奇偶函数图像的对称性
一、选择题（共20小题）
1、对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：则关于函数f（x）=sinx*cosx正确的命题是（ ）
A、函数f（x）值域为[﹣1，1]
B、当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1
C、函数f（x）的对称轴为x=（k∈Z）
D、当且仅当2kπ＜x＜2kπ+（k∈Z）时，函数f（x）＜0
2、设函数y=f（x）与函数g（x）的图象关于x=3对称，则g（x）的表达式为（ ）
A、 B、g（x）=f（3﹣x）
C、g（x）=f（﹣3﹣x） D、g（x）=f（6﹣x）
3、函数图象上关于原点对称点共有（ ）
A、0对 B、1对
C、2对 D、3对
4、数学老师给出一个函数f（x），甲是、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质
甲；在（﹣∞，0]上函数单调递减； 乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称； 丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为谁说的是错误的（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
5、已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜c＜a
6、已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（ ）
A、（3，7） B、（9，25）
C、（13，49） D、（9，49）
7、若函数y=f （x） （f （x）不恒为零）的图象与函数y=﹣f （x）的图象关于原点对称，则函数y=f （x）（ ）
A、是奇函数而不是偶函数 B、是偶函数而不是奇函数
C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数设函数
8、已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值
A、①② B、①③
C、②④ D、②③
9、将奇函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象C'与C关于原点对称，则C'对应的函数为（ ）
A、y=﹣f（x﹣2） B、y=f（x﹣2）
C、y=﹣f（x+2） D、y=f（x+2）
10、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2﹣x）成立，则f（2010）的值为（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、2
11、函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且具有以下性质：①f（﹣x）﹣f（x）=0；②f（x+2）?f（x）=1；③y=f（x）在[0，2]上为单调增函数，则对于下述命题：
（1）y=f（x）的图象关于原点对称
（2）y=f（x）为周期函数且最小正周期是4
（3）y=f（x）在区间[2，4]上是减函数
正确命题的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
12、王老师给出一道题：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=﹣f（x），且在区间[﹣1，0]上是增函数，学生甲、乙、丙、丁各给出关于函数的一条性质：
甲：f（x+2）=f（x） 乙：f（x）在区间[1，2]上是减函数
丙：f（x）的图象关于直线x=1对称 丁：f（x）在R上有最大（小）值
王老师看后说：“其中恰有三条正确，一条不正确”，请问是谁给出了错误的性质？（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
13、若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有，则f（x）的解析式可以是（ ）
A、f（x）=cos2x B、
C、f（x）=cos6x D、
14、函数的图象（ ）
A、关于原点对称 B、关于直线y=x对称
C、关于x轴对称 D、关于y轴对称
15、定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（ ）
A、y=x2+1 B、y=|x|+1
C、y= D、y=
16、】设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在（0，3）内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（ ）
A、f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5） B、f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）
C、f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5） D、f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）
17、与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A、 B、
C、 D、
18、函数f（x）=的图象关于（ ）对称．
A、x轴 B、y轴
C、原点 D、y=x
19、函数图象的对称中心为（ ）
A、（0，0） B、（0，1）
C、（1，0） D、（1，1）
20、已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、0
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=x2+ax+5对x∈R恒有f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x），若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是 _________ ．
22、定义g（x）表示如下函数：若，则g（x）=m．给出下列关于函数f（x）=|x﹣g（x）|的四个命题：
（1）函数y=f（x）的定义域是R，值域是；
（2）函数y=f（x）是R上的奇函数；
（3）函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
（4）函数y=f（x）的图象关于直线对称．
其中正确命题的序号是 _________ ．（把你认为正确的命题序号都填上）
23、已知函数y=f（x）的图象与曲线C关于y轴对称，把曲线C向左平移1个单位后，得到函数y=log2（﹣x﹣a）的图象，且f（3）=1，则实数a= _________ ．
