函数的单调性及单调区间
一、选择题（共20小题）
1、对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A、函数f（x）的最大值为1 B、方程有且仅有一个解
C、函数f（x）是周期函数 D、函数f（x）是增函数
2、已知函数若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（2，3] D、（2，+∞）21世纪教育网
3、函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A、（﹣∞，0]，（﹣∞，1] B、（﹣∞，0]，[1，+∞）
C、[0，+∞），（﹣∞，1] D、[0，+∞），[1，+∞）
4、函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递增区间为（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、
5、f（x）=loga（x+1）在区间（﹣1，0）上有f（x）＞0则f（x）的递减区间是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，∞）
C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣1，+∞）
6、在实数R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）﹣2c
则函数的单调递减区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、函数的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、[3，+∞）
C、（﹣∞，3] D、[0，+∞）
9、已知定义域为R的函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5+t）=f（5﹣t），那么下列式子一定成立的是（ ）
A、f（﹣1）＜f（9）＜f（13） B、f（13）＜f（9）＜f（﹣1）
C、f（9）＜f（﹣1）＜f（13） D、f（13）＜f（﹣1）＜f（9）
10、已知函数y=f（x）的图象与函数y=x2（x≥0）的图象关于直线y=x对称，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A、函数y=f（x）有最小值 B、函数y=f（x）过点（4，2）
C、函数y=f（x）是偶函数 D、函数y=f（x）在其定义域上是增函数
11、函数的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，2] B、[﹣1，2]
C、[2，+∞） D、[2，5]
12、函数的单调增区间是（ ）
A、（﹣∞，﹣1）
B、（﹣1，+∞）
C、（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）
D、（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）
13、函数的单调递增区间是（ ）21世纪教育网
A、（﹣3，3） B、（﹣3，+∞）
C、x2+2x+a＞0，x∈[1，+∞） D、（﹣∞，﹣3），（3，+∞）
14、函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2frac{1}{1﹣x}，则f（x）在区间（1，2）上是（ ）
A、减函数，且f（x）＜0 B、增函数，且f（x）＜0
C、减函数，且f（x）＞0 D、增函数，且f（x）＞0
15、函数y=的递增区间是（ ）
A、（﹣∞，﹣2） B、[﹣5，﹣2]
C、[﹣2，1] D、[1，+∞）
16、函数y=﹣x2的单调递增区间为（ ）
A、（﹣∞，0] B、[0，+∞）
C、（0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
17、函数的单调递增区间为（ ）
A、[]0，1] B、
C、 D、
18、函数的单调增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
19、函数的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、[1，+∞）
20、函数的递增区间为（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=log2（﹣x2+x+6）的定义域是 _________ ，单调减区间是 _________ ．
22、设函数，其中|t|＜1，将f（x）的最小值记为g（t），则函数g（t）的单调递增区间为 _________ ．
23、设y=f（x）是R上的减函数，则y=f（|x﹣3|）的单调递减区间为 _________ ．
24、设函数f（x）=，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是 _________ ．
25、设f（x）=x2（2﹣x），则f（x）的单调增区间是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f（x）=log2|x+1|．
（1）求函数y=f（x）的定义域和值域；
（2）指出函数y=f（x）的单调区间．21世纪教育网
27、给定函数f（x）=﹣|x﹣1|（x﹣5），
（1）作出f（x）的草图；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间[0，4]上的值域．
28、已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
29、已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
30、判断函数的单调区间？
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A、函数f（x）的最大值为1 B、方程有且仅有一个解
