函数奇偶性的判断
一、选择题（共20小题）
1、下列五个命题中，正确的有几个？（ ）
①函数与是同一函数；
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
③函数是奇函数；
④函数在x∈（﹣∞，0）上是增函数；
⑤定义在R上的奇函数f（x）有f（x）?f（﹣x）≤0．
A、1 B、2
C、3 D、4
2、下列函数中同时满足（1）在区间上是增函数；（2）以π为周期；（3）是偶函数，三个条件的是（ ）21*cnjy*com
A、y=tanx B、y=e﹣cosx
C、y=sin|x| D、y=|sinx|
3、已知函数，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（ ）
A、y=x﹣2 B、y=x﹣1
C、y=x2 D、
5、已知函数，那么f（x）是（ ）
A、偶函数又是增函数 B、偶函数又是减函数
C、奇函数又是增函数 D、奇函数又是减函数
6、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）21*cnjy*com
A、y=x3 B、y=|x|+1
C、y=﹣x2+1 D、y=2﹣|x|
7、已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b都有f（a?b）=af（b）+bf（a），则（ ）
A、f（x）是奇函数，但不是偶函数
B、f（x）是偶函数，但不是奇函数
C、f（x）既是奇函数，又是偶函数
D、f（x）既非奇函数，又非偶函
8、函数f （x ）=的奇偶性及单调性的情况是（ ）21*cnjy*com
A、增函数、偶函数
B、减函数、奇函数
C、增函数、非奇非偶函数
D、减函数、非奇非偶函数
9、下列函数在R上满足f（﹣x）+f（x）=0，且?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0的是（ ）
A、f（x）=﹣x3 B、f（x）=sinx
C、 D、
10、已知函数f（x）=3﹣（x≠0），则函数f（x）（ ）
A、是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数
B、是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C、是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
D、是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
11、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、 B、y=2﹣x*
C、 D、y=﹣|x|
12、下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是（ ）
A、f（x）=sinx+x2 B、f（x）=
C、 D、f（x）=3x﹣3﹣x
13、若f（x）是偶函数，其定义域为（﹣∞，+∞），且在[0，+∞）上是减函数，则的大小关系是（ ）
A、＞
B、≥
C、＜
D、≤
14、关于函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1），有以下四个结论
（1）当a=0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
（2）f（x）不可能是增函数；
（3）f（x）不可能是奇函数；
（4）存在a，使得f（x）的图象是轴对称的．其中正确的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
15、对于任意的实数a，b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中函数 y=f（x）（x∈R）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=（x﹣1）2﹣2；函数y=g（x）（x∈R）是正比例函数，其图象与x≥0时函数y=f（x）的图象如图所示，则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（ ）
A、y=F（x）为奇函数
B、y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数
C、y=F（x）的最小值为﹣2，最大值为2
D、以上说法都不正确
16、下列函数中为偶函数的是（ ）
A、 B、y=﹣x
C、y=x2 D、y=x3+1
17、下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A、 B、y=x3
C、y=2|x| D、y=cosx
18、设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A、f（x）+|g（x）|是偶函数
B、f（x）﹣|g（x）|是奇函数
C、|f（x）|+g（x）是偶函数
D、|f（x）|﹣g（x）是奇函数
19、下列命题中，真命题是（ ）
A、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是偶函数
B、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数
C、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是偶函数
D、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是奇函数
二、填空题（共5小题）
20、设函数f（x）的定义域，值域分别为A，B，且A∩B是单元集，下列命题中：
①若A∩B={a}，则f（a）=a；
②若B不是单元集，则满足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；
④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数．
正确命题的序号为 _________ ．