24、已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：
①函数图象的对称轴是x=1；
②在（﹣∞，0）上是减函数；
③有最小值是﹣3；
请写出上述三个条件都满足的一个函数 _________ ．
25、若函数f（x）=x2+mx+1的图象关于y轴对称，则f（x）的递增区间是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，
（1）请补全函数f（x）的图象
（2）求函数f（x）的表达式，
（3）写出函数f（x）的单调区间．
27、已知二次函数f（x）=﹣x2+4x+3
（1）指出其图象对称轴，顶点坐标；
（2）说明其图象由y=﹣x2的图象经过怎样的平移得来；
（3）若x∈[1，4]，求函数f（x）的最大值和最小值．
28、给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数．
（1）求的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若﹣206＜x≤207，试求方程的所有解的和．
29、已知定义在R上的函数f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．
30、对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m﹣x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函数f（x）=x3+3x2图象的一个对称点；
（2）函数f（x）=ax3+（b﹣2）x2（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[﹣1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥﹣x2+4x﹣2恒成立？
（3）试写出函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f（x）=ax3+bx2（a，b∈R）图象的对称性．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：则关于函数f（x）=sinx*cosx正确的命题是（ ）
A、函数f（x）值域为[﹣1，1] B、当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1
C、函数f（x）的对称轴为x=（k∈Z） D、当且仅当2kπ＜x＜2kπ+（k∈Z）时，函数f（x）＜0
考点：函数的值域；函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：借“数”解“形”，将几何问题数量化． 通过图象可以直观的看出何时取到最值，对称轴等性质．
解答：解：由图可知选项A错，值域应为
选项B错函数f（x）取得最大值1时，x=2kπ（k∈Z）与x=（k∈Z）
选项C正确，选项D错，应当当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，函数f（x）＜0，故选C
点评：本题考查了函数的图及其性质，分段函数，以及培养学生画图的能力
2、设函数y=f（x）与函数g（x）的图象关于x=3对称，则g（x）的表达式为（ ）
A、 B、g（x）=f（3﹣x）
C、g（x）=f（﹣3﹣x） D、g（x）=f（6﹣x）
3、函数图象上关于原点对称点共有（ ）
A、0对 B、1对
C、2对 D、3对
考点：函数图象的作法；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：作出函数y=f（x）的图象，并且作出y=f（x）图象位于y轴左侧部分（正弦曲线）关于原点对称的曲线C，观察函数
y=f（x）图象位于y轴右侧（对数函数曲线）与曲线C的交点的个数，可以得出满足条件的对称点的对数．
解答：解：作出函数y=f（x）图象如下：
再作出y=sinx位于y轴右侧的图象，恰好与函数图象位于y轴左侧部分（正弦曲线）关于原点对称，
记为曲线C（粗线），发现y=lnx与曲线C有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．
故选B
点评：本题考查了基本初等函数：正弦函数和对数函数图象的作法，属于中档题．利用函数奇偶性，作出图象一侧关于原点对称图象，再找交点是解决本题的关键．
4、数学老师给出一个函数f（x），甲是、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质
甲；在（﹣∞，0]上函数单调递减； 乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称； 丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为谁说的是错误的（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
5、已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜c＜a
考点：函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：由题意得对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．由当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．
解答：解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，
所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．
因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．
因为﹣1＜0＜，
所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），
所以c＜a＜b．
故选B．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容．
6、已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（ ）
A、（3，7） B、（9，25）
C、（13，49） D、（9，49）
考点：函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性。
专题：综合题；转化思想。
分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求
解答：解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立
∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立
∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2
∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方
结合圆的知识可知13＜x2+y2＜49
故选 C
点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．
7、若函数y=f （x） （f （x）不恒为零）的图象与函数y=﹣f （x）的图象关于原点对称，则函数y=f （x）（ ）
A、是奇函数而不是偶函数 B、是偶函数而不是奇函数
C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数设函数
考点：函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：函数y=f （x） 关于原点对称的函数表达式为﹣y=f（﹣x），即y=﹣f （﹣x），与题意结合可得f（﹣x）=f（x）．
解答：解：∵y=f （x） 关于原点对称的函数表达式为﹣y=f（﹣x），即y=﹣f （﹣x），
又函数y=f （x） （f （x）不恒为零）的图象与函数y=﹣f （x）的图象关于原点对称，
∴﹣f （﹣x）=﹣f （x），
∴f （﹣x）=f （x），即函数y=f （x） 为偶函数．
故选B．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，关键在于分析出函数y=f （x） 关于原点对称的函数表达式为y=﹣f （﹣x），再与已知条件挂钩，属于中档题．
8、已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值
A、①② B、①③
C、②④ D、②③
考点：函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：本题函数的性质，先对已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确．
解答：证明：由已知可得：
f（﹣x）=﹣f（x） …（1）
f（﹣x﹣）=﹣f（x+）…（2）
f（﹣x+）=f（x+）…（3）
由（3）知 函数f（x）有对称轴x=
由（2）（3）得 f（﹣x﹣）=﹣f（﹣x+）；
令z=﹣x+则﹣x﹣=z﹣π，
∴f（z﹣π）=﹣f（z），
故有f（z﹣π﹣π）=﹣f（z﹣π），
两者联立得 f（z﹣2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（﹣z）=﹣f（z），代入上式得：f（z﹣2π）=﹣f（﹣z）；
由此式可知：函数f（x）有对称中心（﹣π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B．
点评：本题考查的性质以及灵活运用恒等式进行变形寻求答案的能力．
9、将奇函数y=f（x）的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象C'与C关于原点对称，则C'对应的函数为
（ ）
A、y=﹣f（x﹣2） B、y=f（x﹣2）
C、y=﹣f（x+2） D、y=f（x+2）
考点：函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：根据平移变换得到C对应的解析式为y=f（x﹣2），又根据图象C'与C关于原点对称，得到C'对应的解析式为y=﹣f（﹣x﹣2），再根据函数f（x）的奇偶性得到答案．
解答：解：将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C，则C对应的解析式为y=f（x﹣2），
又因为图象C'与C关于原点对称，
所以C'对应的解析式为y=﹣f（﹣x﹣2），
因为函数f（x）是奇函数，
所以y=﹣f（﹣x﹣2）=f（x+2）．
故选D．
点评：本题主要考查函数图象的平移变换，以及函数图象的对称性，而解决此类问题的关键是熟练掌握以下的口诀：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”；对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”．
10、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x）=f（2﹣x）成立，则f（2010）的值为（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、2
考点：函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：函数f（x）是定义在R上，且对任意x∈R有f（x）=f（2﹣x）成立，所以函数的图象关于直线x=1对称，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数以T=4为周期，从而得f（2010）=f（2），便于得到答案．
解答：解：由已知，f（0）=0，从而f（2）=0．
又f（x+2）=f{2﹣（x+2）]=f（﹣x）=﹣f（x），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数，
于是f（2010）=f（2）=0，
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性，周期性，以及它们的综合应用，求的值很容易联想利用函数的周期性来解答．关键是得出最小正周期．
11、函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且具有以下性质：①f（﹣x）﹣f（x）=0；②f（x+2）?f（x）=1；③y=f（x）在[0，2]上为单调增函数，则对于下述命题：
（1）y=f（x）的图象关于原点对称
（2）y=f（x）为周期函数且最小正周期是4
（3）y=f（x）在区间[2，4]上是减函数
正确命题的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性。
分析：由①得f（x）为偶函数，即函数图象关于y轴对称故（1）错；由②求出函数的最小正周期为4，故（2）对；再结合③判断出（3）对．
解答：解：由题意知f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，即函数图象关于y轴对称．
由②得：f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），则f（x）为周期函数且T=4．
∵y=f（x）在[0，2]递增，∴f（x）在[﹣2，0]递减，
∵f（x）为周期函数且T=4，∴f（x）在[2，4]递减，
由此可知（2）（3）正确，（1）不正确．
故选C．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和周期性的综合运用，考查了学生对函数性质的运用能力和对式子的变形能力．