C、函数f（x）是周期函数 D、函数f（x）是增函数
考点：函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性。
专题：常规题型；探究型。21世纪教育网
分析：本题考查的是分段函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可，注意反例的应用．
解答：解：由题意可知：f（x）=x﹣[x]∈[0，1），∴函数f（x）的最大值为1，A不对；
又知函数每个一个单位重复一次，所以函数是以1为周期的函数．
所以C正确，B不正确、有增有减D不正确．
故选C．
点评：本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
2、已知函数若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（2，3] D、（2，+∞）21*cnjy*com
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间。
分析：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，
可得a的范围，而且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，求得结果．
解答：解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，
∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3
故选C
点评：本题考查函数的单调性，分段函数等知识，是基础题．
3、函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A、（﹣∞，0]，（﹣∞，1] B、（﹣∞，0]，[1，+∞）
C、[0，+∞），（﹣∞，1] D、[0，+∞），[1，+∞）
g（x）=x（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
对称轴是x=1，a=﹣1＜0
∴函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]．
故选C．
点评：考查基本初等函数的单调性，解有关绝对值的问题，去绝对值是关键，解二次函数的问题，配方法首先，属基础题．
4、函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递增区间为（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
分析：将原函数分解成两个简单函数y=lnz，z=x﹣x2，再根据复合函数同增异减的性质即可求出．
解答：解：∵f（x）的定义域为：（0，1）
令z=x﹣x2，则原函数可以写为y=lnz，
∵y=lnz为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=x﹣x2x∈（0，1）的增区间．
∴x21世纪教育网
故选D．
点评：本题主要考查复合函数求单调区间的问题．复合函数求单调性时注意同增异减的性质，切忌莫忘求函数定义域．
5、f（x）=loga（x+1）在区间（﹣1，0）上有f（x）＞0则f（x）的递减区间是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（1，∞）
C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣1，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。
分析：先由题意确定a的范围，再根据对数函数的增减性确定．
解答：解：∵x∈（﹣1，0）∴x+1∈（0，1）
∵f（x）=loga（x+1）在区间（﹣1，0）上有f（x）＞0
∴0＜a＜1
f（x）在其定义域上上单调递减．
故选D．
点评：本题主要考查求函数增减区间的问题．
6、在实数R中定义一种运算“*”，具有下列性质：21世纪教育网
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）﹣2c
则函数的单调递减区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：准确理解运算“*”的性质：①满足交换律，②a*0=a；③，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）﹣2c，故有：a*b=（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（b*0）﹣2×0；代入可得答案．
解答：解：在（3）中，令c=0，则==（x+）2﹣，
易知函数f（x）的单调递减区间为，21cnjy
故选D．
点评：此题是个中档题．本题是一个新定义运算型问题，解答的关键是对函数的单调性等有关性质的理解以及同学们类比运算解决问题的能力．
7、函数的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
分析：先将原函数化简成y=﹣sin2x，然后根据选项验证即可．
解答：解：∵，
∴找原函数的单调递增区间，就是找y=sin2x的单调递减区间；21世纪教育网
而y=sin2x在区间上是减函数，
故选B．
点评：本题主要考查三角函数单调性问题．求三角函数单调区间时，先将原函数化简为一次的三角函数，再由三角函数的基本性质进行解题．
8、函数y=|x﹣3|的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、[3，+∞）
C、（﹣∞，3] D、[0，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。21世纪教育网
专题：数形结合。
分析：由图象来求函数的单调区间，图象上升为增区间，图象下降为减区间．要画函数y=|x﹣3|的图象，先画函数y=x的图象，把y=x的图象在x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到函数y=|x|的图象，再把y=|x|的图象向右平移3个单位长度，就得到函数y=|x﹣3|．