21、定义Mxn=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1）（x∈R，n∈N*），如M﹣44=（﹣4）×（﹣3）×（×2）×（﹣1）=24．对于函数f（x）=Mx﹣13，给出下列四个命题：
①f （x）的最大值为；②f （x）为奇函数；③f（x）的图象不具备对称性；④f （x）在上是减函数，
真命题是 _________ （填命题序号）．
22、请写出符合下列条件的一个函数表达式 _________ ．
①函数在（﹣∞，﹣1）上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值3．
23、设函数f（x），g（x）的定义域分别为DJ，DE．且DJ?DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x） = _________ ；设f（x）=2x﹣1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x） 是偶函数，则g（x）= _________ ．
24、下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n
下列说法中正确的命题的序号是 _________ （填出所有正确命题的序号）．
①；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称
三、解答题（共5小题）
25、设实数x，y同时满足条件：4x2﹣9y2=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并证明．
26、已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
27、已知函数
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）为奇函数．
28、已知函数f（x）=．
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．
29、已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列五个命题中，正确的有几个？（ ）
①函数与是同一函数；
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
③函数是奇函数；
④函数在x∈（﹣∞，0）上是增函数；
⑤定义在R上的奇函数f（x）有f（x）?f（﹣x）≤0．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：判断两个函数是否为同一函数；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：①由同一函数的概念，地暖易于、值域和对应关系均相同，而的定义域为R，的定义域为x＞0，故错误．
②中应考虑到k=0和k≠0两种情况
③由奇函数的定义判断即可．
④可通过导数或定义判断单调性
⑤由及函数的定义可直接得到
解答：解：①中的定义域为R，的定义域为x＞0，故错误
②中k=0时A={﹣1}符合要求，故②错误
③由及函数的定义f（﹣x）==﹣f（x），所以f（x）是奇函数正确
④，x∈（﹣∞，0）时，y′＞0，故函数在x∈（﹣∞，0）上是增函数正确；
⑤定义在R上的奇函数f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）?f（﹣x）=﹣f2（x）≤0．正确．
故正确的命题有③④⑤三个
故选C
点评：本题考查命题真假的判断、函数的概念、函数奇偶性、单调性的判断等知识，属基本题型的考查．
2、下列函数中同时满足（1）在区间上是增函数；（2）以π为周期；（3）是偶函数，三个条件的是（ ）
A、y=tanx B、y=e﹣cosx
C、y=sin|x| D、y=|sinx|
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：可将y=sinx的图象在x轴下方的部分关于x轴对称即可得到y=|sin|的图象即可直观的看出D选项满足条件（1）（2）（3）．
解答：解：对于A：结合y=tanx的图象和性质可知满足（1）（2）但不满足（3）． 故答案A错．
对于B：y=e﹣cosx可以看做是由y=et，t=﹣cosx复合而成根据复合函数的单调性可知满足（1）但e﹣cos（x+π）=ecosx≠e﹣cosx故根据周期函数的定义π不是y=e﹣cosx的周期即不满足（2）．故答案B错．
对于C：对于任意x，sin|x|≠sin|x+π|故根据周期函数的定义π不是y=sin|x|的周期即不满足（2）．故答案C错．
对于D：可利用图象的变换做出y=|sin|的图象然后根据图象可直接得出满足（1）（2）（3）．故答案D对．
故选D
点评：本题主要考查了利用函数的图象判断函数的单调性，周期性，奇偶性．关键是要掌握利用初等的函数图象经过图象的变换得出较复杂的函数图象同时本题还附带考查了复合函数的单调性（同增异减）！
3、已知函数，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
故方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同，故④正确
故选D
点评：要判断一个函数的奇偶性，我们需要经过两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②判断f（﹣x）与f（x）的值是相等还是相反．反之，当已知函数为奇函数或偶函数时，要注意此时函数的定义域一定关于原点对称，且f（﹣x）与f（x）的值是相反或相等．要判断一一个函数是否为周期函数，则要判断f（x+T）=f（X）是否恒成立．
4、下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（ ）
A、y=x﹣2 B、y=x﹣1
C、y=x2 D、
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．
解答：解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故A正确；
