偶函数
一、选择题（共20小题）
1、若函数y=f（x+1）是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A、y=f（x）图象关于直线x=1对称
B、y=f（x+1）图象关于y轴对称
C、必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立
D、必有f（1+x）=f（1﹣x）成立
2、已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[﹣2，2]时，f（x）=g（x）．则当x∈[﹣4n﹣2，﹣4n+2]n∈Z时，f（x）的解析式为（ ）
A、g（x） B、g（x+2n）
C、g（x+4n） D、g（x﹣4n）
3、函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（ ）21世纪教育网
A、增函数 B、减函数
C、先增后减的函数 D、先减后增的函数
4、已知偶函数f（x）满足条件：当x∈R时，恒有f（x+2）=f（x），且0≤x≤1时，有f′（x）＞0，则f（），f（），f（）的大小关系是（ ）?
A、f（）＞f（）＞?f（）
B、f（）＞f（）＞?f（）
C、f（）＞f（）＞f（）
D、f（）＞f（）＞f（）
5、已知函数f（x）=xsinx，若x1、且f（x1）＜f（x2），则下列不等式中正确的是（ ）21世纪教育网
A、1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＜0 D、x12＜x22
6、已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若，则f（lgx）＞f（1）的取值范围是（ ）
A、（，1） B、（0，）∪（1，+∞）
C、（，10） D、（0，1）∪（10，+∞）
7、函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则f（1），f（2.5），f（3.5）的大关系是（ ）
A、f（2.5）＜f（1）＜f（3.5）
B、f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）
C、f（3.5）＞f（2.5）＞f（1）
D、f（1）＞f（3.5）＞f（2.5）
8、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（ ）
A、（﹣∞，0） B、
C、 D、
9、已知函数f（x）=x﹣sinx，若且f（x1）＜f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A、x1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＜0 D、x1+x2＜0
10、已知偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（ ）
A、f（a+1）≥f（b+2） B、f（a+1）＞f（b+2）
C、f（a+1）≤f（b+2） D、f（a+1）＜f（b+2）
11、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围是（ ）21世纪教育网
A、（﹣1，2） B、[﹣1，2）
C、 D、
12、已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ）
A、0 B、2
C、﹣2 D、﹣4022
13、若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，则g（x）=（ ）
A、ex﹣e﹣x B、（ex+e﹣x）
C、（e﹣x﹣ex） D、（ex﹣e﹣x）
14、已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2008）+f（2009）的值为（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、1 D、2
15、设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A、﹣3 B、3
C、﹣8 D、8
16、若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、1 D、2
17、在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2﹣x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）
（ ）
A、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
B、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
18、若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，2） B、（2，+∞）
C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D、（﹣2，2）
19、下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）21世纪教育网
A、y=tg|x| B、y=cos（﹣x）
C、 D、
20、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（ ）
A、a≤﹣2 B、a≥2
C、a≤﹣2或a≥2 D、﹣2≤a≤2
二、填空题（共5小题）
21、设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为 _________ ．
22、已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a﹣3，2a]，则f（x）的值域为 _________ ．
23、已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，则x∈[﹣4，0]时f（x）的表达式f（x）= _________ ．
24、若函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是 _________ ．
25、若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=
（1）求f（﹣1）的值；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）求当x＜0时，函数的解析式．
27、设a＞0，是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
28、设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b的值为 _________ ．
29、若f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）+g（x）=2x，求f（x）和g（x）的解析式．
30、设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称?对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），且f（1）=a＞0．
（1）求f；
（2）证明f（x）是周期函数；
（3）记an=f（2n+），求．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若函数y=f（x+1）是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）21*cnjy*com
