函数单调性的性质
一、选择题（共20小题）
1、函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）上不单调，则k的取值范围（ ）
A、（﹣1，+∞） B、（﹣∞，1）
C、（﹣1，1） D、（0，2）
2、已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、21*cnjy*com
3、函数f（x）=在x∈R内单调递减，则a的范围是（ ）
A、（0，] B、[，]
C、[，1） D、[，1）
4、已知函数在区间（﹣∞，+∞）是增函数，则常数a的取值范围是
（ ）
A、a≤1或a≥2 B、1≤a≤2
C、1＜a＜2 D、a＜1或a＞2
5、已知函数满足对任意x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则a的取值范围为（ ）
A、 B、（0，1）
C、 D、（0，3）
6、已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A、f（﹣25）＜f（11）＜f（80）
B、f（80）＜f（11）＜f（﹣25）
C、f（11）＜f（80）＜f（﹣25）
D、f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
7、已知函数y=f（x）在x∈[1，2]上是单调增函数，那么函数y=f（1﹣x）在区间（ ）
A、[﹣2，﹣1]上单调递增 B、[﹣2，﹣1]上单调递减
C、[﹣1，0]上单调递增 D、[﹣1，0]上单调递减
8、已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（ ）
A、b＜﹣1或b＞2 B、b≤﹣2或b≥2
C、﹣1＜b＜2 D、﹣1≤b≤2
9、函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围（ ）
A、（0，1） B、[0，1）
C、（0，1] D、[0，1]
10、已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、（21*cnjy*com
C、（ D、）
11、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A、 B、[2，+∞）
C、（0，2] D、
12、已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（ ）
A、若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；
B、若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；
C、若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；
D、若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立
13、设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A、若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B、若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立
C、若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立
D、若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立
14、已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（ ）
A、（﹣1，1） B、（0，1）
C、（﹣1，0）∪（0，1） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
15、已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，+∞）
C、（﹣∞，0）∪（0，1） D、（﹣∞，0）∪（1，+∞）
16、已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（ ）
A、f（x1）＜f（x2） B、f（x1）=f（x2）
C、f（x1）＞f（x2） D、f（x1）与f（x2）的大小不能确定
17、定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ）21*cnjy*com
A、﹣ B、
C、﹣ D、
18、若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
?
A、（﹣1，0） B、（﹣1，0）∪（0，1]?21*cnjy*com
C、（0，1] D、（0，1）
19、函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、4
20、设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减．??
A、①③? B、①④?
C、②③? D、②④
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a取值范围是 _________ ．
22、设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：①；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是 _________ （写出所有满足要求的函数的序号）．
23、己知f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣1，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若t≥3，则集合P，Q之间的关系是 _________ ．
24、若x≥0，则函数y=x2+2x+3的值域是 _________ ．
25、若函数y=x2﹣2x+3，在（﹣∞，m）上单调递减，则m的取值范围 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（1）求证：A?B；
（2）若f（x）=ax2﹣1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）是R上的单调递增函数，x0是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由．
27、定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．
（1）证明：f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．
28、已知：f（x）=lg（ax﹣bx）（a＞1＞b＞0）．21*cnjy*com
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a﹣b与1的大小．
29、已知f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）
（1）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．
30、已知≤（）x﹣2，求函数y=2x﹣2﹣x的值域．21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）上不单调，则k的取值范围（ ）
A、（﹣1，+∞） B、（﹣∞，1）
C、（﹣1，1） D、（0，2）
考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质。
专题：数形结合。
分析：函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，画出函数y=|2x﹣1|的图象，根据图象结合单调增区间求得k的取值范围．
解答：解：∵函数y=|2x﹣1|的图象可由函数y=2x的图象变换而来，
画出函数y=|2x﹣1|，其图象如图所示，由图象知，
函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，
则：﹣2＜k﹣1＜0，
则k的取值范围是（﹣1，1）
故选C．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
2、已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质。
分析：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即f（x）在两段上都单调递减，且在x＜1时，x→1时，f（x）≥f（1）．
解答：解：x＜1时，f（x）=（3a﹣2）x+6a﹣1单调递减，故3a﹣2＜0，a＜，
且x→1时，f（x）→9a﹣3≥f（1）=a，a≥；
x＞1时，f（x）=ax单调递减，故0＜a＜1，综上所述，a的范围为21*cnjy*com
故选C
点评：本题考查分段函数的单调性，除了考虑各段的单调性，还要注意断开点处的情况．
