函数奇偶性的性质
一、选择题（共20小题）
1、已知定义在R的奇函数f（x），在[0，+∞）上单调递减，且f（2﹣a）+f（1﹣a）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）是减函数，若f（lgx）＜f（1），则x的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（0，1）∪（10，+∞）
3、已知函数f（x+1）是偶函数，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（ x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f （﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A、b＜a＜c B、c＜b＜a
C、b＜c＜a D、a＜b＜c
4、奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣1）=0，则不等式＞0的解集为（ ）
A、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B、（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C、（﹣1，0）∪（1，+∞）
D、（﹣1，0）∪（0，1）
5、使得幂函数在x∈（0，+∞）上是增函数，且在定义域内为偶函数的整数p的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、无穷多个
6、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，a=f（3），大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a＞c＞b
C、b＞c＞a D、c＞b＞a
7、f（x）是定义域在（﹣2，2）上单调递减的奇函数，当f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0时，a的取值范围是（ ）
A、（0，4） B、
C、 D、
8、已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（ ）
A、f（0）＞f（1） B、f（0）＞f（2）
C、f（1）＞f（3） D、f（1）＞f（2）
9、设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（ ）
A、x1+x2＞0 B、x12＞x22
C、x1＞x2 D、x1＜x2
10、设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，若，△ABC的内角满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是（ ）
A、（，）
B、（，π）
C、（0，）∪（，π）
D、（，）∪（，π）
11、设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A、﹣2≤t≤2 B、t≤﹣2或t≥2
C、t≤0或t≥2 D、t≤﹣2或t≥2或t=0
12、奇函数f（x）在区间[a，b]上是减函数且有最小值m，那么f（x）在[﹣b，﹣a]上是（ ）
A、减函数且有最大值﹣m B、减函数且有最小值﹣m
C、增函数且有最大值﹣m D、增函数且有最小值﹣m
13、已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣6y+11）+f（x2﹣8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值分别为（ ）
A、13、45 B、9、45
C、13、49 D、9、49
14、若函数为奇函数，则a=（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、1
15、已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（ ）
A、2 B、
C、 D、a2
16、设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（ ）
A、﹣3 B、﹣1
C、1 D、3
17、若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（ ）
A、1 B、2
C、﹣2 D、﹣1
18、定义在R上的偶函数f（x）满足：则（ ）
A、f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
B、f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
C、f（﹣2）＜f（1）＜f（3）
D、f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
19、函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（ ）
A、3 B、0
C、﹣1 D、﹣2
20、若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（ ）
A、f（2）＜f（3）＜g（0）
B、g（0）＜f（3）＜f（2）
C、f（2）＜g（0）＜f（3）
D、g（0）＜f（2）＜f（3）
二、填空题（共5小题）21cnjy
21、偶函数f（x）=x2+ax+5的定义域是[m2﹣3，2m]，则a= _________ ，m= _________ ．
22、对于偶函数f（x）=mx2+（m+1）x+2，x∈[﹣2，2]，其值域为 _________ ．
23、设f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜﹣1时，f（x）=x+m，且f（x）的图象经过点（﹣2，0）；当﹣1≤x≤0时，f（x）的图象是顶点在（0，2），过点（﹣1，1）且开口向下的抛物线的一部分．则函数的表达式为 _________ ．
24、如果是奇函数，则f（x）= _________ ．
25、给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=﹣f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）﹣2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是 _________ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（共5小题）21cnjy
26、已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．
27、（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x﹣1，求f（x）的解析式．
（2）函数y=f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时f（x）=x2﹣2x﹣3，求函数y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，求5a﹣b的值．