12、王老师给出一道题：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=﹣f（x），且在区间[﹣1，0]上是增函数，学生甲、乙、丙、丁各给出关于函数的一条性质：
甲：f（x+2）=f（x） 乙：f（x）在区间[1，2]上是减函数
丙：f（x）的图象关于直线x=1对称 丁：f（x）在R上有最大（小）值
王老师看后说：“其中恰有三条正确，一条不正确”，请问是谁给出了错误的性质？（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
考点：函数奇偶性的性质；函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性。
专题：综合题；探究型。
分析：由f（x+1）=﹣f（x）可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），可得函数周期；根据偶函数f（x）在对称区间上的单调性相反，且在区间[﹣1，0]上是增函数可得函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增可判断乙，结合函数的周期判断丁正；由f（x+2）=f（x）=f（﹣x）可得f（2﹣x）=f（x）从而可判断丙．
解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x）∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），可得函数的周期为2，故甲正确
由函数为定义在R上的偶函数f（x）可得函数的图象关于y轴对称，且在区间[﹣1，0]上是增函数
∴函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，故乙错误，结合函数的周期可知丁正确
∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x）
∴f（2﹣x）=f（x）即函数的图象关于x=1对称．故丙正确
故选B
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数的周期等性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常见的函数的性质的结论．
13、若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有，则f（x）的解析式可以是（ ）
A、f（x）=cos2x B、
C、f（x）=cos6x D、
考点：函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性。
专题：应用题。
分析：考查各个选项中的函数是否是偶函数，且图象关于x=对称，同时满足这两个条件的函数即为所求．
解答：解：由题意可得函数f（x）是偶函数且图象关于x=对称．
由于f（x）=cos2x的图象的对称轴为2x=kπ，k∈z，即 x=，k∈z，故不满足条件．
由于f（x）==﹣sin2x，不是偶函数，故不满足条件．
由于f（x）=xos6x的对称轴为 6x=kπ，k∈z，即 x=，k∈z，故不满足条件．
由于f（x）=sin（4x+）=﹣cos4x，是偶函数，且对称轴为4x=kπ，k∈z，即 x=，k∈z，故满足条件．
故选D．
点评：本题考查三角函数的奇偶性和对称性，以及诱导公式的应用，属于基础题．
14、函数的图象（ ）
A、关于原点对称 B、关于直线y=x对称
C、关于x轴对称 D、关于y轴对称
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，
解答：解：，
∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称
故选D．
点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．
15、定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（ ）
A、y=x2+1 B、y=|x|+1
C、y= D、y=
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：常规题型。
分析：首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（﹣2，0）为减函数．然后分别对选项中4个函数分析单调性．最后判断答案即可．
解答：解：利用偶函数的对称性
知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．
又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；
y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；
y=在（﹣2，0）上为增函数．
∴y=在（﹣2，0）上为减函数．
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题．
16、设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在（0，3）内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（ ）
A、f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5） B、f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）
C、f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5） D、f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）
考点：奇偶函数图象的对称性；函数单调性的性质；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：由函数f（x）的周期为6，从而有f（x+6）=f（x），所以有f（6.5）=f（0.5），f（3.5）=f（2.5），又因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小
解答：解：f（x）在R上以6为周期，对称轴为x=3，且在（0，3）内单调递减，f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）
∵0.5＜1.5＜2.5
∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）
故选 B
点评：本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．
17、与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x即可得到新曲线的函数解析式．
解答：解：∵曲线关于原点对称的曲线，
