奇函数
一、选择题（共20小题）
1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、y=﹣x3，x∈R B、y=sinx，x∈R
C、y=x，x∈R D、
2、已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）?cosx＜0的解集为（ ）21世纪教育网
A、（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）
B、（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）
C、（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）
D、（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）
3、函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣lg|x|，则当x＜0时，f（x）的解析式为（ ）
A、﹣x﹣lg|x| B、﹣x+lg|x|
C、x+lg|x| D、x﹣lg|x|
4、函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（ ）
A、2x+6 B、﹣2x+6
C、2x﹣6 D、﹣2x﹣6
5、下列函数既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上单调递减的是（ ）
A、f（x）=sinx
B、f（x）=﹣|x+1|
C、f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）
D、
6、定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A、[﹣2，10] B、[﹣2，16]
C、[4，10] D、[4，16]
7、定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当不等式f（a）+f（a2）＜0成立时，实数a的取值范围是（ ）
A、a＜﹣1或a＞0 B、﹣1＜a＜0
C、a＜0或a＞1 D、a＜﹣1或a＞1
8、已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A、x1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＞0 D、x1+x2＜0
9、设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ）
A、﹣3 B、﹣1
C、1 D、3
10、已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ）
A、﹣2 B、2
C、﹣98 D、98
11、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
12、已知a∈R，函数f（x）=sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a=（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、±1
13、已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（ ）
A、a＜b＜c B、b＜a＜c
C、c＜b＜a D、c＜a＜b
14、f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）
A、若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B、若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根
C、若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根
D、若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根
15、设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）
A、0.5 B、﹣0.5
C、1.5 D、﹣1.5
16、已知函数f（x）=x3﹣sinx+1，若f（a）=3，则f（﹣a）=（ ）
A、3 B、﹣3
C、﹣1 D、﹣2
17、定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1．则f（1）=（ ）
A、0 B、1
C、 D、
18、定义在R上的函数f（x）对?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，若函数f（x+1）为奇函数，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（ ）
A、（1，+∞） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，1）
19、下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A、f（x）=sinx
B、f（x）=﹣|x+1|
C、
D、
20、如果奇函数在[a，b]具有最大值，那么该函数在[﹣b，﹣a]有（ ）
A、最小值 B、最大值
C、没有最值 D、无法确定
二、填空题（共5小题）21*cnjy*com
21、已知f（x）是定义在[﹣2，0∪（0，2]上的奇函数，当x＞0，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是 _________ ．
22、若奇函数f（x）在R上是单调递增函数，且有f（a）+f（3）＜0，则a的取值范围是 _________ ．
23、已知函数f（x）=x3+x（﹣2＜x＜2），则不等式f（a）+f（a2﹣2）＜0的解集为 _________ ．
24、已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（1）=0，则不等式x3f（x）＞0的解集为 _________ ．
25、奇函数f（x）在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值是8，最小值是﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）等于 _________ ．
三、解答题（共5小题）21*cnjy*com
26、已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．?（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；?（2）求f（）．?
27、定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？
28、函数y=f（x）是定义在区间上的奇函数，当时，f （x）=2x﹣x2．
（1）求时，f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域．
29、已知是奇函数，且，
（1）求实数p和q的值．
（2）求f（x）的单调区间．
30、已知函数是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）写出f（x）的单调区间（不需要证明）；
（3）求f（x）的值域．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、y=﹣x3，x∈R B、y=sinx，x∈R
C、y=x，x∈R D、
考点：函数的图象与图象变化；奇函数。
分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．
解答：解：
A在其定义域内既是奇函数又是减函数；
B在其定义域内是奇函数但不是减函数；