28、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，又函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上是奇函数，又知y=f（x） 在区间[0，1]上的图象是线段、在区间[1，4]上的图象是一个二次函数图象的一部分，且在x=2时，函数取得最小值﹣5．求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x）在x∈[1，4]上的函数解析式；
（3）y=f（x）在x∈[4，9]上的函数解析式．
29、已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值为，求f（x）的表达式．
30、已知定义在R上的函数f（x）满足为常数
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2；其中x1＜0，0＜x2＜1；求实数m的范围．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）21*cnjy*com
1、已知定义在R的奇函数f（x），在[0，+∞）上单调递减，且f（2﹣a）+f（1﹣a）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：已知函数为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），而f（2﹣a）+f（1﹣a）＜0得到f（2﹣a）＜﹣f（1﹣a）=f（a﹣1），根据函数在[0，+∞）上单调递减可知，2﹣a＞a﹣1，求出解集即可．
解答：解：因为f（2﹣a）+f（1﹣a）＜0得f（2﹣a）＜﹣f（1﹣a），
因为函数为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），则﹣f（1﹣a）=f（a﹣1）．
所以f（2﹣a）＜f（a﹣1），
根据函数在[0，+∞）上单调递减可知2﹣a＞a﹣1，解得a＜
故选D
点评：让学生掌握奇函数成立的条件，会用函数单调性解决数学问题．
2、已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）是减函数，若f（lgx）＜f（1），则x的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（0，1）∪（10，+∞）
3、已知函数f（x+1）是偶函数，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（ x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f （﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）21*cnjy*com
A、b＜a＜c B、c＜b＜a
C、b＜c＜a D、a＜b＜c
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，将f （﹣）化成f（），利用单调性即可判定出a、b、c的大小．
解答：解：∵当x2＞x1＞1时，[f （x2）﹣f （x1）]（ x2﹣x1）＞0恒成立
∴f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1）
∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数
∵函数f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1）即函数f（x）关于x=1对称
∴a=f （﹣）=f（），
根据函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数
∴f（2）＜f（）＜f（3）即b＜a＜c
故选A
点评：本题主要考查了函数的单调性应用，以及函数的奇偶性的应用，属于基础题．
4、奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣1）=0，则不等式＞0的解集为（ ）
A、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B、（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C、（﹣1，0）∪（1，+∞） D、（﹣1，0）∪（0，1）
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：由奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可以得到函数在（﹣∞，0）上也是减函数，进一步将不定时等价转化即可解得．
解答：解：奇函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，则在（﹣∞，0）上也是减函数，所以问题等价于或，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0，
故选D．
点评：本题主要考查解不等式，考查函数的奇偶性与单调性的结合，正确理解运用结论是关键．
5、使得幂函数在x∈（0，+∞）上是增函数，且在定义域内为偶函数的整数p的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、无穷多个
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：根据幂函数的性质，由在（0，+∞）上是增函数可知，指数大于零，再由在其定义域内是偶函数求解．
解答：解：∵幂函数f（x）=在（0，+∞）上是增函数，
所以﹣p2+p+＞0，
解得﹣1＜p＜3．
p∈Z，∴P=0，1，2
当P=0时，f（x）==，在定义域（0，+∞）内不为偶函数．舍去．
当P=1时，f（x）=x2在定义域R内为偶函数．
当P=2时，f（x）==，在定义域（0，+∞）内不为偶函数．舍去．
故选A．
点评：本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，关键是抓住在第一象限内的图象和性质．
6、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，a=f（3），大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a＞c＞b
C、b＞c＞a D、c＞b＞a
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据f（x）是偶函数，在[﹣1，0]上单调递增推断出在[0，1]上是减函数．减函数，进而利用周期性使a=f（1），b=f（2﹣），c=f（2）=f（0）进而利用自变量的大小求得函数的大小，则a，b，c的大小可知．
解答：解：由条件f（x+1）=﹣f（x），可以得：
f（x+2）=f（（x+1）+1）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是个周期函数．周期为2．
又因为f（x）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数．
a=f（3）=f（1+2）=f（1），
b=f（）=f（﹣2）=f（2﹣）
c=f（2）=f（0）
0＜2﹣＜1
所以a＜b＜c
故选D
点评：本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用．考查了学生分析和推理的能力．