解答：解：函数y=|x﹣3|的如右图，
从图象可判断单调减区间为（﹣∞，3]，
故选C
点评：本题考查了函数单调区间的求法，其中运用图象来求，是比较直观的方法，应当掌握函数图象的做法．
9、已知定义域为R的函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5+t）=f（5﹣t），那么下列式子一定成立的是（ ）
A、f（﹣1）＜f（9）＜f（13） B、f（13）＜f（9）＜f（﹣1）
C、f（9）＜f（﹣1）＜f（13） D、f（13）＜f（﹣1）＜f（9）21cnjy
故选C．
点评：本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．
10、已知函数y=f（x）的图象与函数y=x2（x≥0）的图象关于直线y=x对称，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A、函数y=f（x）有最小值 B、函数y=f（x）过点（4，2）
C、函数y=f（x）是偶函数 D、函数y=f（x）在其定义域上是增函数
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：关于直线y=x对称的两个函数的单调性是一致，函数y=x2（x≥0）是增函数，在[0，∞）有最小值0，且过点（2，4），又函数不关于y轴对称，可以判断出选C
解答：解：函数y=x2（x≥0）是一个单调递增函数，在[0，∞）有最小值0，
且过点（2，4），故A，B，D正确，单调递增的函数不可能是偶函数，
故C选项是不可能出现的，21cnjy
故选C．
点评：本题考查关于y=x的两个函数之间的关系，考查了单调性，最值等基本概念．
11、函数的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，2] B、[﹣1，2]
C、[2，+∞） D、[2，5]
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：根据偶次被开方数不小于0，我们可以求出函数的定义域，进而根据幂函数的单调性，二次函数的单调性，及复合函数单调性“同增异减”的原则，即可求出函数的单调递减区间．
解答：解：∵函数的定义域为[﹣1，5]
函数y=为增函数
函数u=﹣x2+4x+5在[2，5]上为减函数
故函数的单调递减区间为[2，5]
故选D
点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，幂函数的单调性，二次函数的单调性，及复合函数单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答此类问题的关键，其中本题解答时易忽略函数的定义域为[﹣1，5]，而错解为C．
12、函数的单调增区间是（ ）
A、（﹣∞，﹣1） B、（﹣1，+∞）
C、（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题；数形结合。
分析：用分离常数法将函数转化为反比例型函数，再作图求解．
解答：解：
作出图象可得其增区间是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+ω）
故选D
点评：本题主要考查把分式函数转化为反比例型函数，利用其图象解题．
13、函数的单调递增区间是（ ）
A、（﹣3，3） B、（﹣3，+∞）
C、x2+2x+a＞0，x∈[1，+∞） D、（﹣∞，﹣3），（3，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．
解答：解：21cnjy
∴令y′＞0，得：
x＜﹣3），或x＞3，
∴函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣3），（3，+∞）
故选D．
点评：考查学生掌握利用导数研究函数的单调性的能力．求单调递增区间的方法：先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，
14、函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2frac{1}{1﹣x}，则f（x）在区间（1，2）上是（ ）
A、减函数，且f（x）＜0 B、增函数，且f（x）＜0
C、减函数，且f（x）＞0 D、增函数，且f（x）＞0
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．
解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2frac{1}{1﹣x}，
又f（x）=﹣f（x），∴f（x）=log2（1+x），
∴1＜x＜2时，﹣1＜x＜﹣2＜0，
∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．
∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．
故选B．
点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．
15、函数y=的递增区间是（ ）
A、（﹣∞，﹣2） B、[﹣5，﹣2]
C、[﹣2，1] D、[1，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
16、函数y=﹣x2的单调递增区间为（ ）
A、（﹣∞，0] B、[0，+∞）
C、（0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：常规题型。21cnjy
分析：由函数y=﹣x2知其图象为开口向下的抛物线，并且其对称轴为y轴故其单调增区间为（﹣∞，0]
解答：解：∵函数y=﹣x2
∴其图象为开口向下的抛物线，并且其对称轴为y轴
∴其单调增区间为（﹣∞，0]
故选A．
点评：本题考查了函数的单调性及单调区间，注意常见函数的单调性，是个基础题．
17、函数的单调递增区间为（ ）