∴只要将原函数式中的x换成﹣x即可得到新曲线的函数解析式，
即．
故选A．
点评：本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷．
18、函数f（x）=的图象关于（ ）对称．
A、x轴 B、y轴
C、原点 D、y=x
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：先判断f（x）是奇函数，由奇函数的性质可得，函数y=f（x）的图象有对称点（0，0），再根据函数图象变化的规律，分析可得答案．
解答：解：根据题意，
f（x）=，
f（﹣x）=
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴函数y=f（x）是奇函数，
则函数y=f（x）的图象有对称中心（0，0），
故选C．
点评：本题考查函数奇偶性的运用，解题时注意式子的变形和图象的变化规律．
19、函数图象的对称中心为（ ）
A、（0，0） B、（0，1）
C、（1，0） D、（1，1）
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：把原函数解析式变形得到y﹣1=，设y′=y﹣1，x′=x得到y′=为反比例函数且为奇函数，求出对称中心即可．
解答：解：因为═1+即y﹣1=，可设y′=y﹣1，x′=x得到y′=，
所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）
即y′=0，x′=0得到y=1，x=0
所以函数y的对称中心为（0，1）
故选B．
点评：考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力．考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．
20、已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、0
考点：奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：由已知中函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，我们可以判断f（﹣A），f（A），进而求出F（x）的最大值与最小值，进而求出答案．
解答：解：∵函数数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，
则函数的最大值和最小值，分别为f（﹣A），f（A），
又∵F（x）=f （x）+1，
∴F（x）最大值与最小值分别为f（﹣A）+1，f（A）+1，
∴F（x）最大值与最小值之和为2
故选B
点评：本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据奇函数的性质，判断出函数f （x）在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的最大值与最小值互为相反数是解答本题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、函数f（x）=x2+ax+5对x∈R恒有f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x），若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是 [﹣4，﹣2] ．
考点：函数的值域；奇偶函数图象的对称性；函数与方程的综合运用。
专题：计算题。
分析：根据f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x）得a的值为4，则f（x）=x2+4x+5=（x+2）2+1的最小值为1，与y轴交点为（0，5），因为若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，所以根据二次函数的图象可知m的取值．
解答：解：根据f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x）得此二次函数的对称轴为直线x=﹣2，得到a=4．
所以f（x）=x2+4x+5=（x+2）2+1是以x=﹣2为对称轴的抛物线；其最小值为1．
又因为若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，
所以m≤﹣2时，函数才能取到顶点；
同时因为令y=5时，x=﹣4或0，所以m≥﹣4
则﹣4≤m≤﹣2
故答案为[﹣4，﹣2]
点评：考查学生利用函数值域求函数自变量范围的能力，以及函数与方程的综合运用能力．
22、定义g（x）表示如下函数：若，则g（x）=m．给出下列关于函数f（x）=|x﹣g（x）|的四个命题：
（1）函数y=f（x）的定义域是R，值域是；
（2）函数y=f（x）是R上的奇函数；
（3）函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
（4）函数y=f（x）的图象关于直线对称．
其中正确命题的序号是 （1）（3）（4） ．（把你认为正确的命题序号都填上）
考点：函数的值域；函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性。
专题：探究型。
分析：由已知若，则g（x）=m，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数，画出函数的图象进行研究即可得到正确结论．
解答：解：由题意x﹣g（x）=x﹣m，f（x）=|x﹣g（x）|=|x﹣m|，
m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，
m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，
m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，
由图象可知：
（1）y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]，正确；
（2）函数y=f（x）是R上的偶函数，故不正确；
（3）y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，正确；
（4）y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称，正确；
故答案为：（1）（3）（4）
点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及周期性、对称性、奇偶性等性质，也是一个新定义问题，可结合图象进行研究，体现数形结合思想，属于中档题．
23、已知函数y=f（x）的图象与曲线C关于y轴对称，把曲线C向左平移1个单位后，得到函数y=log2（﹣x﹣a）的图象，且f（3）=1，则实数a= 2 ．