7、f（x）是定义域在（﹣2，2）上单调递减的奇函数，当f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0时，a的取值范围是（ ）21cnjy
A、（0，4） B、
C、 D、
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
分析：条件f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0的等价转化为f（2﹣a）＜﹣f（2a﹣3），进而化为f（2﹣a）＜f（﹣2a+3），最后2﹣a＞﹣2a+3．
解答：解：∵f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0，∴f（2﹣a）＜﹣f（2a﹣3），∵f（x）是奇函数，
∴f（2﹣a）＜f（﹣2a+3），∵f（x）是定义域在（﹣2，2）上单调递减函数，
∴
∴a∈2﹣a＞﹣2a+3
故选D
点评：条件f（2﹣a）+d（2a﹣3）＜0的等价转化是解决此题的关键．方法是想方设法脱去外衣f，最终转化为解关于a的不等式．
另外，解函数的问题不能忘记其定义域．
8、已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（ ）
A、f（0）＞f（1） B、f（0）＞f（2）
C、f（1）＞f（3） D、f（1）＞f（2）
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：数形结合。
分析：由定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，我们不难判断函数f（x）在定义域为R的单调性，并可以画出其草图，根据草图对四个答案逐一分析，即可得到结论．
解答：解：∵函数f（x）在（2，+∞）为增函数
∴函数y=f（x+2）在（0，+∞）为增函数
又∵函数y=f（x+2）为偶函数，
∴函数y=f（x+2）在（﹣∞，0）为减函数
即函数y=f（x）在（﹣∞，2）为减函数
则函数y=f（x）的图象如下图示：
由图可知：f（0）＞f（1），
f（0）＞f（2），f（1）＞f（2）均成立
只有f（1）与f（3）无法判断大小
故选C
点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．
9、设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（ ）
A、x1+x2＞0 B、x12＞x22
C、x1＞x2 D、x1＜x2
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：由题意可得：f（x）=f（|x|），结合导数可得f′（|x|）＞0，所以f（|x|）在上为增函数，又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），进而根据函数的单调性得到答案．
解答：解：由题意可得：f（x）=f（|x|），
因为当时，f′（|x|）=sinx+xcosx＞0，
所以此时f（|x|）为增函数．
又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），
故|x1|＞|x2||，
所以x12＞x22．
故选B．
点评：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．
10、设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，若，△ABC的内角满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是（ ）
A、（，） B、（，π）
C、（0，）∪（，π） D、（，）∪（，π）
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：由已知中f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，若，我们易得到函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递增，，由，△ABC的内角满足f（cosA）＜0，可以构造三角方程，进而求出A的取值范围．
解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，
则f（0）=0，
又∵函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增，，
故函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递增，，
若f（cosA）＜0，
则﹣＜cosA＜0，或0＜cosA＜
则＜A＜，或＜A＜π
故选D
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，其中根据已知，得到函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递增，，是解答本题的关键．
11、设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（ ）21cnjy
A、﹣2≤t≤2 B、t≤﹣2或t≥2
C、t≤0或t≥2 D、t≤﹣2或t≥2或t=0
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题；转化思想。
分析：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，只需要比较f（x）的最大值与t2﹣2at+1即可．由于函数在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．
解答：解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，
∴1≤t2﹣2at+1，
当t=0时显然成立
当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]
令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣1，1]
当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2
当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣1）≥0，解得t≤﹣2
综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0
故选D．
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．
12、奇函数f（x）在区间[a，b]上是减函数且有最小值m，那么f（x）在[﹣b，﹣a]上是（ ）
A、减函数且有最大值﹣m B、减函数且有最小值﹣m
C、增函数且有最大值﹣m D、增函数且有最小值﹣m
考点：函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质。
专题：探究型。
分析：根据奇函数的图象关于原点对称，由题意可得f（x）在区间[﹣b，﹣a]上单调性不变，且有最大值为﹣m，从而得到正确的选项．
解答：解：由于奇函数f（x）在区间[a，b]上是减函数且有最小值m，奇函数的图象关于原点对称，
则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上是减函数，且最大值为﹣m，