3、函数f（x）=在x∈R内单调递减，则a的范围是（ ）
A、（0，] B、[，]
C、[，1） D、[，1）
解答：解：若函数f（x）=在x∈R内单调递减，
则
解得≤a≤
故选B
点评：本题考查的知识点是分段函数单调性的确定方法，函数单调性的性质，其中易忽略当X=1时，按照x＜1时，函数表达式计算出的函数值不小于按照x≥1时，函数表达式计算出的函数值，而错解为[，1）而错选C．
4、已知函数在区间（﹣∞，+∞）是增函数，则常数a的取值范围是
（ ）
A、a≤1或a≥2 B、1≤a≤2
C、1＜a＜2 D、a＜1或a＞2
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质。
专题：分类讨论。
分析：本题函数在区间（﹣∞，+∞）是增函数，既要在（﹣∞，0）上增，还要在（0，+∞）上增，还使在（﹣∞，0）上f（x）的最大值小于等于在（0，+∞）上f（x）的最小值即可．
解答：解：因为函数在区间（﹣∞，+∞）是增函数，
又因f（0）=0，由函数解析式知，在（0，+∞）上与在（﹣∞，0）上都是增函数，
欲保证函数在R上为增函数，当且仅当a2﹣3a+2≤0即可，
从而（a﹣1）（a﹣2）≤0?1≤a≤2．21*cnjy*com
故选B．
点评：本题考查了分段函数的单调性问题，可以借助图象进行解题，属于易错题．
5、已知函数满足对任意x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，则a的取值范围为（ ）
A、 B、（0，1）
C、 D、（0，3）
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：由（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0得到函数f（x）为减函数，列出限制条件解出x即可
解答：解：∵（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，
∴f（x）为减函数，
∴0＜a＜1且a﹣3＜0且a0＞（a﹣3）×0+4a，
∴0＜a21cnjy
故选A
点评：本题考查函数单调性，对学生思维能力有一定的要求，有一定难度
6、已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A、f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B、f（80）＜f（11）＜f（﹣25）
C、f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D、f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
考点：函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：由f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）可变形为f（x﹣8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得到f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[﹣2，2]上的单调性，即可得到结论．
解答：解：∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），
∴f（x﹣8）=f（x），
∴函数是以8为周期的周期函数，
则f（﹣25）=f（﹣1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），
又∵f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，
得f（80）=f（0）=0，f（﹣25）=f（﹣1），
而由f（x﹣4）=﹣f（x）
得f（11）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1），
又∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数
∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数
∴f（1）＞f（0）＞f（﹣1），
即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），
故选D
点评：本题主要考查抽象函数的周期性来转化区间，单调性来比较函数值的大小．
7、已知函数y=f（x）在x∈[1，2]上是单调增函数，那么函数y=f（1﹣x）在区间（ ）
A、[﹣2，﹣1]上单调递增 B、[﹣2，﹣1]上单调递减
C、[﹣1，0]上单调递增 D、[﹣1，0]上单调递减
考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：设﹣1≤x1＜x2≤0，则 2≥1﹣x1＞1﹣x2≥1，由题意可得f（1﹣x1）＞f（1﹣x2），故函数y=f（1﹣x）在区间[﹣1，0]上单调递减．
解答：解：当x∈[﹣1，0]时，可得1﹣x∈[1，2]．
设﹣1≤x1＜x2≤0，则 2≥1﹣x1＞1﹣x2≥1．
∵函数y=f（x）在x∈[1，2]上是单调增函数，∴f（1﹣x1）＞f（1﹣x2），
∴函数y=f（1﹣x）在区间[﹣1，0]上单调递减，
故选D．
点评：本题考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．
8、已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（ ）
A、b＜﹣1或b＞2 B、b≤﹣2或b≥2
C、﹣1＜b＜2 D、﹣1≤b≤2
考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质。
分析：三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．
解答：解：∵已知y=x3+bx2+（b+2）x+3
∴y′=x2+2bx+b+2，
∵f（x）是R上的单调增函数，21cnjy
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，
则b的取值是﹣1≤b≤2．
故选D．
点评：本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题．
9、函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围（ ）
A、（0，1） B、[0，1）
C、（0，1] D、[0，1]
点评：指数函数是中学阶段重要的函数模型，通过研究其图象可以得到它的一些性质，利用这些性质可以帮助我们解题．
10、已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、（
C、（ D、）
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：由已知中函数是定义域上的递减函数，根据一次函数的单调性，指数函数的单调性，及分段函数的单调性，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．
解答：解：∵函数是定义域上的递减函数，
∴21cnjy
解得：＜a≤
故选C
点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（x=7）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，而错解为＜a＜1，而错选A．
11、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A、 B、[2，+∞）
C、（0，2] D、
考点：函数单调性的性质。
分析：2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．
解答：解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B，C项，同理再验证t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项
故选A
点评：本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键．
12、已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（ ）
A、若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立； B、若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；
C、若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立； D、若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立
考点：函数单调性的性质。
分析：由题意对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立，反之不成立．