A、y=f（x）图象关于直线x=1对称 B、y=f（x+1）图象关于y轴对称
C、必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立 D、必有f（1+x）=f（1﹣x）成立
考点：函数的图象与图象变化；偶函数。
专题：探究型。
分析：根据偶函数的定义“对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）为偶函数”及“偶函数的图象关于y轴对称”进行判定．
解答：解：对于A选项，由于y=f（x）图象是由函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位得到，故y=f（x）图象关于直线x=1对称，正确；
对于B选项，由于函数y=f（x+1）是偶函数，故y=f（x+1）图象关于y轴对称；正确；
对于C选项，函数y=f（x+1）是偶函数，有f（1+x）=f（1﹣x）成立，故C错；
对于D选项，函数y=f（x+1）是偶函数，有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立，故D正确；
综上知，应选C．
故选C．
点评：本题主要考查了偶函数的定义、函数的图象与图象变化，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
2、已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[﹣2，2]时，f（x）=g（x）．则当x∈[﹣4n﹣2，﹣4n+2]n∈Z时，f（x）的解析式为（ ）
A、g（x） B、g（x+2n）
C、g（x+4n） D、g（x﹣4n）
3、函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（ ）21*cnjy*com
A、增函数 B、减函数
C、先增后减的函数 D、先减后增的函数
考点：函数单调性的判断与证明；偶函数；函数的周期性。
分析：先利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反求得f（x）在[0，1]上是增函数；再利用周期为2即可得f（x）在[2，3]上的单调性．
解答：解：∵偶函数f（x）在[﹣1，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，1]上是增函数．
由周期为2知该函数在[2，3]上为增函数．
故选 A．
点评：本题是对函数单调性，奇偶性和周期性的综合考查．一般出小题时，经常把函数的这几种性质复合在一起，同时考查，但因为都是基础知识，所以属于容易题．
4、已知偶函数f（x）满足条件：当x∈R时，恒有f（x+2）=f（x），且0≤x≤1时，有f′（x）＞0，则f（），f（），f（）的大小关系是（ ）?
A、f（）＞f（）＞?f（） B、f（）＞f（）＞?f（）
C、f（）＞f（）＞f（） D、f（）＞f（）＞f（）
考点：函数单调性的性质；偶函数；函数的周期性。
专题：常规题型；综合题。
分析：0≤x≤1时，有f′（x）＞0?f（x）在[0，1]上为增函数?在[﹣1，0]上为减函数?在[1，2]上为减函数，再把变量都转化到区间[1，2]上即可．
解答：解：∵0≤x≤1时，有f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上为增函数，
又∵f（x）是偶函数，∴在[﹣1，0]上为减函数，
由f（x+2）=f（x）得周期为2，所以f（x）在[1，2]上为减函数
又因为=5，=7，=5，
所以f（）=f（1），f（）=f（1），f（）=f（1），且1＜1＜1
所以 f（）＞f（）＞f（）
故选 B．
点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性和周期性．在利用单调性解题时遵循原则是：增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越小函数值越小．
5、已知函数f（x）=xsinx，若x1、且f（x1）＜f（x2），则下列不等式中正确的是（ ）
A、1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＜0 D、x12＜x22
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题。
分析：先判断函数的奇偶性，易知是偶函数，同时再证明单调性，即可得到结论．
解答：解：由已知得f（x）是偶函数，且在区间上递增，
由f（x1）＜f（x2）得|x1|＜|x2|，
即x12＜x22．
故选D
点评：本题主要考查函数单调性的定义和奇偶性在对称区间上单调性．
6、已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若，则f（lgx）＞f（1）的取值范围是（ ）
A、（，1） B、（0，）∪（1，+∞）
C、（，10） D、（0，1）∪（10，+∞）
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题。
分析：利用偶函数的性质，f（1）=f（﹣1），在[0，+∞）上是减函数，在（﹣∞，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围．
解答：解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）
得：﹣1＜lgx＜1，
∴＜x＜10，
故答案选C．
点评：本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用．
7、函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则f（1），f（2.5），f（3.5）的大关系是（ ）
A、f（2.5）＜f（1）＜f（3.5） B、f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）
C、f（3.5）＞f（2.5）＞f（1） D、f（1）＞f（3.5）＞f（2.5）
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：根据函数y=f（x+2）是偶函数，知x=2是其对称轴，又函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，可知其在（2，4）上为减函数，
而2.5，3.5∈（2，4），1?（2，4），而f（1）=f（3），根据函数的单调性可得结果．
解答：解：因为函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，
所以x=2是对称轴，在（2，4）上为减函数，
f（2.5）＞f（1）=f（3）＞f（3.5）．
故选B．
点评：考查函数的奇偶性和单调性，并且根据函数的单调性比较函数值的大小，属基础题．
8、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（ ）
A、（﹣∞，0） B、
C、 D、
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题；转化思想。
分析：由偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，可得f（）=f（），把不等式转化为自变量不等式，去掉对应法则f，达到求解不等式的目的．
解答：解；∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（）