函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故B错误；
函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞） 上单调递增，故C错误；
函数，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递增，故D错误；
故选A．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．
5、已知函数，那么f（x）是（ ）
A、偶函数又是增函数 B、偶函数又是减函数
C、奇函数又是增函数 D、奇函数又是减函数
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：由奇偶性的定义判断：=﹣f（x），因此函数为奇函数．再利用导数工具，可以得出函数的导数恒为正数，所以函数是R上的增函数．
解答：解：∵
∴=﹣f（x），而函数的定义哉关于原点对称
∴f（x）为奇函数
又∵f′（x）==
∴函数f（x）是R上的增函数
故选C．
点评：本题主要考查奇偶性的和单调性的定义和应用，属于基础题．牢牢把握定义，准确运用定义，结合导数工具来解题是本题的关键．
6、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A、y=x3 B、y=|x|+1
C、y=﹣x2+1 D、y=2﹣|x|
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：常规题型。
分析：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．
解答：解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，
所以选项A错误；
又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，
所以选项C、D错误，只有选项B正确．
故选B．
点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．
7、已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b都有f（a?b）=af（b）+bf（a），则（ ）
A、f（x）是奇函数，但不是偶函数 B、f（x）是偶函数，但不是奇函数
C、f（x）既是奇函数，又是偶函数 D、f（x）既非奇函数，又非偶函
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：证明题。
分析：由题意可得给a，b赋值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=﹣1，可得f（﹣1）=0，令a=x，b=﹣1，即可得到答案．
解答：解：由题意可得：令a=b=1，则有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=﹣1，则有f（1）=﹣2f（﹣1），
所以f（﹣1）=0，
若令a=x，b=﹣1，
所以有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（x）为奇函数．
故选A．
点评：本题考查了函数奇偶性的定义，即f（﹣x）与f（x）的关系，而研究抽象函数的奇偶性一般运用的方法是赋值法，此题是个基础题．
8、函数f （x ）=的奇偶性及单调性的情况是（ ）
A、增函数、偶函数 B、减函数、奇函数
C、增函数、非奇非偶函数 D、减函数、非奇非偶函数
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：首先看函数定义域是否关于原点对称，然后利用奇偶性定义判断即可．
解答：解：由题可知：则可得函数定义域为：﹣1≤x＜1，所以为非奇非偶函数．
令g（x）==﹣=﹣（1+），
由此判断g（x）在﹣1≤x＜1上单调递增，从而知f（x）在﹣1≤x＜1上也单调递增．
故选C．
点评：本题考查函数奇偶性和单调性的判断，是基础性知识．
9、下列函数在R上满足f（﹣x）+f（x）=0，且?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0的是（ ）
A、f（x）=﹣x3 B、f（x）=sinx
C、 D、
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：综合题。
分析：由题设条件知，所给的函数是一个奇函数，且是一个减函数，由此性质对比四个选项即可选出正确选项．
解答：解：∵函数在R上满足f（﹣x）+f（x）=0，且?x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0∴函数在定义域上是奇函数，且是一个减函数，
考察四个选项，只有A中的函数符合要求．
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，以及幂函数、三角函数、指数函数的性质．涉及到的知识较多，有一定的综合性．
10、已知函数f（x）=3﹣（x≠0），则函数f（x）（ ）
A、是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数 B、是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C、是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数 D、是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：根据函数的解析式，由函数奇偶性的定义，我们可以判断出函数的奇偶性，再由函数单调性的性质，我们可以判断出函数在区间（0，+∞）上的单调性，进而得到答案．
解答：解：∵f（x）=3﹣（x≠0），
∴f（﹣x）=﹣3+=﹣f（x）
∴函数f（x）是奇函数，
又∵函数y=3在（0，+∞）上是增函数，函数y=在（0，+∞）上是减函数
由“增函数﹣减函数=增函数”，我们可得函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故选C