解答：解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；
对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D
点评：本题考查对命题的理解，本题体现的是一种递推关系．
13、设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A、若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B、若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立
C、若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立
D、若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立
点评：本题主要考查对函数性质的理解，正确理解题意是解决本题的关键．
14、已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（ ）
A、（﹣1，1） B、（0，1）
C、（﹣1，0）∪（0，1） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
考点：函数单调性的性质。
分析：由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．
解答：解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，
故选C
点评：本题主要考查函数单调性的应用：利用单调性解不等式，其方法是将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．
15、已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，+∞）
C、（﹣∞，0）∪（0，1） D、（﹣∞，0）∪（1，+∞）
考点：函数单调性的性质。
分析：由函数的单调性可直接得到的大小，转化为解分式不等式，直接求解或特值法均可．
解答：解：由已知得解得x＜0或x＞1，
故选D．
点评：本题考查利用函数的单调性解不等式，属基本题．
16、已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（ ）
A、f（x1）＜f（x2） B、f（x1）=f（x2）
C、f（x1）＞f（x2） D、f（x1）与f（x2）的大小不能确定
考点：函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3）为二次函数，开口向上，对称轴为x=﹣1，
比较f（x1）与f（x2）的大小即看x1和x2谁到对称轴的距离大．
解答：解：已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），二次函数的图象开口向上，对称轴为x=﹣1，0＜a＜3，
∴x1+x2=1﹣a∈（﹣2，1），x1与x2的中点在（﹣1，）之间，x1＜x2，
∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，
∴f（x1）＜f（x2），
故选A．
点评：本题考查函数单调性的应用，利用单调性比较大小，有较强的综合性．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
17、定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、
考点：函数单调性的性质；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．
解答：解：∵f（x）的最小正周期是π
∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）
∵函数f（x）是偶函数21cnjy
∴f（）=f（）=sin=．
故选D
点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．
18、若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
?
A、（﹣1，0） B、（﹣1，0）∪（0，1]?
C、（0，1] D、（0，1）
考点：函数单调性的性质。
分析：f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．
解答：解：f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；
g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．
故选C
点评：本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题．掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键．
19、函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、4
故选B
点评：可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．
20、设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ）
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减．??
A、①③? B、①④?
C、②③? D、②④
考点：函数单调性的性质。
专题：转化思想。
分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要举出反例就能说明不正确．
解答：解：①f（x）=2x是增函数，g（x）=2x+1是增函数，而f（x）﹣g（x）=﹣2x是减函数，故不正确，排除A、B，
④f（x）=﹣x是减函数，g（x）=﹣2x是减函数，而f（x）﹣g（x）=x是增函数，故不正确，排除D，
故选C．
点评：本题考查了函数的单调性的应用，两个函数的简单运算后判定单调性，属于基础题．
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a取值范围是 a≤1 ．
考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质。
专题：数形结合。21cnjy
分析：根据绝对值的定义，我们可以画出函数f（x）=|x﹣a|的图象，结合函数的图象分析出函数f（x）=|x﹣a|的单调区间，进而根据函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，得到a取值范围．
解答：解：函数f（x）=|x﹣a|的图象如下图所示：
由图可得函数的单调递增区间为[a，+∞）
若函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，
则a≤1
故答案为：a≤1
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，带绝对值的函数，其中画出函数的图象利用数形结合的方法进行解答，是解答本题的关键
22、设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：①；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是 ②④ （写出所有满足要求的函数的序号）．
考点：元素与集合关系的判断；函数单调性的性质。
专题：综合题。
分析：根据集合M的定义，可根据函数的解析式，f（x0+1）=f（x0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
解答：解：①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则
即x2+x+1=0，
∵△=1﹣4=﹣3＜0，故方程无解．即?M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2x+1=f（x）+f（1）=2x+2成立，即f（x）=2x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3
即2x2﹣2x+3=0，
∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）?M
④存在x=，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
故答案为：②④
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，及其它方程的解法，掌握判断元素与集合关系的方法，即元素是否满足集合的性质是解答本题的关键．
23、己知f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣1，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若t≥3，则集合P，Q之间的关系是 P?Q ．