故选A．
点评：本题考查奇函数的单调性、最值和图象的对称性，关键是利用奇函数的图象关于原点对称．
13、已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣6y+11）+f（x2﹣8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值分别为（ ）
A、13、45 B、9、45
C、13、49 D、9、49
考点：函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，并且在R上是增函数．进而可得（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4（y≥3）表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面，再根据x2+y2的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得答案．
解答：解：由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
又因为f′（x）=1+cosx≥0，
所以函数f（x）=x+sinx在R上是增函数．
因为f（y2﹣6y+11）+f（x2﹣8x+10）≤0，
所以f（y2﹣6y+11）≤﹣f（x2﹣8x+10）=f（﹣x2+8x﹣10），
所以y2﹣6y+11≤﹣x2+8x﹣10，即（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，
因为y≥3，所以此不等式表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面．
根据x2+y2的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得：x2+y2的最小值与最大值分别为13、49．
故选C．
点评：本题主要考查函数的单调性与奇偶性，以及考查x2+y2的几何意义是距离的平方．
14、若函数为奇函数，则a=（ ）
A、 B、
C、 D、1
考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．
解答：解：∵f（x）为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴=
∴1+a=3（1﹣a）
解得a=
故选A
点评：本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．
15、已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（ ）21世纪教育网
A、2 B、
C、 D、a2
考点：函数奇偶性的性质。
分析：由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0），我们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（x）+g（x）=a﹣x﹣ax+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值后，即可得到f（a）的值．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数
由f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2 ①
得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣ax+2=﹣f（x）+g（x） ②
①②联立解得f（x）=ax﹣a﹣x，g（x）=2
由已知g（a）=a
∴a=2
∴f（a）=f（2）=22﹣2﹣2=
故选B
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值，是解答本题的关键．
16、设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（ ）
A、﹣3 B、﹣1
C、1 D、3
考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函娄和，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．
解答：解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3
故选A
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．
17、若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（ ）
A、1 B、2
C、﹣2 D、﹣1
点评：本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）），那么函数f（x）是奇（偶）函数．
18、定义在R上的偶函数f（x）满足：则（ ）
A、f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B、f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
C、f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D、f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项
解答：解任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．
∴f（x）在x1，x2∈（0，+∞]上单调递减，
又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，
由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大
∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选A．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．
19、函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（ ）
A、3 B、0
C、﹣1 D、﹣2
考点：函数奇偶性的性质。
分析：把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．
解答：解：∵由f（a）=2
∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，
又∵f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．
故选B
点评：本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．
20、若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（ ）
A、f（2）＜f（3）＜g（0） B、g（0）＜f（3）＜f（2）
C、f（2）＜g（0）＜f（3） D、g（0）＜f（2）＜f（3）
考点：函数奇偶性的性质。
分析：因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．