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断，函数奇偶性的判断，其中熟练掌握基本函数的单调性和奇偶性，以及函数性质的性质是解答本题的关键．
11、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A、 B、y=2﹣x*
C、 D、y=﹣|x|
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：综合题。
分析：选项中的四个函数分别是指数型的，反比例函数，对数型函数，以及一次绝对值函数，根据相关函数的性质对每个函数的进行验证即可找出正确选项．
解答：解：对于选项A，是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故A不对；
对于选项B，y=2﹣x*无法判断其奇偶性，故B不正确；
对于选项C，的定义域为﹣1＜x＜1，且为奇函数，令，则，所以在定义域上为减函数．故C正确；
对于选项D，函数y=﹣|x|的图象为一折线，在整个定义域上不是单调函数，且是偶函数，故D不正确．
由上分析知，选项C是正确的．
故选C．
点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查基本函数单调性的判断与其奇偶性的判断，函数奇偶性与单调性是函数的两个非常重要的性质，奇函数的图象关于原点成中心对称图象，偶函数的图象关于y轴成中心对称图形，具有奇偶性的函数在对称的区间上奇函数的单调性相同，而偶函数在对称区间上相反，熟练掌握这些知识，可以迅速准确地做出正确判断．
12、下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是（ ）
A、f（x）=sinx+x2 B、f（x）=
C、 D、f（x）=3x﹣3﹣x
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题；证明题。
分析：C：因为函数的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，所以此函数不具有奇偶性．
A：因为函数不满足f（﹣x）≠﹣f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数．
B：由函数的解析式可得：f′（x）=1﹣≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数．
D：由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数．
解答：解：根据函数奇偶性的定义可得：若函数具有奇偶性则其定义域关于原点对称，因为函数的定义域为（0，+∞），所以此函数不具有奇偶性，所以C答案错误．
A：因为函数的解析式为f（x）=sinx+x2，所以f（﹣x）≠﹣f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数，所以A错误．
B：由函数f（x）=可得：f′（x）=1﹣，所以f′（x）=1﹣≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数，所以B错误．
D：由函数f（x）=3x﹣3﹣x可得f（﹣x）=﹣f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数，所以D正确．
故选D．
点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义域判定方法，以及掌握利用导数判定函数的单调性，掌握导数的运算公式与运算法则．
13、若f（x）是偶函数，其定义域为（﹣∞，+∞），且在[0，+∞）上是减函数，则的大小关系是（ ）
A、＞ B、≥
C、＜ D、≤
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：先根据偶函数将f（）转化成f（），在同一个单调区间上比较a2+2a+与的大小，再根据函数的单调性进行判定即可．
解答：解：∵f（x）是偶函数
∴f（）=f（）
而a2+2a+﹣=（a+1）2≥0
∴a2+2a+≥＞0
∵函数f（x）在[0，+∞）上是减函数
∴≥
故选B
点评：本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题
14、关于函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1），有以下四个结论
（1）当a=0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
（2）f（x）不可能是增函数；
（3）f（x）不可能是奇函数；
（4）存在a，使得f（x）的图象是轴对称的．其中正确的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：复合函数的单调性；函数的值域；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：由二次函数的图象与性质及对数函数的图象和性质，求出当a=0时，f（x）的值域，可判断（1）的真假；由复合函数的单调性及二次函数及对数函数的单调性，可判断（2）的真假；根据函数奇偶性的定义可判断（3）的真假；根据二次函数的对称性，可以判断（4）的真假，进而得到答案．
解答：解：（1）当a=0时，f（x）=ln（x2+1），x2+1∈[1，+∞），所以f（x）的值域为[0，+∞），故（1）正确；
（2）由于内函数t=x2+ax﹣a+1有两个单调区间，故f（x）也一定有两个单调区间，一个单调增区间，一个单调减区间，故（2）正确；
（3）a=0时，函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1）是偶函数，当a≠0时函数f（x）=ln（x2+ax﹣a+1）是非奇非偶函数，故（3）正确；
（4）由于内函数t=x2+ax﹣a+1的图象是轴对称的，故f（x）的图象是轴对称的，故（4）正确
故选D
点评：本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，函数奇偶性的判断，函数图象的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质是解答本题的关键．