C在其定义域内既是奇函数又是增函数；
D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；
故选A．
点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．
2、已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）?cosx＜0的解集为（ ）21cnjy
A、（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）
B、（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）
C、（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）
D、（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）
考点：函数的图象与图象变化；奇函数。
专题：计算题。
分析：由已知中f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象，我们易得到f（x）＜0，及f（x）＞0时x的取值范围，结合余弦函数在（﹣3，3）上函数值符号的变化情况，我们即可得到不等式f（x）?cosx＜0的解集．
解答：解：：由图象可知：
0＜x＜1时，f（x）＜0；
当1＜x＜3时，f（x）＞0．
再由f（x）是奇函数，知：
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；
当﹣3＜x＜﹣1时，f（x）＜0．
又∵余弦函数y=cosx
当﹣3＜x＜﹣，或＜x＜3时，cosx＜0
﹣＜x＜时，cosx＞0
∴当x∈（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）时，f（x）?cosx＜0
故选B
点评：本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式，题目有一定的综合度属于中档题．
3、函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣lg|x|，则当x＜0时，f（x）的解析式为（ ）21cnjy
A、﹣x﹣lg|x| B、﹣x+lg|x|
C、x+lg|x| D、x﹣lg|x|
考点：函数解析式的求解及常用方法；奇函数。
专题：计算题。
分析：求当x＜0时f（x）的解析式而题中给出了x＞0时f（x）=x﹣lg|x|则可将x＜0等价变形为﹣x＞0则可求出f（﹣x）的解析式再根据f（x）是奇函数可求出当x＜0时f（x）的解析式．
解答：解：∵x＜0
∴﹣x＞0
又∵x＞0时，f（x）=x﹣lg|x|
∴f（﹣x）=（﹣x）﹣lg|x|
又∵y=f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=x+lg|x|
故答案选C
点评：此题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式．求解本题的关键是将x＜0等价变形为﹣x＞0才可以利用x＞0时f（x）=x﹣lg|x|这一条件，最后再利用奇偶性将f（﹣x）的解析式转化为f（x）的解析式！
4、函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（ ）
A、2x+6 B、﹣2x+6
C、2x﹣6 D、﹣2x﹣6
考点：函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．
解答：解：∵f（3+x）=f（3﹣x），
故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
则T=12是函数y=f（x）的一个周期
设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）
即f（x）=﹣2x+6
故选B
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系．
5、下列函数既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上单调递减的是（ ）
A、f（x）=sinx B、f（x）=﹣|x+1|
C、f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1） D、
考点：函数单调性的判断与证明；奇函数。
专题：计算题。
分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确，选项A在区间[﹣1，1]上单调递增，选项B不是奇函数，选项C当a＞1时在[﹣1，1]上单调递增．
解答：解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；
∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；
∵a＞1时，y=ax在[﹣1，1]上单调递增，y=a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=ax﹣a﹣x在[﹣1，1]上单调递增，故C错；
故选D．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．
6、定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（ ）
A、[﹣2，10] B、[﹣2，16]
C、[4，10] D、[4，16]
考点：函数单调性的性质；奇函数。
分析：首先由奇函数定义与增函数性质得出s与t的关系式，然后利用函数图象进一步明确s与t的关系及s、t的范围，最后通过求3t+s的最大值和最小值进而解决3t+s的取值范围．
解答：解：因为f（x）是奇函数，所以﹣f（2t﹣t2）=f（t2﹣2t）
则f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2）可变形为f（s2﹣2s）≥f（t2﹣2t）
又因为f（x）是增函数，所以s2﹣2s≥t2﹣2t
根据y=x2﹣2x的图象
可见，当1≤s≤4时，﹣2≤t≤4，又s2﹣2s≥t2﹣2t
所以当s=t=4时，3t+s取得最大值16；当t=﹣2，s=4时，3t+s取得最小值﹣2
所以3s+t的取值范围是﹣2≤3t+s≤16
故选B．
点评：本题综合考查函数的奇偶性、单调性知识及数形结合方法；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略．
7、定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当不等式f（a）+f（a2）＜0成立时，实数a的取值范围是（ ）
A、a＜﹣1或a＞0 B、﹣1＜a＜0
C、a＜0或a＞1 D、a＜﹣1或a＞1
考点：函数单调性的性质；奇函数。
专题：计算题。
分析：先根据函数是定义在R上的奇函数，把不等式f（a）+f（a2）＜0变形为f（a2）＜﹣f（a），
再根据f（x）在R上是减函数，去函数符号，再解关于a的二次不等式即可．
解答：解：∵f（a）+f（a2）＜0，∴f（a2）＜﹣f（a），
又∵f（x）为奇函数，∴f（a2）＜f（﹣a），
∵f（x）在R上是减函数，∴a2＞﹣a，
解得a＜﹣1或a＞0．
故选A
点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，做题时应认真分析，找到切入点．
8、已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A、x1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＞0 D、x1+x2＜0
9、设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ）
A、﹣3 B、﹣1
C、1 D、3
考点：奇函数。