考点：函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：由已知中已知函数y=f（x）的图象与曲线C关于y轴对称，把曲线C向左平移1个单位后，得到函数y=log2（﹣x﹣a）的图象，我们可以利用函数图象平移变换、平移变换的法则，我们易求出函数y=f（x）的解析式（含参数a），根据f（3）=1，我们可构造一个关于a的方程，解方程即可得到答案．
解答：解：∵曲线C向左平移1个单位后，得到函数y=log2（﹣x﹣a）的图象，
∴曲线C的方程为y=log2[﹣（x﹣1）﹣a]=log2（﹣x﹣a+1）
又∵函数y=f（x）的图象与曲线C关于y轴对称，
∴y=f（x）=log2（x﹣a+1）
则f（3）=log2（3﹣a+1）=1
则3﹣a+1=2
即a=2
故答案为：2
点评：本题考查的知识点是函数图象与图象变化，奇偶函数图象的对称性，其中熟练掌握函数图象的平移变换法则和对称变换法则，是解答本题的关键．
24、已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：
①函数图象的对称轴是x=1；
②在（﹣∞，0）上是减函数；
③有最小值是﹣3；
请写出上述三个条件都满足的一个函数 y=（x﹣1）2﹣3 ．
考点：函数的表示方法；函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性。
专题：待定系数法。
分析：根据f（x）的三个性质可设该函数为二次函数，利用待定系数法根据满足题目条件求出一个函数即可．
解答：解：根据题目的条件可知二次函数满足三个性质
∵在（﹣∞，0）上是减函数
∴二次函数的图象开口向上
又对称轴为x=1
故设二次函数的解析式为y=（x﹣1）2+m
又∵有最小值是﹣3
∴m=﹣3，故答案为y=（x﹣1）2﹣3
点评：本题主要考查了函数的单调性及单调区间，以及奇偶函数图象的对称性和函数的最值及其几何意义，属于开放题，是基础题．
25、若函数f（x）=x2+mx+1的图象关于y轴对称，则f（x）的递增区间是 [0，+∞） ．
考点：函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：根据已知中函数的解析式，我们易得到函数图象的形状，结合已知中函数图象的对称轴，易得到函数的f（x）的递增区间．
解答：解：由于函数f（x）=x2+mx+1的图象是开口方向的抛物线
故函数f（x）=x2+mx+1的图象在对称轴左侧是下降的，在对称轴右侧是上升的
又∵函数f（x）=x2+mx+1的图象关于y轴对称
∴f（x）的递增区间是[0，+∞）
故答案为：[0，+∞）
点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，奇偶函数图象的对称性，其中熟练掌握二次函数的图象及性质是解答本题的关键．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，
（1）请补全函数f（x）的图象
（2）求函数f（x）的表达式，
（3）写出函数f（x）的单调区间．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性。
专题：数形结合。
分析：（1）根据奇函数图象的特点，奇函数图象关于原点对称，补全函数f（x）的图象；
（2）当x大于0时，根据图象找出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，又根据抛物线过原点，把原点坐标代入即可确定出抛物线的解析式；当x小于0时，﹣x大于0，代入所求的抛物线解析式中，化简可得x小于0时的解析式，综上，得到f（x）的分段函数解析式；
（3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出f（x）的递增区间及递减区间．
解答：解：（1）根据奇函数图象的特点，画出图形，如图所示：
（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣1）2﹣2，又f（0）=0，得a=2，即f（x）=2（x﹣1）2﹣2；
当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x﹣1）2﹣2]=﹣2（x+1）2+2，
所以f（x）=；（10分）
（3）根据函数图象可知：
函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，﹣1]或[1，+∞）；
函数f（x）的单调递减区间是：[﹣1，1]．（12分）
点评：此题考查了奇偶函数的对称性，函数的单调性及单调区间，以及二次函数的图象与性质．要求学生掌握奇偶函数的性质及二次函数的性质，掌握二次函数解析式的确定方法，运用数形结合的思想解决数学问题．
27、已知二次函数f（x）=﹣x2+4x+3
（1）指出其图象对称轴，顶点坐标；
（2）说明其图象由y=﹣x2的图象经过怎样的平移得来；
（3）若x∈[1，4]，求函数f（x）的最大值和最小值．
考点：函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）先配方，再根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；
（2）根据配方后二次函数的形式得出：f（x）=﹣x2+4x+3图象可由y=﹣x2向右平移两个单位再向上平移7个单位可得；（3）结合二次函数的图象与性质可知，函数f（x）的最大值和最小值在其区间端点处或对称轴处取得，从而写出函数f（x）的最大值和最小值即可．
解答：解：f（x）=﹣x2+4x+3=﹣（x﹣2）2+7（2分）
（1）对称轴x=2，顶点坐标（2，7）（4分）
（2）f（x）=﹣x2+4x+3图象可由y=﹣x2向右平移两个单位再向上平移7个单位可得．（6分）
（3）f（1）=6，f（4）=3，f（2）=7，可知在x∈[1，4]，函数f（x）的最大值为7，最小值为3（12分）
点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，奇偶函数图象的对称性，会求函数的最值及其几何意义．属于基础题．
28、给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数．
（1）求的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若﹣206＜x≤207，试求方程的所有解的和．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性。
专题：综合题。
分析：（1）把x=4，x=﹣，x=﹣8.3分别代入f（x）=|x﹣{x}|可求
（2）正确结论有：①②④
①：当x∈（m﹣），m∈Z 时，﹣x∈（﹣m﹣），可得{x}=m，{﹣x}=﹣m，，从而f（﹣x）=|﹣x﹣{﹣x}|=|﹣x+m|=|x﹣m|=|x﹣{x}|=f（x）；当x=m+，m∈Z 时，f（x）=f（﹣x）=
②：对任意x∈（m﹣]，x+1∈（m+1﹣]，可得{x+1}=m+1，从而f（x+1）=|x+1﹣{x+1}|=|x+1﹣m﹣1|=|x﹣m|=|x﹣{x}|=f（x），