15、对于任意的实数a，b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中函数 y=f（x）（x∈R）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=（x﹣1）2﹣2；函数y=g（x）（x∈R）是正比例函数，其图象与x≥0时函数y=f（x）的图象如图所示，则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（ ）
A、y=F（x）为奇函数 B、y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数
C、y=F（x）的最小值为﹣2，最大值为2 D、以上说法都不正确
考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．
解答：
解：∵f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}，
∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，
f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，
由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；
y=F（x）在（﹣3，0）上不为增函数；
y=F（x）的没有最小值和最大值为，
故选D．
点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．
16、下列函数中为偶函数的是（ ）
A、 B、y=﹣x
C、y=x2 D、y=x3+1
考点：偶函数；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：根据偶函数的定义“对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）为偶函数”进行判定．
解答：解：对于A，定义域为[0，+∞），不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数，
对于B，定义域为R，不满足f（x）=f（﹣x），不是偶函数，
对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，
对于D，不满足f（x）=f（﹣x），则不是偶函数，
故选C．
点评：本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
17、下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A、 B、y=x3
C、y=2|x| D、y=cosx
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。
专题：阅读型。
分析：根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．
解答：解：对于
函数的定义域为x∈R且x≠0
将x用﹣x代替函数的解析式不变，
所以是偶函数
当x∈（0，+∞）时，
∵
∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数
故选A．
点评：本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性．
19、设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A、f（x）+|g（x）|是偶函数 B、f（x）﹣|g（x）|是奇函数
C、|f（x）|+g（x）是偶函数 D、|f（x）|﹣g（x）是奇函数
考点：函数奇偶性的判断。
专题：阅读型。
分析：由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
则|g（x）|也为偶函数，
则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；
f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；
|f（x）|也为偶函数，
则|f（x）|+g（x）与f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定
故选A
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．
20、下列命题中，真命题是（ ）21世纪教育网
A、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是偶函数 B、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数
C、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是偶函数 D、?m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）都是奇函数
考点：函数奇偶性的判断。
分析：本题主要考查函数奇偶性的基本概念即在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，在定义域内对于任意的x都有f（﹣x）=f（x），则f（x）是偶函数，还考查了存在量词、全称量词的含义与应用，属于容易题．
解答：解：A、当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，故A正确；
B、f（﹣x）=x2﹣mx，﹣f（x）=﹣x2﹣mx，不存在m使函数在定义域内对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x），故B错误；
C、仅当m=0时f（x）是偶函数，m取其它值均不满足题意，故C错误；
D、一个m也没有更谈不上对任意的m的值，故D错误．
故选A．