分析：首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．
解答：解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（0）=20+2×0+b=0，
解得b=﹣1，
所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，
又因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，
故选A．
点评：本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．
10、已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ）
A、﹣2 B、2
C、﹣98 D、98
考点：奇函数。
分析：利用函数周期是4且为奇函数易于解决．
解答：解：因为f（x+4）=f（x），
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性与周期性．
11、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ）
A、﹣1 B、0
C、1 D、2
考点：奇函数。
分析：利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=﹣f（x）即可求出f（6）．
解答：解：因为f（x+2）=﹣f（x），
所以f（6）=﹣f（4）=f（2）=﹣f（0），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，
所以f（6）=0，
故选B．
点评：本题考查奇函数的性质．
12、已知a∈R，函数f（x）=sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a=（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、±1
考点：奇函数。
分析：利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0易于解决．
解答：解：因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=﹣|a|=0，
解得a=0，
故选A．
点评：本题考查奇函数定义．
13、已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（ ）
A、a＜b＜c B、b＜a＜c
C、c＜b＜a D、c＜a＜b
考点：奇函数。
分析：首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题．
解答：解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．
则=﹣lg＞0，
=﹣lg＞0，
=lg＜0，
又lg＞lg
∴0＜﹣lg＜﹣lg
∴c＜a＜b，
故选D．
点评：本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性．
14、f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）21世纪教育网
A、若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称 B、若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根
C、若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根 D、若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根
考点：奇函数。
分析：奇函数的图象关于原点对称；当a≠0时af（x）与f（x）有相同的奇偶性；f（x）+b的图象可由f（x）上下平移得到．
充分利用以上知识点逐项分析即可解答．
解答：解：①若a=﹣1，b=1，则函数g（x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误；
②当a=﹣1，﹣2＜b＜0时，﹣f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，则图象又向下平移﹣b个单位长度，所以g（x）=﹣f（x）+b=0有大于2的实根，所以选项B正确；
③若a=1，b=2，则g（x）=f（x）+2，其图象由f（x）的图象向上平移2个单位长度，那么g（x）只有两个零点，所以g（x）=0只有两个实根，所以选项C错误；
④若a=1，b=﹣3，则g（x）的图象由f（x）的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g（x）=0只有一个实根，所以选项D错误．
故选B．
点评：本题考查奇函数的图象特征及函数af（x）与f（x）的奇偶性关系，同时考查由f（x）到f（x）+b的图象变化．
15、设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）
A、0.5 B、﹣0.5
C、1.5 D、﹣1.5
考点：奇函数。
专题：计算题。
分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．
解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），
∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．
故选B．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．
16、已知函数f（x）=x3﹣sinx+1，若f（a）=3，则f（﹣a）=（ ）
A、3 B、﹣3
C、﹣1 D、﹣2
考点：奇函数；函数的值。
专题：计算题。
分析：把a和﹣a分别代入函数式，然后化简整理发现两等式之间的联系，可得出答案．
解答：解：∵由f（a）=3
∴f（a）=a3﹣sina+1=3，a3﹣sina=2，
又∵f（﹣a）=（﹣a）3﹣sin（﹣a）+1=﹣（a3﹣sina）+1=﹣2+1=﹣1．
故选C．
点评：本题主要考查函数奇偶性的运用，同时考查了运算能力，属基础题．
17、定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1．则f（1）=（ ）
A、0 B、1
C、 D、
考点：奇函数；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：由在R上的奇函数f（x），得到f（0）=0，再有f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，得到：f（2）=f（0）+1=1，f（1）=f（﹣1）+1，又因为f（x）为奇函数，∴f（1）=f（﹣1）+1等价于f（1）=﹣f（1）+1进而解出f（1）的值即可．
解答：由在R上的奇函数f（x），得到f（0）=0，再有f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，得到：f（2）=f（0）+1=1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+1?f（1）=f（﹣1）+1，因为f（x）为奇函数，∴f（1）=f（﹣1）+1?f（1）=﹣f（1）+1?f（1）=．
故选D．
点评：此题考查了利用函数的奇偶性，及所给的任意的x都满足的f（x+2）=f（x）+1的式子进行求解．
18、定义在R上的函数f（x）对?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，若函数f（x+1）为奇函数，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（ ）
A、（1，+∞） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0） D、（﹣∞，1）