A、[]0，1] B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：函数的单调区间和被开方数大于0时的单调区间一致，转化为求被开方数大于0时的单调区间．
解答：解：∵函数==，被开方数的增区间是[0，]，
∴函数的单调递增区间为[0，]，
故答案选 D．
点评：本题考查函数的单调性及单调区间．
18、函数的单调增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：将原函数分解成两个简单函数y=，z=﹣x2﹣x+6，再根据复合函数同增异减的性质即可求出，注意定义域是前提．
解答：解：∵f（x）的定义域为：[﹣3，2]
令z=﹣x2﹣x+6，则原函数可以写为y=，21*cnjy*com
∵y=为增函数
∴原函数的增区间即是函数z=6﹣x﹣x2在[﹣3，2]上的增区间．
∴x∈[﹣3，﹣]
故选C．
点评：本题主要考查复合函数求单调区间的问题．复合函数求单调性时注意同增异减的性质，切忌莫忘求函数定义域，是中档题．
19、函数的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、[1，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间。21cnjy
专题：计算题。
分析：利用导数求函数的单调增区间，只需求导，令导数大于0，解的x的范围即为函数的增区间，因为本题从选项中选一个单调增区间，只要看哪个选项是函数的单调增区间的子区间即可．
解答：解：f′（x）=1﹣，令f′（x）＞0，得
x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1
∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）
故选D．
点评：本题主要考察了利用函数的导数求函数的单调区间，属于导数的应用，解题时注意总结此函数的性质，加以记忆，对今后解题会有帮助
20、函数的递增区间为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：先求出函数的定义域，然后令t=﹣x2+3x﹣2，将函数转化为y=，再根据复合函数的同增异减性可求出其递增区间．
解答：解：∵﹣x2+3x﹣2≥0∴1≤x≤2
令t=﹣x2+3x﹣2，则y=单调递增
∵t=﹣x2+3x﹣2的单调增区间是（﹣∞，）
根据复合函数 的同增异减性可确定原函数的单调增区间为：（1，）
故选D．
点评：本题主要考查复合函数的单调性、函数的定义域问题．考查对基础知识的理解和运用．
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=log2（﹣x2+x+6）的定义域是 （﹣2，3） ，单调减区间是 [，3） ．
则函数f（x）=log2（﹣x2+x+6）在区间（﹣2，]上为增函数，在区间[，3）上为减函数；
故函数f（x）=log2（﹣x2+x+6）的单调减区间是[，3）
故答案为：（﹣2，3），[，3）
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求示及函数的单调性及单调区间，要求一个函数的定义域，即构造让函数解析式有意义的不等式（组），求复合函数的单调性，则要分别讨论内、外函数的单调性，根据“同增异减”的原则，确定复合函数的单调区间．
22、设函数，其中|t|＜1，将f（x）的最小值记为g（t），则函数g（t）的单调递增区间为 ．
考点：函数的值域；函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：先利用二倍角公式对函数解析式化简整理，利用二次函数的性质和t的范围以及sin2的范围确定函数的最小值的表达式，即g（t）进而对函数进行求导，利用导函数大于0求得t的范围，即函数g（t）的递增区间．
解答：解：f（x）=cos2x+4tsin2+t3﹣3t=4sin4+（4t﹣4）sin2+t3﹣3t+1=4（sin2+）2+t3﹣t2﹣t
∵|t|≤1，sin2≤1
∴当sin2=﹣时函数有最小值为g（t）=t3﹣t2﹣t
∴g'（t）=3t2﹣2t﹣1
当g'（t）=3t2﹣2t﹣1＞0，即而|t|≤1，t＜﹣时，函数g（t）单调增．
故函数g（t）的单调递增区间为：
故答案为：
点评：本题主要考查了三角函数的最值，二次函数的性质以及利用导函数判断函数单调性的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
23、设y=f（x）是R上的减函数，则y=f（|x﹣3|）的单调递减区间为 [3，+∞） ．
考点：函数的图象与图象变化；函数的单调性及单调区间。
专题：数形结合法。
分析：取一个特殊的f（x）作出其图象，则有f（x）的图象与函数y=f（|x﹣3|）的图象关系，作出y=f（|x﹣3|）的图象求解
解答：解：如图所示：
函数y=f（|x﹣3|）的单调递减区间是[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）
点评：本题主要考查数形结合法求函数单调区间问题．
24、设函数f（x）=，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是 （0，1） ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间。
专题：计算题。
分析：因为f（x）从0处分段，故f（x﹣1）应从1处分段，写出g（x）的解析式，再判断单调区间即可．
解答：解：依题意有g（x）=x2f（x﹣1）=，
所以g（x）的递减区间是（0，1）．
故答案为：（0，1）
点评：本题考查分段函数、复合函数及函数的单调性问题，难度一般．
点评：本题主要考查根据导数值的正负判断函数增减性的问题．导数大于0原函数单调递增，导数小于0原函数单调递减．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f（x）=log2|x+1|．
（1）求函数y=f（x）的定义域和值域；