点评：本题主要是函数奇偶性的应用，判断函数奇偶性有两步①定义域是否关于原点对称②若定义域关于原点对称则再看f（﹣x）与f（x）的关系，有时奇偶性的判断也可以根据函数的图象．
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
21、设函数f（x）的定义域，值域分别为A，B，且A∩B是单元集，下列命题中：
①若A∩B={a}，则f（a）=a；
②若B不是单元集，则满足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；
④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数．
正确命题的序号为 ②③ ．
考点：集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的判断；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：用构造具体函数的方法来验证每一个命题的真伪，对构造的函数的要求是其能满足命题中的条件，然后以之来判断命题成立与否．
解答：解：通过 对概念的理解，可以如下判断这四个命题的真假．
①a∈A，即f（a）有定义；a∈B，即存在b∈A使得f（b）=a．这里并不要求f（a）=a；
比如，A={0，1}，f（x）=x+1；①不对；
②构造一个一一对应的函数如：f（x）=x+1，A={0，1}，B={1，2}，
要f（f（x））有意义，只有x=0，f（f（0））=f（1）=2≠f（0）；因此②成立
③说可能存在，具体找到一个就行，常数函数f（x）=1．③也成立
④要求A∩B是单元集，周期函数的定义域是无界的，但不一定要连续，构造一个周期函数去否定④，
如A=Z，若x是偶数，则，f（x）=0，若x为奇数，则f（x）=，f（x）是周期为2的周期函数，B={0，}，A∩B={0}；
故答案为②③．
点评：解本题的关键是对概念的理解，以及根据相关的概念构造一个符合题意且又能说明问题的具体函数，这种技巧与做选择题时的特值法差不多，请答题者仔细品味本题中的数学技巧与数学思想．
22、定义Mxn=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1）（x∈R，n∈N*），如M﹣44=（﹣4）×（﹣3）×（×2）×（﹣1）=24．对于函数f（x）=Mx﹣13，给出下列四个命题：
①f （x）的最大值为；②f （x）为奇函数；③f（x）的图象不具备对称性；④f （x）在上是减函数，
真命题是 ②④ （填命题序号）．
考点：函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：综合题。
分析：由题中条件可得，f（x）=Mx﹣13=（x﹣1）（x）（x+1）=x（x2﹣1）=x3﹣x，对函数求导可得，f′（x）=3x2﹣1，
①通过研究函数的单调区间求解函数的极值及最值进行判断；②利用奇函数的定义验证f（﹣x）=﹣f（x）是否成立；③结合②的讨论可进行判断即可④由①的讨论可知
解答：解：由题意可得，f（x）=Mx﹣13=（x﹣1）（x）（x+1）=x（x2﹣1）=x3﹣x
①：f′（x）=3x2﹣1，
由f′（x）＞0可得；由f′（x）＜0可得
所以可得函数在（﹣∞，），单调递增，在（）单调递减
故可得函数在x=﹣处取得极大值，而没有最大值①错误
②：f（﹣x）=（﹣x）3+x=﹣x3+x=﹣f（x），故函数为奇函数，②正确
③：由②可得函数的图象关于原点对称③错误
④：由①的讨论可知④正确
故答案为：②④
点评：本题以新定义为载体，综合考查了函数的性质，解答本题的关键是要根据题目中的定义求解出函数的解析式，进而结合导数的知识求解．
23、请写出符合下列条件的一个函数表达式 y=x2+3等 ．
①函数在（﹣∞，﹣1）上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值3．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断。
专题：探究型。
分析：根据三个条件，应该从基本函数或基本函数的变换中去找．
解答：解：如函数y=x2+3，在（﹣∞，0）上是减函数，则在（﹣∞，﹣1）上递减；
它是偶函数，当x=0时，有最小值3，
符合条件，
故答案为：y=x2+3等
点评：本题通过探究函数的性质，来考查学生常见的函数，这样用开放的形式，能开拓学生的视野，丰富学生的知识，锻炼学生的思维．
24、设函数f（x），g（x）的定义域分别为DJ，DE．且DJ?DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）= xln|x| ；设f（x）=2x﹣1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）= 2﹣|x|﹣1 ．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的概念及其构成要素；函数奇偶性的判断。
专题：新定义。
分析：利用题目提供的信息，可得g（x）在DJ上的解析式，然后通过函数的奇偶性可求得其在对称区间上解析式，综合结论即可得答案．
解答：解：∵若f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数
∴当x＞0时，g（x）=f（x）=xlnx 又∵g（x）是奇函数∴当x＜0时，﹣x＞0∴f（﹣x）=（﹣x）ln（﹣x）=﹣xln（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=xln（﹣x），x＜0 综上当x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，f（x）=xln|x|
若f（x）=2x﹣1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数∴当x≤0时，g（x）=f（x）=2x﹣1∵g（x）是偶函数
∴当x＞0时，﹣x＜0∴g（﹣x）=g（x）=2﹣x﹣1 x＞0 综上g（x）=2﹣|x|﹣1
故答案为：xln|x；|2﹣|x|﹣1
点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题．
