有理数指数幂的运算性质
一、选择题（共19小题）
1、下列结论中正确的个数是（ ）
①当a＜0时，a2＞a3；
②=|a|；
③函数y=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是（2，+∞）；
④若100a=5，10b=2，则2a+b=1．
A、0 B、1
C、2 D、3
2、下列命题中，正确命题的个数为（ ）21世纪教育网版权所有
①=a ②若a∈R，则（a2﹣a+1）0=1 ③④．
A、0 B、1
C、2 D、．3
3、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A、5太贝克 B、75In2太贝克
C、150In2太贝克 D、150太贝克
4、下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（ ）
A、幂函数 B、对数函数
C、指数函数 D、余弦函数
5、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A、2000 B、4096
C、5904 D、8320
6、若x，y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y为（ ）21世纪教育网版权所有
A、0 B、1
C、1或2 D、0或2
7、已知点An（n，an）（n∈N*）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（ ）
A、a3+a7＞2a5 B、a3+a7＜2a5
C、a3+a7=2a5 D、a3+a7与2a5的大小与a有关
8、若427+41000+4n为完全平方数，则正整数n满足（ ）
A、n≥1972 B、n≤1972
C、n≥1973 D、n≤1970
9、若102x=25，则10﹣x等于（ ）
A、 B、
C、 D、
10、对于a，b＞0，r，s∈R，下列运算中正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、ar?as=ars B、（ar）s=ar+s
C、 D、arbs=（ab）r+s
11、若a＞1，且a+a﹣1=2，则a﹣a﹣1的值等于（ ）
A、 B、2或﹣2
C、﹣2 D、2
12、已知函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（ ）
A、14 B、13
C、12 D、11
13、设指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1），则下列等式不正确的是（ ）
A、f（x+y）=f（x）?f（y） B、f[（xy）n]=[f（x）]n?[f（y）]n
C、f（x﹣y）= D、f（nx）=[f（x）]n
14、下列等式一定成立的是（ ）
A、=a B、=0
C、（a3）2=a9* D、
15、若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、 B、am?an=am?n
C、（am）n=am+n D、1÷an=a0﹣n
16、下列运算正确的是（ ）
A、a3+a4=a7 B、a4?a2=a6
C、 D、
17、下列各式正确的是 （ ）21世纪教育网版权所有
A、
B、
C、
D、
18、若32x+9=10?3x，那么x2+1的值为（ ）
A、1 B、2
C、5 D、1或5
19、设a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，若a2a5＜0，则下列各式正确的是（ ）
A、a1a3a4a5＞0 B、a1a2a4a5＜0
C、a1a2a3a5＞0 D、a1a2a3a4＞0
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
20、方程的解是 _________ ．
21、已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1﹣x2）=，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）= _________ ．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）
22、若a+a﹣1=3，则的值为 _________ ．
23、计算：x10÷x5= _________ ．
24、已知y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=4x则f（﹣）= _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、计算：．
26、解方程：
27、（1）若，求的值；
（2）化简（a＞0，b＞0）．
28、计算：．
29、已知，求：
（1）a+a﹣1的值；
（2）的值．
30、解方程：6?（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12=0．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、下列结论中正确的个数是（ ）
①当a＜0时，a2＞a3；
②=|a|；
③函数y=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是（2，+∞）；
④若100a=5，10b=2，则2a+b=1．
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数的定义域及其求法；有理数指数幂的运算性质。
分析：对于①：从a2，a3的符号考虑即可；对于②利用根式的运算规律解决；对于③：注意零次幂的底数的取值范围；对于④：利用对数的运算法则解决．
解答：解：①中当a＜0时，a2＞0，a3＜0，所以（a2）＞a3；故正确；
②中，当n为奇数且a＜0时，=a；故错；
③中，函数的定义域应为[2，）∪（，+∞）；故错；
④中，由已知可得2a+b=lg5+lg2=lg10=1，故它正确．
所以只有①④正确，其余均错误．
故选C．
点评：本题主要考查有理数指数幂的运算性质、函数的定义域及其求法，属于基础题．
2、下列命题中，正确命题的个数为（ ）21世纪教育网
①=a ②若a∈R，则（a2﹣a+1）0=1 ③④．
A、0 B、1
C、2 D、．3
考点：方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：利用根式的性质、有理指数幂的运算法则判断出各个命题的真假．
解答：解：对于①，∵n为奇数时，；当n为偶数时，故①错
对于②，∵a2﹣a+1≠0∴（a2﹣a+1）0=1故②对
对于③，所以③不对
