有理数指数幂的化简求值
一、选择题（共16小题）
1、已知f（x）=2x+2﹣x，若f（a）=3，则f（2a）=（ ）
A、5 B、7
C、9 D、11
2、化简：，结果是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列各式错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、
B、
C、
D、a2+b2=0（a，b∈R）?a=b=0
4、的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）
A、c＞2c B、
C、 D、
6、已知函数f（x）=2x+1，若，则α=（ ）
A、 B、
C、2 D、3
7、下列各式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、a0=1
8、已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax?g（x）（a＞0，a≠0）；②g（x）≠0；若，则a等于（ ）
A、 B、2
C、 D、2或
9、化简的结果（ ）21世纪教育网版权所有
A、6a B、﹣a
C、﹣9a D、9a2
10、设a=0.22，b=20.3，c=log0.22，则（ ）
A、b＞a＞c B、b＞c＞a
C、a＞b＞c D、c＞a＞b
11、a、b＞0，ab=ba且b=9a则a的值为（ ）
A、 B、9
C、 D、
12、设a=30.5，b=0.53，c=㏒0.53，则（ ）
A、a＞b＞c B、a＞c＞b
C、b＞c＞a D、c＞b＞a
13、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A、511个 B、512个
C、1023个 D、1024个
14、当x≥﹣3时，化简得（ ）
A、6 B、2x
C、6或﹣2x D、﹣2x或6或2x
15、乘积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
16、已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）21世纪教育网
A、1 B、﹣1
C、1﹣2a D、2a﹣1
二、填空题（共9小题）
17、已知函数f（x）=，则f（5）= _________ ．
18、若x＞0，则（+）（﹣）﹣4x﹣= _________ ．
19、（文）．已知x，y∈R，（x2﹣2|x|+1）+（y2﹣2|y|+1）=0，则x3﹣y2= _________ ．
20、已知函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值是 _________ ．
21、计算：= _________ ．
22、若函数，，则f[f（2）]= _________ ．
23、= _________ ．
24、若a+a﹣1=3，则= _________ ．
25、已知= _________ ；
三、解答题（共5小题）
26、解方程4x﹣2x+2﹣12=0．
27、分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．
28、分解因式x2y﹣2y3．
29、计算：．
30、．
答案与评分标准
一、选择题（共16小题）
1、已知f（x）=2x+2﹣x，若f（a）=3，则f（2a）=（ ）21世纪教育网
A、5 B、7
C、9 D、11
考点：函数的值；有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：先由f（x）=2x+2﹣x，f（a）=3，解得2a+2﹣a=3，再通过变形找到与22a+2﹣2a关系求解．
解答：解：∵f（x）=2x+2﹣x，f（a）=3，
∴2a+2﹣a=3，
f（2a）=22a+2﹣2a=4a+4﹣a=（2a+2﹣a）2﹣2=9﹣2=7．
故选B
点评：本题主要考查函数求值及配方法的应用．
2、化简：，结果是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：将分子分母同乘以；出现一系列平方差公式，从而化简代数式．
解答：解：
=
=
=
=
=
=
故选A
点评：本题考查化简有理分式指数幂关键通过观察看到规律．
3、下列各式错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、a2+b2=0（a，b∈R）?a=b=0
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：利用指数的运算性质进行验证与排查是解决本题的关键，用对运算性质，灵活掌握合并同类项的方法．
解答：解：对于A：，故A正确；
根据幂的乘方运算法则可知B正确；
C中应为，故C错误；
D是正确的．
故选C．
点评：本题考查指数幂的运算，注意合并同类项的灵活运用．考查学生的运算能力，属于基本题型．
4、的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：根据有理数指数幂的定义，我们易根据有理数指数幂的运算法则，计算出的值．
解答：解：==
故选A
点评：本题考查的知识点是有理数指数幂的化简求值，其中熟练掌握有理数指数幂的意义及运算法则是解答本题的关键．
5、已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）21cnjy
A、c＞2c B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的化简求值。
分析：注意指数函数的单调性跟底的范围有关．
解答：解：
故
点评：本题是对指数函数性质的考查，属简单题．
6、已知函数f（x）=2x+1，若，则α=（ ）
A、 B、
C、2 D、3
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：由f（x）=2x+1，根据=，能求出α的值．
解答：解：∵f（x）=2x+1，
=，