考点：奇函数；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：通过义在R上的函数f（x）对?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，得到函数f（x）在R上为单调减函数，再根据函数f（x+1）为奇函数，得到函数f（x+1）必过原点，f（x+1）=﹣f（1﹣x），即可求解
解答：解：∵定义在R上的函数f（x）对?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0
∴（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号
当x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0；反之亦然
即函数f（x）在R上为单调减函数
即函数f（x+1）在R上为单调减函数
∵函数f（x+1）为奇函数且定义域为R
∴函数f（x+1）必过原点，故函数f（x）必过（1，0）
∴x＞1时有，f（x）＜0
又f（1﹣x）＜0
∴1﹣x＞1
∴x＜0
故选C
点评：本题考查了函数的单调性的定义，利用奇函数的性质及图象的平移的相关知识进行求解，属于基础题．
19、下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A、f（x）=sinx B、f（x）=﹣|x+1|
C、 D、
20、如果奇函数在[a，b]具有最大值，那么该函数在[﹣b，﹣a]有（ ）
A、最小值 B、最大值
C、没有最值 D、无法确定
考点：奇函数。
专题：计算题。
分析：根据奇函数的性质，奇函数关于原点对称，知道函数在[a，b]具有最大值，即可函数在[﹣b，﹣a]有最小值．
解答：解：∵奇函数在[a，b]具有最大值，
∴该函数在[﹣b，﹣a]有最小值，
故选A．
点评：本题主要考查奇函数的性质，本题是基础题，关键熟练掌握奇函数关于原点对称这一知识点．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
21、已知f（x）是定义在[﹣2，0∪（0，2]上的奇函数，当x＞0，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是 （2，3]∪[﹣3，﹣2） ．
考点：函数的值域；奇函数。
专题：图表型。
分析：先根据函数的奇偶性作出函数在y轴左侧的图象，欲求f（x）的值域，分两类讨论：①x＞0；②x＜0．结合图象即可解决问题．
解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，0∪（0，2]上的奇函数，
∴作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象，如图．
由图可知：f（x）的值域是 （2，3]∪[﹣3，﹣2）．
故答案为：（2，3]∪[﹣3，﹣2）．
点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
22、若奇函数f（x）在R上是单调递增函数，且有f（a）+f（3）＜0，则a的取值范围是 a＜﹣3 ．
考点：函数单调性的性质；奇函数。
专题：计算题。
分析：由函数f（x）为奇函数，我们易将不等式f（a）+f（3）＜0化为f（a）＜f（﹣3），再结合f（x）在R上是单调递增，利用函数的单调性易得a的取值范围．
解答：解：由f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴不等式f（a）+f（3）＜0可化为：
f（a）＜﹣f（3）=f（﹣3）
又∵f（x）在R上是单调递增，
∴a＜﹣3
即a的取值范围是a＜﹣3
故答案：a＜﹣3
点评：本题考查的知识点是奇函数与函数的单调性，其中利用奇函数的性质将不等式f（a）+f（3）＜0化为f（a）＜f（﹣3）是解答本题的关键．
23、已知函数f（x）=x3+x（﹣2＜x＜2），则不等式f（a）+f（a2﹣2）＜0的解集为 （﹣2，0）∪（0，1） ．
考点：函数单调性的性质；奇函数。
专题：计算题。
分析：先根据导数判断出函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数，接着利用函数奇偶性的定义判断出函数是奇函数，进而利用函数的单调性与奇偶性结合解不等式的方法解出参数的范围．
解答：解：因为函数f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1q且f′（x）＞0在（﹣2，2）上恒成立．
所以f（x）在（﹣2，2）上是增函数．
因为函数f（x）=x3+x（﹣2＜x＜2），
所以函数的定义域关于原点对称且f（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x）
所以函数f（x）是定义域内的奇函数．
又因为不等式f（a）+f（a2﹣2）＜0成立
所以f（a）＜f（2﹣a2）
即﹣2＜a＜2，﹣2＜2﹣a2＜2且a＜2﹣a2解得﹣2＜a＜0或0＜a＜1
所以不等式f（a）+f（a2﹣2）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，1）．
故答案为（﹣2，0）∪（0，1）．
点评：解决此类问题的关键是正确利用函数的单调性与函数的奇偶性之间的关系，结合不等式的解法解出参数的范围，此知识点是高考考查的重点之一．
24、已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（1）=0，则不等式x3f（x）＞0的解集为 {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1} ．
考点：函数单调性的性质；奇函数。
专题：计算题。
分析：求不等式x3f（x）＞0的解集，先转化为求不等式xf（x）＜0的解集，根据奇函数的单调性作出“概念图”，分类讨论即可解决．
解答：解：作函数f（x）的“概念图”如右
先求不等式xf（x）＜0的解，
当x＞0时（y轴右侧），f（x）＞0（x轴下方），∴0＜x＜1
当x＜0时（y轴左侧），f（x）＜0（x轴下方），∴﹣1＜x＜0
可见不等式xf（x）＜0的解为：﹣1＜x＜0或0＜x＜1
故x3f（x）＞0的解集为：{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}
故答案为：{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}．
点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的简单应用，关键是运用转化思想与分类讨论思想，同时作图是该题的突破点，属于基础题．
25、奇函数f（x）在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值是8，最小值是﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）等于 ﹣15 ．21世纪教育网版权所有
考点：函数的最值及其几何意义；奇函数。
专题：计算题。
分析：先利用条件找到f（3）=1，f（6）=8，再利用f（x）是奇函数求出f（﹣3），f（﹣6）代入即可．
解答：解：由题f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为1，
得f（3）=1，f（6）=8，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣3）+2f（﹣6）=﹣f（3）﹣2f（6）=1﹣2×8=﹣15．
故答案为：﹣15．
点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．
三、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．?（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；?（2）求f（）．?