对于④是一个负数；是一个正数，故④错
故选B
点评：本题考查根式的性质；考查有理指数幂的运算法则．
3、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A、5太贝克 B、75In2太贝克
C、150In2太贝克 D、150太贝克
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0×（﹣frac{1}{30}）ln2×{2}^{﹣frac{t}{30}}，再由M'（30）=M0×（﹣frac{1}{30}）ln2×frac{1}{2}=﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．
解答：解：M'（t）=M0×（﹣frac{1}{30}）ln2×{2}^{﹣frac{t}{30}}，
M'（30）=M0×（﹣frac{1}{30}）ln2×frac{1}{2}=﹣10ln2，
∴M0=600．
∴．
故选D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．
4、下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（ ）
A、幂函数 B、对数函数
C、指数函数 D、余弦函数
考点：有理数指数幂的运算性质。
分析：根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项可得答案．
解答：解：根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；
分析选项可得，A、B、D不符合f（x+y）=f（x）f（y），
只有C中，对于指数函数有：ax+y=ax?ay，成立；
故选C．
点评：本题考查指数函数的运算性质，注意与对数函数、幂函数的区分．
5、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A、2000 B、4096
C、5904 D、8320
考点：有理数指数幂的运算性质。
分析：考虑对立事件，10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000﹣4096=5904
解答：解：∵10000个号码中不含4、7的有84=4096，
∴“优惠卡”的个数为10000﹣4096=5904，
故选C．
点评：本题主要考查概率中的对立事件问题．注意事件与其对立事件的概率和为1．
6、若x，y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y为（ ）
A、0 B、1
C、1或2 D、0或2
7、已知点An（n，an）（n∈N*）都在函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（ ）
A、a3+a7＞2a5 B、a3+a7＜2a5
C、a3+a7=2a5 D、a3+a7与2a5的大小与a有关
考点：有理数指数幂的运算性质。
分析：先表示出a3+a7，再根据基本不等式直接可得答案．
解答：解：由题意可知
a3+a7=a3+a7≥2=2a5又因为a＞0，a≠1，所以上式等号取不到
即a3+a7＞2a5故选A．
点评：本题主要考查基本不等式以及其成立的条件．
8、若427+41000+4n为完全平方数，则正整数n满足（ ）
A、n≥1972 B、n≤1972
C、n≥1973 D、n≤1970
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：通过提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，从而推出n的值，进而通过反正的方式进行排除选项得解．
解答：解：因为427+41000+4n=254（1+2?21945+22n﹣54），
所以当2n﹣54=2×1945，即n=1972时，上式为完全平方数．
当n＞1972时，有（2n﹣27）2＜1+2?21945+22n﹣54＜1+2?2n﹣27+22（n﹣27）=（2n﹣27+1）2，
所以上式不可能为完全平方数．
故选B．
点评：本题重点考察了完全平方式的形式以及做选择题的排除法．难点在于怎样排除选项．
9、若102x=25，则10﹣x等于（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：通过有理指数幂的运算，102x=25求出10x=5，然后再求10﹣x的值．
解答：解：102x=25可得10x=5，
所以10﹣x=
故选A．
点评：本题考查有理指数幂的运算性质，考查计算能力，是基础题．
10、对于a，b＞0，r，s∈R，下列运算中正确的是（ ）
A、ar?as=ars B、（ar）s=ar+s
C、 D、arbs=（ab）r+s
11、若a＞1，且a+a﹣1=2，则a﹣a﹣1的值等于（ ）
A、 B、2或﹣2
C、﹣2 D、2
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：由已知中a+a﹣1=2，利用平方法，我们可得∴（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=8，进而求出（a﹣a﹣1）2=a2+a﹣2﹣2=4，结合a＞1开方可得答案．
解答：解：∵a+a﹣1=2，
∴（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=8
∴a2+a﹣2=6
∴（a﹣a﹣1）2=a2+a﹣2﹣2=4
又∵a＞1，a＞a﹣1，
∴a﹣a﹣1=2
故选D
点评：本题考查的知识点是有理数指数幂的运算性质，其中利用平方法求出a2+a﹣2=6是解答本题的关键．
12、已知函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（ ）
A、14 B、13
C、12 D、11
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：考查题设条件，首先可得出a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=﹣2，及f（0）=1+1=2，故f（0）+f（1）+f（2）的值易得
解答：解：由题意，函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3，
又f（2）=a2+a﹣2=﹣2=7，f（0）=1+1=2
所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12
故选C