∴α=．
故选A．
点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
7、下列各式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、a0=1
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：本题四个选项中有三个与要式有关，故可将根式转化为有理数指数幂进行化简求值，
解答：解：对于选项A，左边为正，右边为负，故A不正确；
对于选项B，，当a为负数时等式不成立，故B不正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，a0=1当a=0时无意义，故D不正确．
故选C．
点评：本题考点是有理数指数幂的化简求值，考查将根式转化为有理数指数幂的规则与注意事项，对于根式的求值，常将其转化为有理数指数幂，如此大大降低了运算量与运算难度．根式转化为有理指数幂以及有理指数幂的化简求值是函数中基本的运算规则，请熟练掌握．
8、已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax?g（x）（a＞0，a≠0）；②g（x）≠0；若，则a等于（ ）
A、 B、2
C、 D、2或
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：综合题。
分析：分别令x等于1和x等于﹣1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：令x=1，由①得到f（1）=a?g（1）；令x=﹣1，f（﹣1）=，
分别代入②得：a+=，化简得2a2﹣5a+2=0，即（2a﹣1）（a﹣2）=0，解得a=2或a=．
故选D
点评：此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，是一道基础题．
9、化简的结果（ ）
A、6a B、﹣a
C、﹣9a D、9a2
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：由指数幂的运算法则直接化简即可．
解答：解：
==﹣9a
故选C
点评：本题考查指数式的化简、指数幂的运算法则，考查运算能力．
10、设a=0.22，b=20.3，c=log0.22，则（ ）
A、b＞a＞c B、b＞c＞a
C、a＞b＞c D、c＞a＞b
11、a、b＞0，ab=ba且b=9a则a的值为（ ）21cnjy
A、 B、9
C、 D、
考点：有理数指数幂的化简求值。
分析：将已知的等式两边同取常用对数，把a、b的关系代入化简，消去变量b，转化为关于变量a的对数等式，利用对数的性质，化为普通方程，解出a的值．
解答：解：∵a、b＞0，ab=ba且b=9a，∴lgab=lgba，lga9a=lg（9a）a，
∴9a?lga=a?lg9a，∴9?lga=lg9a，∴a9=9a，∴a8=9，
∴a4=3，a=．
故答案选A．
点评：本题考查有理指数幂的化简求值，对数的运算性质．
12、设a=30.5，b=0.53，c=㏒0.53，则（ ）
A、a＞b＞c B、a＞c＞b
C、b＞c＞a D、c＞b＞a
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：函数思想。
分析：利用中间量“0”、“1”和对应的指数（对数）函数的单调性，进行比较大小．
解答：解：∵函数y=0.5x和y=log0.5x在定义域上是减函数，y=3x在定义域上是增函数，
∴a=30.5＞30=1，b=0.53＜0.50=1，c=㏒0.53＜㏒0.51=0，
∴a＞b＞c．
故选A．
点评：本题考查了比较对数和指数幂的大小，常用的方法是利用中间量“0”或“1”，以及函数的单调性来比较大小．
13、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A、511个 B、512个
C、1023个 D、1024个
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：求出细菌分裂次数，利用有理数指数幂，求解即可．
解答：解：经过3个小时，总共分裂了九次，
就是29=512个．，
故选B．
点评：本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．
14、当x≥﹣3时，化简得（ ）
A、6 B、2x
C、6或﹣2x D、﹣2x或6或2x
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：由x≥﹣3，知=x+3﹣（x﹣3），由此能求出其结果．
解答：解：∵x≥﹣3，
∴
=x+3﹣（x﹣3）
=6．
故选A．
点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，解题时要认真审题，注意公式=的合理运用．
15、乘积等于（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题；转化思想。
分析：根据平方差公式展开，约分求得正确答案．
解答：解：=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）==
故选C．
点评：本题考查了有理数的指数幂的化简求值，用到饿了平方差公式，属于基础题型．
16、已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A、1 B、﹣1
C、1﹣2a D、2a﹣1
考点：有理数指数幂的化简求值；方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：首先根据数轴上a点的位置确定出a的取值范围，然后再根据二次根式和绝对值的性质进行化简．
解答：解：由图可知：0＜a＜1，
∴1﹣a＞0；
故|1﹣a|+=1﹣a+a=1．
故选A．
点评：此题考查了二次根式的化简以及绝对值的性质，能够正确的根据数轴判断出a的取值范围是解题的关键．