∴f（）=f（），
∵函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，
∴＜，解得：0＜x＜
故选B．
点评：函数f（x）是偶函数等价于f（x）=f（﹣x）=f（），偶函数在对称区间上单调性相反，考查了函数单调性定义的应用，把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了转化的数学思想．
9、已知函数f（x）=x﹣sinx，若且f（x1）＜f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A、x1＞x2 B、x1＜x2
C、x1+x2＜0 D、x1+x2＜0
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：综合题；综合法。
分析：研究函数的单调性，用单调性解不等式即可得到两自变量的大小．
解答：解：∵f′（x）=1﹣cosx≥0
∴f（x）=x﹣sinx在上是增函数，
又f（x1）＜f（x2）
∴x1＜x2，
故选B．
点评：本题考查用函数的单调性化简不等式，以及用导数研究函数的单调性．属于基本题型．
10、已知偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（ ）
A、f（a+1）≥f（b+2） B、f（a+1）＞f（b+2）
C、f（a+1）≤f（b+2） D、f（a+1）＜f（b+2）
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题。
分析：考查本题的形式，宜先用偶函数的性质求出b值，再由单调性确定参数a的值，最后根据函数的单调性可判断f（a+1）与f（b+2）的大小．
解答：解：∵y=loga|x﹣b|是偶函数
∴loga|x﹣b|=loga|﹣x﹣b|
∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|
∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2
整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0
由此函数变为y=loga|x|
当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，
又偶函数y=loga|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增
故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1
综上得0＜a＜1，b=0
∴a+1＜b+2，而函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递减
∴f（a+1）≥f（b+2）
故选A．
点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查了根据函数的奇偶性与单调性特征求参数的值以及确定参数的范围，比较函数值的大小，是函数性质综合考查的一个题，题后应总结函数性质的应用规律．
11、已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围是（ ）
A、（﹣1，2） B、[﹣1，2）
C、 D、
考点：函数单调性的性质；偶函数。
专题：计算题。
分析：根据f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|），从而将f（2x﹣1）＜f（3）转化成f（|2x﹣1|）＜f（|3|），然后根据函数的单调性建立关系式，解之即可．
解答：解：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）
∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（|3|）
又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加
得|2x﹣1|＜3解得﹣1＜x＜2．
故选A．
点评：本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合知识，并考查了如何解不等式，属于中档题．
12、已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ）
A、0 B、2
C、﹣2 D、﹣4022
考点：奇函数；偶函数。
专题：计算题。
分析：由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（﹣1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解．
解答：解：∵f（x）是R上的偶函数，∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0，
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，
由于奇函数的图象关于原点对称，此点是由函数f（x）的图象的对称中心右移一个单位得到
∴函数f（x）的图象有对称中心（﹣1，0），即f（﹣1）=0，
因为f（﹣x）=f（x），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），
∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+1）=f（x﹣3），
∴函数f（x）存在周期T=4，又f（2）=﹣2，f（﹣1）=0，
利用条件可以推得：f（﹣1）=f（1）=0，f（2）=﹣2，f（3）=f（4﹣1）=0，
f（﹣3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=2，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=f（0）=0．
故选A．
点评：此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，在利用已知的条件求出函数值．
13、（2011?湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，则g（x）=（ ）
A、ex﹣e﹣x B、（ex+e﹣x）
C、（e﹣x﹣ex） D、（ex﹣e﹣x）
考点：偶函数；函数解析式的求解及常用方法；奇函数。
专题：计算题。
分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=ex，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
解答：解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）=﹣g（x）
由f（x）+g（x）=ex，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x，
∴g（x）=（ex﹣e﹣x）
故选D
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，是解答本题的关键．
14、（2009?江西）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2008）+f（2009）的值为（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、1 D、2
考点：偶函数。
分析：根据周期性f（x+T）=f（x），奇偶性f（﹣x）=f（x），将自变量调节到[0，2）内，再计算结果．