用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．
解答：解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，
又∵f（x）﹣g（x）=ex
∴解得：，，
故f（x）单调递增，又f（0）=0，g（0）=﹣1，有g（0）＜f（2）＜f（3）
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性性质的应用．另外还考查了指数函数的单调性．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
21、偶函数f（x）=x2+ax+5的定义域是[m2﹣3，2m]，则a= 0 ，m= 1 ．
22、对于偶函数f（x）=mx2+（m+1）x+2，x∈[﹣2，2]，其值域为 [﹣2，2] ．
考点：函数的值域；函数奇偶性的性质。
分析：首先根据f（x）为偶函数，即（x）=f（﹣x），求出m的值．在根据f（x）求出最大和最小值．
解答：解：∵函数f（x）为偶函数
∴f（x）=f（﹣x）
即mx2+（m+1）x+2=mx2﹣（m+1）x+2，得x=﹣1
∴f（x）=﹣x2+2
即f（x）以y轴为对称轴，在[﹣2，0]上单调增，在∈[0，2]单调减
∴f（x）min=f（2）=﹣2，f（x）max=f（0）=2
∴f（x）的值域为[﹣2，2]
故答案为[﹣2，2]
点评：本题主要考查函数的值域问题．可充分利用函数的单调性．
23、设f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜﹣1时，f（x）=x+m，且f（x）的图象经过点（﹣2，0）；当﹣1≤x≤0时，f（x）的图象是顶点在（0，2），过点（﹣1，1）且开口向下的抛物线的一部分．则函数的表达式为 ．
考点：函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质。
专题：综合题。
分析：由题意知，x≤﹣1时，用点斜式求得，x≥1时用偶函数求得，﹣1＜x＜1时，用待定系数法求得函数的解析式即可．
解答：解：经过点（﹣2，0），斜率为1的射线：y=x+2 （x≤﹣1）
抛物线过（﹣1，1）和（0，2）
令y=ax2+c
代入，得y=﹣x2+2 （﹣1＜x＜1）
又函数在R上是偶函数
所以x≥1时，射线经过（2，0）且斜率为﹣1
即y=﹣x+2 （x≥1）
所以，
故答案为：．
点评：本题主要考查分段函数及函数的图象、函数奇偶性的应用、待定系数当等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
24、如果是奇函数，则f（x）= 2x+3 ．21世纪教育网版权所有
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：根据函数的解析式，设x＜0则﹣x＞0，代入解析式，再由奇函数的关系f（x）=﹣f（﹣x）求出f（x）．
解答：解：设x＜0，则﹣x＞0，∵，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣3，
∵函数y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x+3．
故答案为：2x+3．
点评：本题考察了利用函数的奇偶性求解析式，即先设出对应范围内的自变量，再由负号转化，代入对应的解析式，利用奇（偶）函数的关系式进行求解．
25、给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=﹣f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）﹣2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是 ①②④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：（1）由题意可知，对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，当x1＞x2时，f（x1）＜f（x2），当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），可知函数随着x的递增而递减，递减而递增，因而可知函数f（x）在R上是减函数；
（2）由题意知f（x）=﹣f（2+x），因而可知f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），因而可知函数的周期为4．
（3）根据函数的平移，可知函数y=f（x+1）﹣2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，存在函数f（x）=2x使得图象可以重合．
（4）由f（﹣x）=﹣f（x）且x＞0时，f′（x）＞0，知函数f（x）关于原点中心对称且单调递增，由g（﹣x）=g（x）且x＞0时，g′（x）＞0，可知函数g（x）关于y轴对称且先单调递增后单调递减，因此可判断出x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
解答：解：（1）由题意可知，
对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，
当x1＞x2时，
f（x1）＜f（x2），
当x1＜x2时，
f（x1）＞f（x2），
可知函数随着x的递增而递减，递减而递增，
因而可知函数f（x）在R上是减函数，故此命题正确；
（2）由题意知f（x）=﹣f（2+x），
因而可知f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
因而可知函数的周期为4，故此命题正确．
（3）根据函数的平移，
可知函数y=f（x+1）﹣2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
存在函数f（x）=2x使得图象可以重合，故此命题错误．
（4）由f（﹣x）=﹣f（x）
且x＞0时，f′（x）＞0，
知函数f（x）关于原点中心对称且单调递增，
由g（﹣x）=g（x）
且x＞0时，g′（x）＞0，
可知函数g（x）关于y轴对称且先单调递增后单调递减，
因此可判断出x＜0时，f′（x）＞g′（x），故此命题正确，
故答案为：①②④．
点评：此题考查函数单调性、奇偶性和周期性的判断方法及相关计算．
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26、已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．
考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
专题：综合题。
分析：（1）由题意知，，解此不等式组得出函数g（x）的定义域．
（2）等式g（x）≤0，即 f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），有，解此不等式组，可得结果．
解答：解：（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，函数g（x）的定义域（，）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），∴，
∴＜x＜2，
不等式g（x）≤0的解集是 （，2）．
点评：本题考查函数的定义域的求法，利用函数的单调性和奇偶性解不等式．
