奇偶性与单调性的综合
一、选择题（共20小题）
1、已知定义在（﹣1，1）上的奇函数，并且在（﹣1，1）上f（x）是增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、（1，1） B、
C、（0，1） D、
2、若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且最小值是1，则f（x）在[﹣b，﹣a]上是（ ）
A、增函数且最小值是﹣1 B、增函数且最大值是﹣1
C、减函数且最小值是﹣1 D、减函数且最大值是﹣1
3、已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）cosy，且．给出下列结论：；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减．其中正确的结论序号是（ ）
A、②③ B、②④
C、①③ D、①④
4、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（ ）
A、（，） B、[，）
C、（，） D、[，）
5、定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（ ）
A、f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）
B、f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）
C、f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）
D、f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
6、下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A、f（x）=sinx
B、f（x）=﹣|x+1|
C、
D、
7、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（ ）
A、f（sin）＜f（cos） B、f（sin）＞f（cos）
C、f（sin1）＜f（cos1） D、f（sin）＞f（cos）
8、已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=x﹣sinx，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B、
C、 D、（0，2）
9、已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，则f（1）的值（ ）
A、恒为正数 B、恒为负数
C、恒为0 D、可正可负
10、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是（ ）
A、（4，6） B、（16，36）
C、（0，16） D、（16，25）
11、已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且，则不等式f（log2x）＞0的解集为（ ）
A、
B、
C、
D、
12、已知奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，x∈（﹣1，1），且f（0）=0，如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、∪
13、已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是增函数，且f（a﹣2）+f（4﹣a2）＞0，则a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（﹣1，3）
14、已知y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（1﹣x2）是增函数的区间是（ ）
A、[0，+∞） B、（﹣∞，0]
C、[﹣1，0）∪（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1]∪（0，1]
15、已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（ ）
A、（1，+∞） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，1）
16、若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A、f（﹣）＜f（﹣1）＜f（﹣2）
B、f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）
C、f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）
D、f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
17、下列函数中既是偶函数，又是区间[﹣1，0]上的减函数的是（ ）
A、y=ex+e﹣x B、y=﹣|x﹣1|
C、 D、y=cosx
18、定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（ ）
A、f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）
B、f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）
C、f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）
D、f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）
19、已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（），c=﹣f（）的大小关系是（ ）
A、b＜c＜a B、c＜b＜a
C、a＜c＜b D、a＜b＜c
20、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若，则方程f（x）=0的根的个数是（ ）
A、2 B、2或1
C、3 D、2或3
二、填空题（共5小题）
21、如图所示，f（x）是定义在区间[﹣c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[﹣1，1]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
④?a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点；
其中所有正确结论的序号是 _________ ．
22、已知函数y=f（x） 的减区间是（2，8），则函数y=f（4﹣x）的单调增区间是 _________ ．
23、函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，则f（4﹣x2）的单调递增区间为 _________ ．
24、已知y=f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（1﹣x2）的增函数区间为 _________ ．
25、函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
27、已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）当函数f（x）的图象过点（﹣1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）若当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？
28、对于函数，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．
29、设f（x）=是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．
30、函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知定义在（﹣1，1）上的奇函数，并且在（﹣1，1）上f（x）是增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、（1，1） B、