④：函数y=f（x） 是偶函数，即f（﹣x）=f（x），又函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数可得f（x+1）=f（x），则f（x+1）=f（﹣x）可得f（+x）=f（﹣x）?f（k++x）=f（k+﹣x）
（3）由函数y=f（x）是偶函数，当206≤x≤207时，由判断④知当x对称，可求和
解答：解：（1）f（4）=0，f（﹣）=，f（﹣8.3）=0.3．…6分
（2）正确结论有：①②④．…9分证
①：当x∈（m﹣），m∈Z 时，﹣x∈（﹣m﹣），∴{x}=m，{﹣x}=﹣m，
∴f（﹣x）=|﹣x﹣{﹣x}|=|﹣x+m|=|x﹣m|=|x﹣{x}|=f（x）；当x=m+，m∈Z 时，f（x）=f（﹣x）=，
故函数y=f（x） 是偶函数．…14分证
②：对任意x∈（m﹣]，x+1∈（m+1﹣]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1﹣{x+1}|=|x+1﹣m﹣1|=|x﹣m|=|x﹣{x}|=f（x），
故函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数．…14分证④：∵函数y=f（x） 是偶函数，即f（﹣x）=f（x），又函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（﹣x）?f（+x）=f（﹣x）?f（k++x）=f（k+﹣x），故函数y=f（x） 的图象关于直线x=k+对称．…14分
（3）∵函数y=f（x）是偶函数，即求当206≤x≤207时，由判断④知当x对称，故其和为413．…20分
点评：本题主要考查了函数的性质：函数的奇偶性、函数的对称性、函数的周期性的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能灵活应用．
29、已知定义在R上的函数f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．21世纪教育网版权所有
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．
考点：函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题。
分析：（1）根据f（x）=x2|x﹣a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）可假设存在一点M（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）；
分当t0=a时，取x=a，有f（2a）=﹣f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；
当t0≠a时，取x=a﹣t0，f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0，可解得，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．
解答：解：（1）a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）不存在．
假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，
则对x∈R应恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．
当t0=a时，取x=a，
则f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t0≠a时，
取x=a﹣t0，
则f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴．而时，取x=0，
则即．∴这也与已知矛盾．
综上，不存在这样的点M．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，难点在于对假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，得到f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）后，对t0分t0=a与t0≠a时的讨论分析，考查学生的分析与转化能力，属于难题．
30、对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m﹣x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函数f（x）=x3+3x2图象的一个对称点；
（2）函数f（x）=ax3+（b﹣2）x2（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[﹣1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥﹣x2+4x﹣2恒成立？
（3）试写出函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f（x）=ax3+bx2（a，b∈R）图象的对称性．
②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥﹣x2+4x﹣2x∈[﹣1，1]时恒成立．
依题，此时f（x）=ax3令g（x）=﹣x2+4x﹣2x∈[﹣1，1]∴g（x）∈[﹣7，1]若a=0，f（x）=0，不合题；
若a＞0，f（x）=ax3此时为单调增函数，f（x）min=﹣a．
若存在a合题，则﹣a≥1，与a＞0矛盾．
若a＜0，f（x）=ax3此时为单调减函数，
f（x）min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．
综上可知，符合条件的a不存在．
（3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m﹣x）
①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；
②a=0，b≠0时，f（x）=bx2（x∈R），其图象关于y轴对称图形；
③a≠0，b=0时，f（x）=ax3，其图象关于原点中心对称；
④a≠0，b≠0时，f（x）=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形．
设A（m，n）为函数f（x）=ax3+bx2图象的一个对称点，则f（m﹣x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m﹣x）3+b（m﹣x）2+a（m+x）3+b（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x2+（am3+bm2﹣n）=0
由，由解得
故函数f（x）图象的一个对称点为（﹣，）．
点评：考查学生应用函数奇偶性的能力，奇偶函数图象的对称性研究能力，理解函数恒成立问题的能力．