考点：函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的值。
专题：计算题。
分析：先设x∈[﹣1，0），根据奇函数的定义，得到在[﹣1，0）上的解析式，将利用f（x+2）=﹣f（x）转化到[0，1]中，利用f（x）=2x﹣1，求出答案．
解答：解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．?
又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，?
∴f（x）=﹣（x+1．?
（2）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，?
∵=﹣log224∈（﹣5，﹣4），∴+4∈（﹣1，0），?
∴f（）=f（+4）=﹣（+1=﹣24×+1=﹣．
点评：本题考查了奇函数的应用，第一小题为求函数的解析式问题，第二小题为利用周期对函数求值问题．全面考查了函数的性质，属基础题．
27、定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时，．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？
由f（x）为R上的奇函数，得，（4分）
又f（0）=﹣f（0），f（0）=0，
∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1﹣2）=f（1），
∴f（﹣1）=0，f（1）=0，（7分）
∴（8分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1）
∴，（11分）
2x∈（1，2），
∴，
即． （14分）
点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数解析式的求法，函数的值域，其中（1）中易忽略对f（0），f（﹣1）及f（1）值的确定，而错解为．
28、函数y=f（x）是定义在区间上的奇函数，当时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求时，f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域；奇函数。
专题：计算题。
分析：（1）当时，﹣，进而根据时，f（x）=2x﹣x2，求出f（﹣x）的解析式，进而根据函数y=f（x）是定义在区间上的奇函数，即可得到答案．
（2）由（1）中结论，我们可以分当时和当时两种情况，分别讨论函数g（x）=的值域，最后综合讨论结果，即可得到答案．
解答：解：（1）∵当时，﹣
则f（﹣x）=2（﹣）x﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2=﹣f（x）
∴时，f（x）=2x+x2
（2）当时，g（x）==，当且仅当x=1时取等号
当时，g（x）==
所以，该函数的值域为
点评：本题考查的知识点是函数解析式及其求法，函数的值域，奇函数的性质，其中（1）的关键是根据奇函数的性质，先求出时，f（﹣x）的解析式，再求f（x）的解析式；而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，进行分类讨论．
29、已知是奇函数，且，
（1）求实数p和q的值．
（2）求f（x）的单调区间．
令f′（x）＞0得x＜﹣1或x＞1，令f′（x）＜0得﹣1＜x＜1，因为x≠0，
所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
减区间为（﹣1，0），（0，1）
点评：本题考查函数的单调性的判断和就行的应用，属基本题型的考查．
30、已知函数是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）写出f（x）的单调区间（不需要证明）；
（3）求f（x）的值域．
考点：函数的单调性及单调区间；函数的值域；奇函数。
专题：综合题；转化思想；综合法。
分析：（1）根据奇函数的性质进行赋值求a、b的值，可由f（0）=0求出a，再有f（1）+f（﹣1）=0求b，
（2）由（1）知通过观察函数解析式可直接写出函数的单调区间．
（3）由函数的解析式的形式知，由于函数在自变量不为0时可以化为=，本题求值域适合用基本不等式分类求值域．
解答：解：（1）因为是奇函数，则有=0，故a=0，
再由f（1）+f（﹣1）=0得=0，
即，即2+b=2﹣b，可得b=0，
故有a=b=0
（2）由（1）知可知：
令导数小于0，解得x的取值范围是（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）
令导数大于0，解得x的取值范围是（﹣1，1）
故函数在（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）上分别递减；（﹣1，1）上递增；
（3）由（1）知=，
当x＞0时，，则f（x）∈（0，]
当x＜0时，，则f（x）∈[，0）
当x=0时，f（x）=0显然成立
综上知，函数的值域是：．
点评：本题考点是函数的单调性及单调区间，综合考查了函数的定义域、值域、以及单调性，本题考查全面综合性强，解法典型，题后应好好总结：本题在转化时的规律及其转化的依据．