C、（0，1） D、
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：先根据奇函数将f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上增函数，建立不等式组进行求解即可．
解答：解：由f（x）是奇函数，则f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），
∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，
则有，解可得1＜a＜，
故选D．
点评：本题综合考查函数的单调性与奇偶性，解题的关键在于将f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0转化为f（1﹣a）＜f（a2﹣1），结合单调性解题，注意不要忘记函数的定义域为（﹣1，1）．
2、若奇函数f（x）在[a，b]上是增函数，且最小值是1，则f（x）在[﹣b，﹣a]上是（ ）
A、增函数且最小值是﹣1 B、增函数且最大值是﹣1
C、减函数且最小值是﹣1 D、减函数且最大值是﹣1
考点：函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合。
分析：由奇函数在对称区间上的单调性相同得到结论．
解答：解：由奇函数在对称区间上的单调性相同
∴f（x）在[﹣b，﹣a]上是增函数
又∵f（a）=1
∴f（﹣a）=﹣1．
故选B
点评：本题主要考查奇偶性和单调性的综合应用．
3、已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）cosy，且．给出下列结论：；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减．其中正确的结论序号是（ ）
A、②③ B、②④
C、①③ D、①④
考点：奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合。
分析：令x=y=可求出f（）的值，得知①不对排除CD．由x=可知f（x）在（0，x）内单不是调递减排除B．
解答：解：令x=y=，根据f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）cosy，且．
∴∴故①不对
∵f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）cosy
令x=0，则
f（y）+f（﹣y）=f（0）cosy=0
f（﹣y）=﹣f（y）
所以f（x）是奇函数 故②对．
令x=，由f（0）=0，f（）=1知④不对
故选A．
点评：本题主要考查抽象函数的有关问题．抽象函数值、单调性、周期性、奇偶性经常是考查重点．
4、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（ ）
A、（，） B、[，）
C、（，） D、[，）
考点：奇偶性与单调性的综合。
分析：本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式．
解答：解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）
∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）
又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加
得|2x﹣1|＜解得＜x＜．
故选A．
点评：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（ ）
5、定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（ ）
A、f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B、f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）
C、f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1） D、f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：探究型。
分析：由“x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0”可等有“x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）”，符合增函数的定义，所以f（x）在（﹣∞，0]为增函数，再由f（x）为偶函数，则知f（x）在（0，+∞）为减函数，
由n+1＞n＞n﹣1＞0，可得结论．
解答：解：x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0
∴x2＞x1时，f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（﹣∞，0]为增函数
∵f（x）为偶函数
∴f（x）在（0，+∞）为减函数
而n+1＞n＞n﹣1＞0，
∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1）
∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）
故选C．
点评：本题主要考查单调性定义的变形与应用，还考查了奇偶性在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．
6、下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A、f（x）=sinx B、f（x）=﹣|x+1|
C、 D、
7、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（ ）
A、f（sin）＜f（cos） B、f（sin）＞f（cos）
C、f（sin1）＜f（cos1） D、f（sin）＞f（cos）
考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性。
专题：证明题；探究型。
分析：观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．
解答：解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，
又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2
所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
所以f（x）在（0，1）上是减函数，
观察四个选项A中sin＞cos，故A不对；
B选项中sin＞cos，故B不对；
C选项中sin1＞cos1，故C对；
D亦不对．
综上，选项C是正确的．
故应选C．
点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．
8、已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=x﹣sinx，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B、
C、 D、（0，2）
9、已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，则f（1）的值（ ）
A、恒为正数 B、恒为负数
C、恒为0 D、可正可负
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：根据奇函数的定义，我们易求了f（0）的值，然后根据函数f（x）是R上的单调增函数，我们即可判断出f（1）的值的符号．
解答：解：∵函数f（x）是R上的奇函数
∴f（0）=0，
又∵f（x）在R上递增，
∴f（1）＞f（0）=0，
故选A．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据奇函数的定义，判断出f（0）=0，是解答本题的关键．
10、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，则x2+y2的取值范围是（ ）
A、（4，6） B、（16，36）
C、（0，16） D、（16，25）