25、下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n
下列说法中正确的命题的序号是 ③④ （填出所有正确命题的序号）．
①；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称
考点：映射；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象。
分析：借助于图形来看四个选项，先利用f（）=﹣1，判断出①错，
在有实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错
从图形上可得f（x）在定义域上单调递增，③对
先找到f（）=0，再利用图形判断④对，
解答：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当=时．的坐标为（﹣，1﹣），直线AM的方程为所以点N的坐标为（﹣1，0），故f（）=﹣1，即①错
对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．故②错．
对于③，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．
对于④当实数m=时，对应的点在点A的正下方，此时点N（0，0），所以f（）=0，再由图形可知f（x）的图象关于点（，0）对称，即④对．
故答案为 ③④．
点评：本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．
三、解答题（共5小题）
26、设实数x，y同时满足条件：4x2﹣9y2=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并证明．
27、已知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
考点：函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断；三角函数的最值。
专题：综合题。
分析：（1）分式函数求定义域，即使分母不为零，建立不等式，可结合图象求解
（2）直接应用函数奇偶性的定义进行判定，判定时需要先求定义域
（3）先对函数关系式进行化简，6cos4x+5sin2x﹣4可因式分解成（2cos2x﹣1）（3cos2x﹣1）与分母约分后可转化成关于cosx的二次函数求值域
解答：解：（1）由cos2x≠0得（2分）
解得
所以f（x）的定义域为（4分）
（2）因为f（x）的定义域关于原点对称，且
=，
所以f（x）是偶函数．（7分）
（3）当，
即（8分）
==（10分）
当cos2x=1时，f（x）取最大值2；
当cos2x=0时，f（x）的最小值﹣1∴函数f（x）的最大值2最小值﹣1
点评：本题考查了函数的定义域、奇偶性以及函数的值域．
28、已知函数
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）为奇函数．
29、已知函数f（x）=．21世纪教育网版权所有
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．
考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。
专题：综合题。
分析：（1）根据函数解析式的特性只需接不等式即可．而要证明函数f（x）是奇函数需先说明定义域关于原点对称再说明f（﹣x）=f（x）．
（2）可先利用函数单调性的定义给出证明再给出判断．
解答：解：（1）∵f（x）=
∴
∴﹣1＜x＜1即定义域为（﹣1，1）
又∵定义域为（﹣1，1）关于原点对称且f（﹣x）=（﹣x）+=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x）
∴函数f（x）是奇函数
（2）函数f（x）在定义域内的单调递增．理由如下：
任取x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）
=（x1﹣x2）+（）
∵x1，x2∈（﹣1，1），x1＜x2
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1＞0，1﹣x2＞0且＜0
∴
又∵y=lgx在（0，+∞）单调递增
∴
∴＜0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）在（﹣1，1）单调递增．
点评：本题主要考查了函数定义域的求法和奇偶性单调性的判断与证明．解题的关键是能根据函数的特性求出定义域再根据函数奇偶性的判定方法（①看定义域为是否关于原点对称②求出f（﹣x）若f（﹣x）=f（x）为偶函数；若f（﹣x）=﹣f（x）为奇函数））判断函数f（x）的奇偶性而第二问可采用先根据单调性的定义给出证明再作出判断即可．
30、已知函数f（x）=．21世纪教育网版权所有
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）由分母不能为零得2x﹣1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．
（2）在（1）的基础上，只要再判断f（x）与f（﹣x）的关系即可，但要注意作适当的变形．
（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x＞0时，则有2x＞1进而有2x﹣1＞0，然后得到＞0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．
解答：解：（1）由2x﹣1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）==
∴f（﹣x）==
∴函数f（x）为定义域上的偶函数．
（3）证明：当x＞0时，2x＞1
∴2x﹣1＞0，
∴，
∴＞0
∵f（x）为定义域上的偶函数
∴当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x）＞0成立
点评：本题主要考查函数的定义域，奇偶性和函数的值域，特别是在判断奇偶性时，可作适当变形，但要做到等价变形．