二、填空题（共9小题）
17、已知函数f（x）=，则f（5）= 8 ．
18、若x＞0，则（+）（﹣）﹣4x﹣= ﹣23 ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：先根据平方差公式和去括号法则展开，然后按照有理数指数幂的运算法则化简计算．
解答：解：原式=2﹣2﹣4x﹣+4x﹣
=4﹣33﹣4+4
=4﹣27﹣4+4x0=﹣27+4
=﹣23．
故答案为﹣23．
点评：有理数指数幂的运算法则：
①ar?as=ar+s（a＞0，r，s都是有理数），
②（ar）s=ars（a＞0，r，s都是有理数），
③（a?b）r=arbr（a＞0，b＞0，r是有理数）．
19、（文）．已知x，y∈R，（x2﹣2|x|+1）+（y2﹣2|y|+1）=0，则x3﹣y2= ﹣2或0 ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：分类讨论。
分析：由于x，y∈R，（x2﹣2|x|+1）+（y2﹣2|y|+1）=0，配方得：（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2=0从而得到|x|﹣1=0且|y|﹣1=0，求得x，y即可．
解答：解：由于x，y∈R，（x2﹣2|x|+1）+（y2﹣2|y|+1）=0
∴（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2=0
∴|x|﹣1=0且|y|﹣1=0
∴或或或
则x3﹣y2=﹣2或0，
故答案为：﹣2或0．
点评：本类题解答的关键是配方成两个非负数的和的形式，后根据实数的性质得出这两个和式都为0．
20、已知函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值是 ±1 ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题；分类讨论。
分析：因为函数f（x）为分段函数，所以须分a≥0以及a＜0两种情况分别代入对应的解析式来求出a，最后综合即可．
解答：解：因为f（a）=1，且f（x）=．
所以当a≥0时，有f（a）=2a﹣1=1?2a=2?a=1；
当a＜0时，有f（a）=﹣a2﹣2a=1?（a+1）2=0?a=﹣1．
综上得：a=±1．
故答案为：±1．
点评：本题考查有理指数幂的化简求值以及分段函数函数值的求法，是基础题．
21、计算：= ﹣4 ．
22、若函数，，则f[f（2）]= ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：先将x=2代入第一段的解析式求出f（2）；再将﹣1代入第二段的解析式求出f[f（2）]的值．
解答：解：f[f（2）]=f（﹣1）=
故答案为
点评：求分段函数的值，首先判断出自变量所属的范围，就将自变量的值代入哪一段的解析式求出值．
23、= 1 ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则化简求值，宜采用将分子分母同乘一个幂的形式，观察发现，所乘的幂正好具有循环性．
解答：解：
=
=
=1
故答案为1．
点评：本题考点是有理数指数幂的化简求值，考查熟练运用指数的运算法则化简求值，指数的运算法则是指数运算的基础，学习时应好好掌握理解．
24、若a+a﹣1=3，则= ±4 ．
考点：有理数指数幂的化简求值。
分析：的值，然后用立方和公式化简求解．
解答：解：∵=a3+a﹣3﹣2=（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）﹣2=3[（a+a﹣1）2﹣3]﹣2=16
∴=±4
故答案为：±4．
点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题．
25、已知= ；
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：由有理数的幂的运算法则将，用10α，10β表示出来，代入求值．
解答：解：由题设，依据幂的运算法则得
==
故答案为
点评：本题考点是有理数指数幂的化简求值，考查有理数指数幂的运算法则，利用有理数指数幂的运算规则化简，把未知用已知表示出来，达到求值的目的．
三、解答题（共5小题）21*cnjy*com
26、解方程4x﹣2x+2﹣12=0．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：此方程为一指数型方程，此类方程的解法是先用换元法解外层的方程，再求x的值，把解方程的过程一分为二，降低题目难度．
解答：解：设2x=t（t＞0）则原方程可化为：t2﹣4t﹣12=0
解之得：t=6或t=﹣2（舍）
∴x=log26=1+log23
∴原方程的解集为{x|x=1+log23}．
点评：本题考查用换元法解指数方程，换元法是解指、对方程常用的一个技巧，合理使用换元法能使解题的难度分化，有利于解题．
27、分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．
28、分解因式x2y﹣2y3．
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：先提取公因式y，再利用平方差公式将已知的代数式因式分解开．
解答：解：原式=y=．
点评：本题考查进行因式分解时，一般先提取公因式．
29、计算：．21*cnjy*com
考点：有理数指数幂的化简求值。
专题：计算题。
分析：直接利用分数指数幂的运算性质计算．
解答：解：原式=（1﹣）÷
=（﹣3）÷
=3×
=2．
点评：有理数指数幂的运算法则：
①ar?as=ar+s（a＞0，r，s都是有理数），
②（ar）s=ars（a＞0，r，s都是有理数），
③（a?b）r=arbr（a＞0，b＞0，r是有理数）．
30、．
考点：有理数指数幂的化简求值。
分析：利用有理指数幂的运算性质，通过提取公因式，来进行化简求值．
解答：解：原式=．
点评：因式分解可能是学生不容易操作的环节．