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：本题考查的是函数的性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定函数y=f（x）是定义在R上的增函数，而且是奇函数，则不难求出满足条件实数x，y满足不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0，对应的平面区域，分析表达式x2+y2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
解答：解：∵函数y=f（x﹣2010）的图象关于点（2010，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称
即函数y=f（x）为奇函数，
则f（﹣x）=﹣f（x）
则不等式f（x2﹣6x）+f（y2﹣8y+24）＜0可化为：
f（x2﹣6x）＜﹣f（y2﹣8y+24）=f（﹣y2+8y﹣24）
又由函数y=f（x）是定义在R上的增函数
∴x2﹣6x＜﹣y2+8y﹣24
即x2﹣6x+y2﹣8y+24＜0
即（x﹣3）2+（y﹣4）2＜1
则（x，y）点在以（3，4）为圆心，以1为半径的圆内
而x2+y2表示的是圆内任一点到原点距离的平方
∴（5﹣1）2=16＜x2+y2＜（5+1）2=36
故选B
点评：函数的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将函数的性质与圆的方程融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．
11、已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且，则不等式f（log2x）＞0的解集为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题；数形结合。
分析：由于f（x）为义域为R的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，利用偶函数在对称区间上函数的单调性相反得到此函数在[0，+∞）上应该为单调递增函数，为解不等式可以画出仅用单调性求解的草图加以分析，又由于且，所以不等式f（log2x）＞0的解集等价于f（log2x）＞求解即可．
解答：解：由题意：作出函数f（x）的示意图如图，
则要求式子等价于log2x＞或，
解得或．
故答案选：A．
点评：此题考查了利用函数的单调性与奇偶性求解抽象函数的单调区间，还考查了数形结合的思想及对数不等式的求解．
12、已知奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，x∈（﹣1，1），且f（0）=0，如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为（ ）
A、（0，1） B、
C、 D、∪
考点：奇偶性与单调性的综合。
分析：由已知中奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，x∈（﹣1，1），我们易判断出函数f（x）的在区间（﹣1，1）上的单调性，进而结合函数的单调性和奇偶性我们易将f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到实数x的取值范围．
解答：解：∵奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，
又∵f′（x）=5+cosx＞0在区间（﹣1，1）上恒成立，
∴函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增
若f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0
则f（1﹣x）＜﹣f（1﹣x2）=f（x2﹣1）
即
解得1
故选B
点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，在利用函数的单调性和奇偶性对f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0进行转化时，一定要注意函数的定义域为（﹣1，1）．
13、已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是增函数，且f（a﹣2）+f（4﹣a2）＞0，则a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、（﹣1，3）
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：先利用其为奇函数，把f（a﹣2）+f（4﹣a2）＞0转化为f（a﹣2）＞f（a2﹣4）；再借助于定义域为（﹣1，1）又是增函数得到关于a的不等式组，解之即可求出a的取值范围．
解答：解：因为函数y=f（x）是奇函数，
所以f（a﹣2）+f（4﹣a2）＞0可以转化为f（a﹣2）＞f（a2﹣4）．
又因为定义域为（﹣1，1）又是增函数，
所以有解得：＜a＜2．
故选：B．
点评：本题主要是对函数奇偶性与单调性的综合考查．做本题的关键在于把f（a﹣2）+f（4﹣a2）＞0转化为f（a﹣2）＞f（a2﹣4）；再借助于定义域为（﹣1，1）又是增函数求解问题．
14、已知y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（1﹣x2）是增函数的区间是（ ）
A、[0，+∞） B、（﹣∞，0]
C、[﹣1，0）∪（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1]∪（0，1]
15、已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（ ）
A、（1，+∞） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，1）
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题；转化思想。
分析：先利用不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x+1）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（1，0）点，二者相结合即可求出不等式f（1﹣x）＜0的解集．
解答：解：由不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数 ①．
又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；
故函数f（x）过点（1，0）②．
①②相结合得：x＞1时，f（x）＜0．
故不等式f（1﹣x）＜0转化为1﹣x＞1?x＜0．
故选C．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（x）过（1，0）点．
16、若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A、f（﹣）＜f（﹣1）＜f（﹣2） B、f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）
C、f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣） D、f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：常规题型。
分析：题目中条件：“f（x）为偶函数，”说明：“f（﹣x）=f（x）”，将不在（﹣∝，﹣1）上的数值转化成区间（﹣∝，﹣1）上，再结合f（x）在（﹣∝，﹣1）上是增函数，即可进行判断．
解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣）=f（），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），
又f（x）在（﹣∝，﹣1）上是增函数，
∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
故选D．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
17、下列函数中既是偶函数，又是区间[﹣1，0]上的减函数的是（ ）
A、y=ex+e﹣x B、y=﹣|x﹣1|