（2）指出函数y=f（x）的单调区间．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的单调性及单调区间。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）由|x+1|＞0求得函数的定义域，再根据真数|x+1|＞0和对数函数的性质求出函数的值域；
（2）分x＜﹣1和x＞﹣1两种情况，化简真数对应的函数y=|x+1|，并判断在区间上单调性，由底数是2的对数函数的单调性和“同增异减”法则，求出原函数的单调性及单调区间．
解答：解：（1）由题意知，函数f（x）=log2|x+1|，
由|x+1|＞0解得，x＜﹣1或x＞1，
则函数f（x）定义域：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
由|x+1|＞0，则函数f（x）值域：（﹣∞，+∞）．
（2）当x＜﹣1时，函数y=|x+1|=﹣x﹣1，并且在（﹣∞，﹣1）是减函数，
∵函数y=log2x在定义域上是增函数，
∴原函数y=f（x）在（﹣∞，﹣1）是减函数，
当x＞﹣1时，函数y=|x+1|=x+1，并且在（﹣1，+∞）是增函数，
∵函数y=log2x在定义域上是增函数，
∴原函数y=f（x）在（﹣1，+∞）是增函数，
综上，函数y=f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1）；单调增区间（﹣1，+∞）．
点评：本题考查了对数型复合函数的性质，利用真数大于零求出函数的定义域和值域，再根据绝对值中式子的符号进行分类求解，利用“同增异减”法则求原函数的单调区间，考查了分析问题和解决问题的能力．
27、给定函数f（x）=﹣|x﹣1|（x﹣5），
（1）作出f（x）的草图；21*cnjy*com
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在区间[0，4]上的值域．
考点：函数的图象与图象变化；函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的图象。
专题：计算题；数形结合。
分析：（1）将函数解析式化简，去掉绝对值符号，化为分段函数，再作图．
（2）由图象易写出单调区间．
（3）f（0）=5，f（1）=0，f（3）=4，观察图象得：f（x）在区间[0，4]上的值域．
解答：解：（1）当x＞1时，f（x）=﹣（x﹣1）（x﹣5）
当x＜1时，f（x）=（x﹣1）（x﹣5）
按分段函数函数画出其图象的草图如右．
（2）从图可知，图象在区间[1，3]上是上升的，得单调递增区间为[1，3]
图象在区间[﹣∞，1）和（3，+∞）上是下降的，故单调递减的区间为[﹣∞，1），（3，+∞）．
（3）f（0）=5，f（1）=0，f（3）=4，
观察图象得：f（x）在区间[0，4]上的最大值为：5，最小值为0，
∴值域为[0，5]
点评：本题考查函数的图象，单调区间，分段函数知识，数形结合的思想．若函数有多个单增（减）区间，在写时逐一写出，中间用逗号隔开．
28、已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
考点：函数的单调性及单调区间。
分析：先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
解答：解：∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8
g'（x）=﹣4x3+4x
当g'（x）＞0 时，﹣1＜x＜0或x＞1
当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1
故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞）
减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定原函数增减区间的问题．
29、已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
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解答：解：（1）a=1时，（2分）
∴f（x）的单调增区间为（），（﹣，0）f（x）的单调减区间为（﹣），（）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，
10即f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a﹣2
20即，
30即时f（x）在[1，2]上是减函数g（a）=f（2）=6a﹣3
综上可得（10分）
所以实数a的取值范围是
点评：本题考点是函数的单调性与单调区间，考查的是二次函数的单调性与二次函数在闭区间上的最值问题，二次函数的单调性的研究通常借助其图象来研究，本题中由于函数的系数带着字母，故需要对对称轴的位置进行讨论，用到了分类讨论的思想，区间定轴动是二次函数求最值问题的重要的一类，其规律是在不同的区间段上讨论函数的单调性，做题时要注意总结这一规律．
30、判断函数的单调区间？
考点：函数的单调性及单调区间。
分析：用单调性定义判断，先任取两个变量，且界定大小，作差讨论正负即可．也可以用导数法．
解答：解：设x1＜x2∈{x|x≠0，x∈R}
f（x1）﹣f（x2）=ax1
当x∈（﹣∞，﹣]，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x）是减函数．
当x∈[，+∞），f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x）是增函数．
当x∈[﹣，0），f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x）是增函数．
当x∈（0，]，f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x）是减函数．21*cnjy*com
故答案为：增区间是：[，+∞），[﹣，0）
减区间是：（﹣∞，﹣]，（0，]，
点评：本题主要考查用单调性定义来确定单调区间，关键就是在变形上面．