解答：解：f（﹣2008）+f（2009）=f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1）=log21+log22=1，
故选C
点评：本题是函数性质的综合应用，属于基本知识的考查．
15、（2008?辽宁）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A、﹣3 B、3
C、﹣8 D、8
考点：偶函数。
分析：f（x）为偶函数?f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数?f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）?a=b或a=﹣b
解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故选C．
点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：
（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x）
②增函数x1＜x2?f（x1）＜f（x2）；减函数x1＜x2?f（x1）＜f（x2）．
（2）培养数形结合的思想方法．
16、（2008?辽宁）若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=（ ）
A、﹣2 B、﹣1
C、1 D、2
考点：偶函数。
分析：本小题主要考查函数的奇偶性的定义：f（x）的定义域为I，?x∈I都有，f（﹣x）=f（x）．根据定义列出方程，即可求解．
解答：解：f（1）=2（1﹣a），f（﹣1）=0
∵f（x）是偶函数
∴2（1﹣a）=0，∴a=1，
故选C．
点评：本题主要考查偶函数的定义，对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法．
17、（2007?天津）在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2﹣x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）
（ ）
A、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 B、在区间[﹣2，﹣1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
考点：偶函数。
分析：根据函数的性质，作出函数的草图，观察图象即可得答案．
解答：解：由f（x）=f（2﹣x）可知f（x）图象关于x=1对称，
又∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（x﹣2）
∴f（x）为周期函数且周期为2，结合f（x）在区间[1，2]上是减函数，
可得f（x）草图．
故选B．
点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：
（1）明确周期性、对称性、奇偶性的关系．
（2）培养数形结合的思想方法．
18、（2005?重庆）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，2） B、（2，+∞）
C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D、（﹣2，2）
考点：偶函数。
分析：偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出[﹣∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．
解答：解：当x∈[﹣∞，0]时f（x）＜0则x∈（﹣2，0]．
又∵偶函数关于y轴对称．
∴f（x）＜0的解集为（﹣2，2），
故选D．
点评：本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想．
19、（2003?上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A、y=tg|x| B、y=cos（﹣x）
C、 D、
考点：偶函数；函数单调性的判断与证明。
分析：化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．
解答：解：y=sin（x﹣）=﹣sin（﹣x）=﹣cosx故选C．
点评：本题考查了三角函数的性质与图象，属于基本知识的考查，是常见题型．要熟练掌握各种三角函数的图象及性质．
20、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（ ）
A、a≤﹣2 B、a≥2
C、a≤﹣2或a≥2 D、﹣2≤a≤2
考点：偶函数；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：由题意可得|a|≤2，解决对峙不等式求得a的取值范围．
解答：解：由题意可得|a|≤2，
∴﹣2≤a≤2，
故选 D．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，得到|a|≤2 是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为 （﹣3，﹣1] ．
考点：函数的值域；奇函数；偶函数。
专题：计算题。
分析：根据奇偶函数的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由两函数的定义域都为R，根据f（x）+g（x）的值域列出不等式，把x换为﹣x，代换后即可求出f（x）﹣g（x）的范围，即为所求的值域．
解答：解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，
得到f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定义域都为R，
把x换为﹣x得：1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，
变形得：1≤﹣f（x）+g（x）＜3，即﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，
则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]．
故答案为：（﹣3，﹣1]
点评：此题考查了函数的值域，以及函数的奇偶性的意义．熟练掌握函数奇偶性的意义，即奇函数在定义域满足f（﹣x）=﹣f（x）；偶函数在定义域满足f（﹣x）=f（x）是解本题的关键．
22、已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a﹣3，2a]，则f（x）的值域为 [3，7] ．
23、已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，则x∈[﹣4，0]时f（x）的表达式f（x）= ．
考点：函数的表示方法；偶函数。
专题：计算题；分类讨论。
分析：利用函数的周期性解决本题．关键要得出函数在一个周期上的解析式，然后将这个区间上的解析式转化到所求的区间．注意奇偶性的应用．
解答：解：函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），
得出f（x+4）=f（x+2+2）=f（2﹣x﹣2）=f（﹣x）=f（x），
故该函数是周期为4的函数．
由于该函数又是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣1，