C、 D、y=cosx
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：规律型；分析法。
分析：作为选择题可运用自自己所熟悉的知识用排除法解题．
解答：解：B、不是偶函数，因为其图象关于x=1对称．
C、是奇函数
D、y=cosx在[﹣，0]上是增函数，
而[﹣1，0]上?[﹣，0]
∴y=cosx在[﹣1，0]上是增函数．
故选A
点评：本题主要考查一些基本函数的单调性、奇偶性和对称性，也提醒学生在做选择题时要灵活处理．
18、定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（ ）
A、f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π） B、f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）
C、f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4） D、f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）
考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质。
分析：本题利用直接法求解，根据在（0，+∞）上是增函数，得出f（3）＜f（π）＜f（4），再结合定义在R上的偶函数f（x），即可选出答案．
解答：解：∵定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，
且3＜π＜4，
∴f（3）＜f（π）＜f（4）
即：f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）．
故选C．
点评：本题主要考查了函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等奇偶性与单调性的综合，属于基础题．
19、已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（），c=﹣f（）的大小关系是（ ）
A、b＜c＜a B、c＜b＜a
C、a＜c＜b D、a＜b＜c
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
解答：解：∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴4为函数的一个周期，
又∵对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，
∴a=f（2010）=f（2）=﹣f（0）
b=f（）=﹣f（），
c=﹣f（）
∵0＜＜＜1
∴f（）＞f（）＞f（0）
∴b＜c＜a
故选A．
点评：本题考点是函数奇偶性的运用，考查综合利用奇偶性来研究函数的性质，利用函数的单调性比较大小，在本题三数的大小比较中，利用到了把三数转化到一个单调区间上来比较的技巧．在利用单调性比较大小时注意这一转化技巧的运用．
20、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若，则方程f（x）=0的根的个数是（ ）
A、2 B、2或1
C、3 D、2或3
考点：奇偶性与单调性的综合。
专题：综合题；分类讨论。
分析：根据函数的奇偶性与单调性，我们易判断函数f（x）在区间（0，+∞）和（﹣∞，0）上零点的个数，但由于f（0）的值不确定，故要分类讨论出函数f（x）零点的个数，
即方程f（x）=0的根的个数．
解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴函数f（x）的图象关于Y轴对称
又∵函数f（x）在（0，+∞）上是减函数
且，
则函数在区间（0，+∞）上有且只有一个零点
在区间（﹣∞，0）上有且只有一个零点
若f（0）=0则函数有三个零点，此时方程f（x）=0的有3个根；
若f（0）≠0则函数有两个零点，此时方程f（x）=0的有2个根；
故选D
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，方程根的个数及分布，其中由于f（0）的值不确定而需要进行分类讨论，易被忽略，而错选A．
二、填空题（共5小题）
21、如图所示，f（x）是定义在区间[﹣c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[﹣1，1]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
④?a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点；
其中所有正确结论的序号是 ②④ ．
考点：函数的图象与图象变化；奇偶性与单调性的综合。
专题：数形结合。
分析：①对于[﹣c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，由函数的图象及参数的取值范围进行判断；
④?a∈R，则由g（x）的极值点的个数，判断导函数g'（x）有多少个零点．
解答：解：①对于[﹣c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立，由函数的图象可以看出，函数不是单调增函数，故命题不正确；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，此命题正确，b=0时，g（x）=af（x）是一个奇函数；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根；
④?a∈R，由g（x）的极值点有两个，判断导函数g'（x）有2个零点．
综上②④正确
故答案为②④．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题．
22、已知函数y=f（x） 的减区间是（2，8），则函数y=f（4﹣x）的单调增区间是 （﹣4，2） ．
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题。
专题：计算题。
分析：y=f（4﹣x）由函数y=f（u）和u=4﹣x 复合而成，根据复合函数的单调性可以求出函数y=f（4﹣x）的单调增区间．
解答：解：y=f（4﹣x）由函数 y=f（u）和u=4﹣x 复合而成，
由已知得2＜u＜8，
∴2＜4﹣x＜8，
∴x∈（﹣4，2）．
∵函数y=f（x） 在区间（2，8）内是减函数，
u=4﹣x在x∈（﹣4，2） 内是减函数，由复合函数的单调性可知，
函数y=f（4﹣x）在区间（﹣4，2）内是增函数，
故函数 y=f（4﹣x）的单调增区间是（﹣4，2）．
故答案：（﹣4，2）．
点评：求抽象函数的单调区间时，一定要先看定义域．
23、函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，则f（4﹣x2）的单调递增区间为 （﹣∞，﹣2]，[0，2] ．
考点：复合函数的单调性；函数的单调性及单调区间；奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题。
分析：先根据题意可求出函数f（x）的递减区间，然后令t=4﹣x2，进而可求出当t＞0时的x的范围，再结合函数t=4﹣x2的单调性可判断函数函数f（4﹣x2）在[0，2]上单调递增，同样道理可求出函数f（4﹣x2）的另一单调递增区间．
解答：解：∵函数y=f（x）为偶函数且在[0，+∞）上是减函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
令t=4﹣x2，则t=4﹣x2≥0时，﹣2≤x≤2，且函数t在x∈[﹣2，0]上单调递增，t在x∈[0，2]上单调递减
根据复合函数的同增异减可知：函数f（4﹣x2）在[0，2]上单调递增
同理可求出函数f（4﹣x2）在（﹣∞，﹣2]上单调递增
故答案为：（﹣∞，﹣2]，[0，2]．
点评：本题主要考查复合函数的单调性问题、奇偶性与单调性的综合问题．考查对基础知识的理解和运用．
24、已知y=f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（1﹣x2）的增函数区间为 （﹣∞，﹣1]，[0，1] ．
25、函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是 a≤﹣2或a≥2 ．
考点：奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合。