考点：集合的包含关系判断及应用；函数单调性的性质。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣1，f（2）=2，则解不等式x+t＜2，t≥3，得到集合P，解不等式f（x）＜﹣1，然后判断两个集合间的关系，即可得到答案．
解答：解：∵f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣1，f（2）=2，
∴f（x+t）＜2等价于x+t＜2
即x＜2﹣t
又∵t≥3
∴x＜a≤﹣1
即P=（﹣∞，﹣1）
f（x）＜﹣1等价于x＜﹣1
故P?Q
故答案：P?Q
点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，及函数单调性的应用，解答的关键是根据函数的单调性，将集合的性质转化为相应的不等式．
24、若x≥0，则函数y=x2+2x+3的值域是 [3，+∞） ．
25、若函数y=x2﹣2x+3，在（﹣∞，m）上单调递减，则m的取值范围 （﹣∞，1] ．
考点：函数的图象与图象变化；函数单调性的性质；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：由函数f（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，我们可以判断出函数图象的形状及单调区间，再由函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，我们易构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到结论．
解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x+3的图象是开口方向朝上，
以直线x=1为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在（﹣∞，m）上单调递减，
则1≥m
即m≤1
故答案为：（﹣∞，1]．
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质，构造一个关于m的不等式，是解答本题的关键．
三、解答题（共5小题）
26、对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（I）求证：A?B；
（II）若f（x）=ax2﹣1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围；
（III）若f（x）是R上的单调递增函数，x0是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由．
考点：集合的包含关系判断及应用；集合的相等；函数单调性的性质。
专题：计算题；新定义。
分析：（I）分A=?和A≠?的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（II）理解A=B时，它表示方程ax2﹣1=x与方程a（ax2﹣1）2﹣1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．
（Ⅲ）用反证法证明x0是函数的不动点．即讨论x0＞f（x0）和x0＞f（x0）的情况，并根据单调性推出其矛盾．
解答：解：（1）若A=?，则A?B显然成立；若A≠?，
设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A?B．（3分）21世纪教育网
（Ⅱ）∵A≠?，∴ax2﹣1=x有实根，
∴．又A?B，所以a（ax2﹣1）2﹣1=x，
即a3x4﹣2a2x2﹣x+a﹣1=0的左边有因式ax2﹣x﹣1，
从而有（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1）=0．（6分）
∵A=B，
∴a2x2+ax﹣a+1=0要么没有实根，要么实根是方程ax2﹣x﹣1=0的根．若a2x2+ax﹣a+1=0没有实根，
则；若a2x2+ax﹣a+1=0有实根且实根是方程ax2﹣x﹣1=0的根，
则由方程ax2﹣x﹣1=0，得a2x2=ax+a，代入a2x2+ax﹣a+1=0，有2ax+1=0．
由此解得，再代入得，
由此，故a的取值范围是．（10分）
（Ⅲ）由题意：x0是函数的稳定点则f（f（x0））=x0，设f（x0）＞x0，f（x）是R上的单调增函数，
则f（f（x0））＞f（x0），
所以x0＞f（x0），矛盾．（12分）
若x0＞f（x0），f（x）是R上的单调增函数，则f（x0）＞f（f（x0）），
所以f（x0）＞x0，矛盾（15分）
故f（x0）=x0，
所以x0是函数的不动点．（16分）
点评：本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．
27、定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．
（1）证明：f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．
解答：解：（1）任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵，
即（2分）21世纪教育网
∵x1+（﹣x2）＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数． （5分）
（2）要使f（x）≤m2+2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2+2am+1，即1≤m2+2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，
亦即m2+2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求． （12分）
点评：本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．
28、已知：f（x）=lg（ax﹣bx）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a﹣b与1的大小．
考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的性质。
专题：综合题。
分析：（1）由对数的真数大于零得，ax﹣bx＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；
（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a﹣b与1的大小．
解答：解：（1）要使函数有意义，则ax﹣bx＞0，∴，
∵，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴，，则，
∴，∴．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a﹣b）≥0=lg1，则a﹣b≥1．
点评：本题是关于对数型复合函数的综合题，根据真数大于零求函数的定义域，判断函数的单调性即比较真数的大小，对于恒成立问题，就是由函数的单调性求出在区间上的最值．
29、已知f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）
（I）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；
（II）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．
解答：解：f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2
（I）．由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，
故，解可得a=2
（II）由f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数得a≥2，
当f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．
故函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5﹣a2，
又因为a﹣1≥（a+1）﹣a，所以函数的最大值是f（1）=6﹣2a，
由|f（x1）﹣f（x2）|≤4知（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得2≤a≤3．
点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题．涉及到绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题目．
30、已知≤（）x﹣2，求函数y=2x﹣2﹣x的值域．
考点：函数的值域；函数单调性的性质。
分析：由题意，不等式两侧都化为底数是2的指数式，利用指数函数的单调性解出x的范围，再求函数的值域即可．
解答：解：∵，
∴x2+x≤4﹣2x，即x2+3x﹣4≤0，得﹣4≤x≤1．
又∵y=2x﹣2﹣x是[﹣4，1]上的增函数，
∴2﹣4﹣24≤y≤2﹣2﹣1．
故所求函数y的值域是[﹣，]．
点评：本题考查解不等式和求函数的值域问题，属基本题．