故当x∈[﹣2，0]时，f（x）=f（﹣x）=﹣2x﹣1，
当x∈[﹣4，﹣2]时，x+4∈[0，2]，因此f（x）=f（x+4）=2（x+4）﹣1=2x+7，
因此，x∈[﹣4，0]时f（x）的表达式f（x）=．
故答案为：．
点评：本题考查函数周期性和奇偶性的关系，考查函数周期性的确定，考查利用函数奇偶性写函数的解析式，考查分段函数求函数的解析式，属于中档题．
24、若函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，则f（x）的单调减区间是 [0，+∞） ．
考点：函数的单调性及单调区间；偶函数。
专题：计算题。
分析：由题意函数f（x）=（m﹣1）x2+mx+3 （x∈R）是偶函数，所以对于定义域内的所有的x都有f（﹣x）=f（x）成立，利用此解出m，进而求解出具体函数的单调区间．
解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（m﹣1）x2﹣mx+3=（m﹣1）x2+mx+3对于x取何值都成立，
∴m=0．
这时f（x）=﹣x2+3，
∴单调减区间为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）
点评：此题考查了利用偶函数的定义求出题中所含的字母参数m的值，还考查了二次函数的单调区间．
25、若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 （﹣∞，0） ．
考点：函数的单调性及单调区间；偶函数。
专题：计算题。
分析：令奇次项系数为0求出k的值，求出对称轴及开口方向，求出单调递减区间．
解答：解：函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数
所以k﹣1=0
解得k=1
所以f（x）=x2+2，
此二次函数的对称轴为x=0，开口向上
所以f（x）的递减区间是（﹣∞，0）
故答案为：（﹣∞，0）．
点评：整式函数若为偶函数则不含奇次项，若为奇函数则不含偶次项；二次函数的单调区间与对称轴及开口方向有关，属基础题．
三、解答题（共5小题）
26、函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=
（1）求f（﹣1）的值；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）求当x＜0时，函数的解析式．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；偶函数。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）利用偶函数的性质可得，f（﹣1）=f（1），把x=1代入当x＞0时，函数的解析式求值．
（2）设a＞b＞0，化简f（a）﹣f（b）到因式乘积的形式，判断符号，根据增减函数的定义做出判断．
（3）设x＜0，则﹣x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出 f（﹣x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x＜0时的解析式．
解答：解：（1）f（﹣1）=f（1）=2﹣1=1．
（2）证明：设a＞b＞0，f（a）﹣f（b）=（﹣1）﹣（﹣1）=，
由a＞b＞0知，＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣1=f（x），
∴f（x）=﹣1，即当x＜0时，函数的解析式为 f（x）=﹣1．
点评：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，证明函数的单调性，以及求函数的解析式的方法．
27、设a＞0，是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
考点：函数单调性的判断与证明；偶函数。
分析：（1）根据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可得到答案．
（2）用定义法设0＜x1＜x2，代入作差可得．
解答：解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即
∴=0对一切x∈R成立，则，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x1＜x2，则
=，
由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，
得，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
点评：本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．
28、设g（x）为R上不恒等于0的奇函数，（a＞0且a≠1）为偶函数，则常数b的值为 2 ．
29、若f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）+g（x）=2x，求f（x）和g（x）的解析式．
考点：奇函数；函数解析式的求解及常用方法；偶函数。
专题：计算题；转化思想。
分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．
解答：解：∵f（x）为定义在R上的偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
又∵g（x）为定义在R上的奇函数
g（﹣x）=﹣g（x）
由f（x）+g（x）=2x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，
∴g（x）=（2x﹣2﹣x）
f（x）=（2x+2﹣x）．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x，是解答本题的关键．
30、设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称?对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f；
（Ⅱ）证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）记an=f（2n+），求．
考点：偶函数；极限及其运算。
分析：（1）通过对x1、x2合理的赋值以及配凑，构造所求的结论．
（2）偶函数?f（﹣x）=f（x）；关于直线x=a对称?f（2a﹣x）=f（x）．
解答：（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，
都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），所以
∵
f（1）=a＞0，（3分）
∴，（6分）
（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
故f（x）=f（1+1﹣x），即f（x）=f（2﹣x），x∈R
又由f（x）是偶函数知f（﹣x）=f（x），x∈R，
∴f（x）=f（x﹣2），x∈R，
得f（x）=f（x+2），x∈R
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]
∵f（）=f（n×）=f（）=f（）n
∴，（12分）
∵f（x）的一个周期是2
∴f（2n+）=f（），因此an=
∴（lnan）=．（14分）
点评：本题考查了抽象函数和函数性质的综合应用．抽象函数往往是通过对自变量合理的赋值来解决问题；函数周期性、奇偶性、对称性三者之间具有知二求一的关系．