专题：常规题型。
分析：由于函数y=f（x）是R上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，然后利用单调性及f（a）≤f（2）得|a|≥2，即可求得a的取值范围．
解答：解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴y=f（x）的图象关于y轴对称．
又∵y=f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，f（a）≤f（2）
∴|a|≥2∴a≤﹣2或a≥2
故答案为：a≤﹣2或a≥2
点评：本题考查了奇偶函数的对称性，奇偶性与单调性的综合，解绝对值不等式，是个基础题．
三、解答题（共5小题）
26、已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；
（2）由题意知f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），解方程组即可求出m，n的值；
（3）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．我们可将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
（2）由（1）知：f（x）=是奇函数．
因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，∴n=1；
∴f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）知
，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）=，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因f（x）为减函数，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣2t2，
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜．
点评：本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，其中根据函数的单调性将f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组是解答本题的关键，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
27、已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（﹣1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合。
专题：综合题。
分析：（Ⅰ）根据f（﹣1）=0，可得a﹣b+1=0，再根据方程f（x）=0有且只有一个根，利用根的判别式再列出一个a和b的关系式，联立方程组即可解得a和b的值．
（Ⅱ）首先求出g（x）的函数关系式，然后根据函数的单调性进行解答，即可求出k的取值范围．
（Ⅲ）由f（x）为偶函数，求出b=0，设m＞0，则n＜0，又知m+n＞0，故可得m＞﹣n＞0，最后把m和n代入求出F（m）+F（n）＞0．
解答：解：（Ⅰ）因为f（﹣1）=0，所以a﹣b+1=0．（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b2﹣4a=0．
所以b2﹣4（b﹣1）=0．即b=2，a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）2．（4分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2﹣（k﹣2）x+1
=．（6分）
所以当或时，
即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是单调函数．（9分）
（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax2+1．
所以（10分）
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞﹣n＞0．
所以|m|＞|﹣n|．（12分）
此时F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）
点评：本题主要考查函数解析式的求法、函数单调性的性质和奇偶性与单调性综合运用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握函数单调性的性质，利用奇偶性进行解题，此题难度不是很大．
28、对于函数，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．
考点：函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合。
专题：综合题。
分析：（1）按取点，作差，变形，判断的过程来即可．
（2）利用奇函数定义域内有0，f（0）=0来求a值；
（3）利用单调性和奇偶性把f（2t+1）+f（t﹣5）≤0转化为2t+1≥﹣t+5即可．
解答：（1）证明；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故＞0，＞0，＞0．
即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）解：由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0?a=﹣1．
（3）解：有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t+1）+f（t﹣5）≤0．转化为f（2t+1）≤﹣f（t﹣5）=f（﹣t+5），?2t+1≥﹣t+5?t≥
故所求不等式f（2t+1）+f（t﹣5）≤0的解集为：{t|t≥}．
点评：本题综合考查了函数的单调性和奇偶性．在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断．
29、设f（x）=是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．
当a=1时，f（x）=e﹣x+ex，以下讨论其单调性，
任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=ex1+e﹣x1﹣ex2﹣e﹣x2=
其中ex1?ex2＞0，ex1﹣ex2＜0，当ex1+x2﹣1＞0时，
f（x1）＜f（x2），f（x）为增函数，
此时需要x1+x2＞0，即增区间为[0，+∞），反之（﹣∞，0]为减区间．当a=﹣1时，同理可得f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．
点评：判断函数的奇偶性与单调性也是高考考查的重点内容，一般作为简单题目出现．
30、函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．
考点：函数奇偶性的性质；函数的表示方法；奇偶性与单调性的综合。
分析：（1）先由奇偶性寻求f（﹣x）与f（x）的关系，再设x＜0，则﹣x＞0，按照求函数值求解；
（2）用导数判断单调性，确定单调区间求得值域．
解答：解：（1）∵f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）（1分）
设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=
∴（3分）
∴（4分）
（2）当x＞0时，，（6分）
令f'（x）=0?x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，（8分）
且函数f（x）在此区间上有极小值y极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（﹣2，0），减区间为（﹣∞，﹣2）（10分）
综上所述，f（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（0，2）上是减函数
在区间（﹣2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）（12分）
点评：本题主要考查奇偶性求对称区间上的解析式和求值域或最值时要先研究函数的单调性的解题习惯．
