解答：解：∵函数，（x＞0）
∴，（x＞0）
令y′＞0，即＜0
解得0＜x＜1
故函数，（x＞0）单调减区间是（0，1）
故答案为：（0，1）
点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，函数的单调性的判断与证明，其中根据导函数在函数的单调递减区间上函数值小于0，构造一个关于x的不等式，是解答本题的关键．
23、下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的 ④ ．①；②y=1﹣x2；③y=x2+x；④．
递增，故不符合题意；
④，定义域为（﹣∞，1），在（﹣∞，1）上单调递减，故正确
故答案为：④
点评：本题主要考查了二次函数、分式函数、根式函数单调性的判断，属于基础题．21*cnjy*com
24、函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是 [0，+∞）． ．
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域。
专题：计算题；新定义。
分析：函数f（x）=+k 在定义域为[﹣2，+∞）内是增函数，由②可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出 a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的两个根．故有，解此不等式求得 k 的范围即为所求．
解答：解：函数f（x）=+k 的定义域为[﹣2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，
∴+k=a，且+k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且 b+2=（b﹣k）2，
即，故 a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的两个根．
故有，解得 k≥0，那么k的取值范围是[0，+∞），故答案为：[0，+∞）．
点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的两个根，是解题的难点．
25、函数的单调减区间是 （﹣∞，﹣3] ．
考点：函数单调性的判断与证明。
分析：先求出函数的定义域，再由复合函数判断单调性的同增异减性质判断即可
解答：解：∵x2+2x﹣3≥0∴原函数的定义域为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
令z=x2+2x﹣3，原函数可表示为：，z=x2+2x﹣3
∴单调减区间为：（﹣∞，﹣3]
故答案为：（﹣∞，﹣3]．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，注意同增异减的特性．
三、解答题（共5小题）
26、设函数）．
（1）求函数y=f（2x）的定义域；
（2）用函数单调性的定义证明）在其定义域上为减函数．
考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明。
专题：综合题。
分析：（1）由2x≤1，得，由此能求出y=f（2x）的定义域．
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，1]，且x1＜x2，则
=，由此进行讨论，能够证明f（x）在定义域（﹣∞，1]上为减函数．21*cnjy*com
解答：解：（1）由2x≤1，得，
所以，y=f（2x）的定义域为．
（2）证明：任取x1，x2∈（﹣∞，1]，且x1＜x2，
则
=，
，
，即f（x1）＞f（x2），
所以，f（x）在定义域（﹣∞，1]上为减函数．
点评：本题考查定义域的求法和单调性的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握常规解题方法．
27、已知函数的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数y=f（x）的单调性并给予证明；
（3）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．
则f（x1）﹣f（x2）=，所以y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数．
（3）当x∈（0，1]时，f（x）＞5在定义域上恒成立，即a＜2x2﹣5x在x∈（0，1]时恒成立．
设g（x）=2x2﹣5x，当x∈（0，1]时，g（x）∈[﹣3，0），只要a＜﹣3即可，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
点评：本题主要考查函数的值域，考查函数的单调性及恒成立问题，有一定的综合性．
28、已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；
（2）当x∈[a﹣2，a﹣1]时，求证：；
（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn+1=f（xn）．如果xi∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果xi?A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．
考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明。
专题：计算题。
分析：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．
解答：（1）∵，∴．
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称．（3分）21*cnjy*com
（2）先证明f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，只要证明f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．
设﹣∞＜x1＜x2＜a，则，
∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，得
当x∈[a﹣2，a﹣1]时，f（x）∈[f（a﹣2），f（a﹣1）]，即．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．
∴方程无解，即方程（a+1）x=a2+a﹣1无解或有唯一解x=a．
∴或由此得到a=﹣1（13分）
点评：本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．
29、设f（x）=1﹣．
（1）求f（x）的值域；
（2）证明f（x）为R上的增函数．
考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）因为2x＞0，由不等式的性质即可求出1﹣的范围，即f（x）的值域．
（2）由怎函数的哦定义，只要任取两个自变量，由做差法比较他们对应函数值的大小即可．
解答：解：（1）因为2x＞0，所以，所以﹣1＜1﹣＜1，即f（x）的值域为（﹣1，1）；
（2）任取x1、x2，且x1＜x2．
则f（x2）﹣f（x1）==＞0
所以f（x2）＞f（x1）
所以f（x）为R上的增函数
点评：本题考查函数的值域的求解、单调性的证明，属基础知识的考查．
30、定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．如果对于函数f（x）的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数f（x）的上确界．已知函数，．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上确界T（m）．
﹣3≤1+at+t2≤3，在（0，1]上恒成立．由此入手，能够求出实数a的取值范围．
（3），由m＞0，x∈[0，1]，知g（x）在[0，1]上递减，所以．由此进行分类讨论能够求出．
解答：解：（1）当a=1时，，因为f（x）在（﹣∞，0）上递减，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）…（2分）
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函数f（x）在（﹣∞，1）上不是有界函数． …（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立
设，t∈（0，1]，由﹣3≤f（x）≤3，得﹣3≤1+at+t2≤3
∴在（0，1]上恒成立…（6分）
设，，h（t）在（0，1]上递增；p（t）在（0，1]上递减，h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=﹣5；p（t）在（0，1]上的最小值为p（1）=1，…（9分）
所以实数a的取值范围为[﹣5，1]．…（10分）
（3），21*cnjy*com
∵m＞0，x∈[0，1]∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即…（12分）
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，． …（16分）
点评：本题考查函数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，正确理解新定义，合理地进行等价转化．