27、（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x﹣1，求f（x）的解析式．
（2）函数y=f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时f（x）=x2﹣2x﹣3，求函数y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，求5a﹣b的值．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质。
专题：常规题型。
分析：（1）运用待定系数法，设一次函数为f（x）=ax+b，代入已知后通过比较系数列方程求出a、b即可
（2）运用对称性求解析式，先确定f（0）=0，再设x＜0，利用奇函数性质和x＞0时f（x）=x2﹣2x﹣3，求出x＜0时函数解析式，最后将函数解析式合成分段函数
（3）运用待待定系数法，将ax+b代入f（x）=x2+4x+3，化简后比较系数，列方程求出a、b即可
解答：解：（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b
∵f[f（x）]=2x﹣1，∴a2x+ab+b=2x﹣1
∴a2=2且ab+b=﹣1，解得a=，b=1﹣或a=﹣，b=1+
∴或
（2）∵y=f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（0）=0
下面求x＜0时函数解析式
设x＜0，则﹣x＞0
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3=x2+2x﹣3
∵y=f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴x＜0时函数解析式f（x）=﹣x2﹣2x+3
∴函数y=f（x）的解析式为
（3）∵f（x）=x2+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）2+4（ax+b）+3=a2x2+（2ab+4a）x+b2+4b+3=x2+10x+24
∴，解得或
∴5a﹣b=2
点评：本题考察了求函数解析式的方法，待定系数法，对称性法，配凑法等，解题时要归纳解题规律，认清形式，准确选择恰当方法解决问题．
28、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，又函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上是奇函数，又知y=f（x） 在区间[0，1]上的图象是线段、在区间[1，4]上的图象是一个二次函数图象的一部分，且在x=2时，函数取得最小值﹣5．求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x）在x∈[1，4]上的函数解析式；
（3）y=f（x）在x∈[4，9]上的函数解析式．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的周期性；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，T=5，所以f（4）=f（﹣1），而函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出f（1）+f（4）的值．
（2）当x∈[1，4]时，令f（x）=a（x﹣2）2﹣5，由f（1）+f（4）=0得a=2，由此能求出f（x）．
（3）函数y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数，y=f（x）在[0，1]上是一次函数，令y=kx．由f（1）=﹣3，可知k=﹣3，由此分类讨论能够求出f（x）．
解答：解：（1）函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，T=5，所以f（4）=f（﹣1），…（2分）
而函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），…（3分）
所以f（1）+f（4）=0；…（4分）
（2）当x∈[1，4]时，令f（x）=a（x﹣2）2﹣5，…（5分）
由f（1）+f（4）=0得a=2，…（7分）
所以f（x）=2x2﹣8x+3（1≤x≤4），…（8分）
（3）函数y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，
令y=kx，（k≠0，﹣1≤x≤1），…（9分）
由（2）得：f（1）=﹣3，可知k=﹣3，…（10分）
由0≤x≤1时，y=﹣3x，可推知y=﹣3x，﹣1≤x≤1，…（11分）
当4≤x≤6时，﹣1≤x﹣5≤1，所以f（x）=f（x﹣5）=﹣3x+15；…（13分）
当6＜x≤9时，1＜x﹣5≤4，所以f（x）=f（x﹣5）=2（x﹣7）2﹣5．…（15分）
所以f（x）=．…（16分）
点评：本题考查函数值和函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
29、已知g（x）=x2+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值为，求f（x）的表达式．
30、已知定义在R上的函数f（x）满足为常数
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；
（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2；其中x1＜0，0＜x2＜1；求实数m的范围．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数与方程的综合运用。
专题：综合题。
分析：（1）利用换元法令t=则x=代入可求f（t），以“x“代换“x“可求．
（2）由f（x）为偶函数利用定义f（﹣x）=f（x）代入整理可求．
（3）由（2）可得f（x）为偶函数可得a=1，代入可得f（x）=2x+2﹣x，结合函数f（n）=n+，n＞0的图象，可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，其中x1＜0，0＜x2＜1?f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2，结合函数的图象可得
解答：解：（1）∵为常数
令t=则x=
∴f（t）==2﹣t+a?2t
从而有f（x）=2﹣x+a?2x；
（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）
∴2x+a?2﹣x=2﹣x+a?2x
整理可得，（a﹣1）?2x=（a﹣1）?2﹣x
∴a=1
（3）由（2）可得f（x）为偶函数，a=1，f（x）=2x+2﹣x
令n=2x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的图象如图，
结合图象可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，
其中x1＜0，0＜x2＜1?f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2
而函数f（n）=n+在（0，1）上单调递减，在（1，2）单调递增
结合图象可得，函数有两个交点
点评：（1）考查了换元法求函数的解析式，而利用换元法求解时要注意新元的范围，即所求函数的定义域
（2）考查了偶函数的定义的应用
（3）考查了函数与方程相互转化的思想，考查了函数y=x+的性质的应用，体现了数形结合思想的应用．