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，解题的关键是利用函数解析式求出三个函数值，其中求f（2）是本题的重点也是难点，本题求解时观察到了f（2）与f（1）的关系，利用配方的方法找到了两者的联系从而求出f（2）的值，做题时对题设条件进行认真分析发现规律是一个做题好习惯．
13、设指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1），则下列等式不正确的是（ ）21世纪教育网
A、f（x+y）=f（x）?f（y） B、f[（xy）n]=[f（x）]n?[f（y）]n
C、f（x﹣y）= D、f（nx）=[f（x）]n
14、下列等式一定成立的是（ ）
A、=a B、=0
C、（a3）2=a9* D、
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：A，B，C，D由分数指数幂的运算性质进行化简判断．
解答：解：A，同底幂相乘，指数相加，故A错．
B、同底幂相乘，指数相加，故B错．
C、因为（am）n=amn，3×2=9，故C错．
D、同底幂相除，指数相减．故D对，
故选D．
点评：利用分数指数幂的运算性质进行化简时，形式要求统一．用分数指数幂或根式表示皆可，注意不能忽略常数，特别是符号的运算
15、若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）21*cnjy*com
A、 B、am?an=am?n
C、（am）n=am+n D、1÷an=a0﹣n
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解答：解：A中，n=0时不成立；
B中，am?an=am+n≠am?n，故不成立；
C中，（am）n=am?n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an=a0﹣n，成立．
故选D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
16、下列运算正确的是（ ）
A、a3+a4=a7 B、a4?a2=a6
C、 D、
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：利用指数的运算法则分别进行判断，从而找到正确答案．
解答：解：A中，a3+a4≠a7，故A不成立；
B中，a4?a2=a6，故B成立；
C中，，，故C不成立；
D中，，，故D不成立．
故选B．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，解题时要熟练掌握有理数指数幂的运算法则．
17、下列各式正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：本题是利用指数幂的去处性质化简的题型，恒等变形题，对四个选项用运算法则逐一化简，判断正确选项．
解答：解：对于选项A，由于故A错；
对于选项B，由于，故B错；
对于选项C，由于，故C错；
对于选项D，由于，故D正确．
故选D．
点评：本题考点是有理数幂的运算性质，考查根式与指数幂的相互转化，本题是训练基础运算规则的一道基础题．基础规则的熟练掌握运用是正确计算的根本．
18、若32x+9=10?3x，那么x2+1的值为（ ）21*cnjy*com
A、1 B、2
C、5 D、1或5
19、设a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，若a2a5＜0，则下列各式正确的是（ ）
A、a1a3a4a5＞0 B、a1a2a4a5＜0
C、a1a2a3a5＞0 D、a1a2a3a4＞0
考点：等比数列的通项公式；有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：根据等比数列的通项公式结合已知条件可得q＜0，逐一分析各个选项，找出正确答案即可．
解答：解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得a2a5=a1q?a1q4=a12?q5＜0，
∴q＜0；
A、a1a3a4a5=a1?a1q2?a1q3?a1q4=a14q9＜0，故错误；
B、a1a2a4a5=a1?a1q?a1q3?a1q4=a14q8＞0，故错误；
C、a1a2a3a5=a1?a1q?a1q2?a1q4=a14q7＜0，故错误；
D、a1a2a3a4=a1?a1q?a1q2?a1q3=a14q6＞0，故正确；
故选D．
点评：本题考查了等比数列的通项公式和有理数指数幂的运算性质，比较简单．
二、填空题（共5小题）21cnjy
20、方程的解是 x=﹣1 ．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：把，化为3﹣2，然后按照指数幂的运算法则，转化为一次方程，求解即可．
解答：解：
故答案为：x=﹣1．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，是基础题．
21、已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1﹣x2）=，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）= （底数为0至1之间的任意一指数函数均可） ．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：开放型。
分析：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），说明函数在R上是减函数．f（x1﹣x2）=，根据指数幂的运算，得函数是指数函数，找同时满足两个条件的函数即可．
解答：解：∵对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．
∵f（x1﹣x2）=∴f（x）是指数函数．同时满足以上两个条件的函数比如：f（x）=
验证：f（x1﹣x2）===
故答案为：（底数为0至1之间的任意一指数函数均可）
点评：本题考查了指数幂的运算及指数函数的性质．
22、若a+a﹣1=3，则的值为 ±1 ．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：利用已知和未知整体之间的关系找到解决问题的方法，利用平方将二者联系起来，注意有两个答案．
解答：解：由于，故的值为±1．
故答案为：±1．
点评：本题考查指数幂的运算，注意整体思想的运用，使问题的解决顺其自然．
23、计算：x10÷x5= x2 ．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：根据有理数指数幂的运算性质直接求解即可．
解答：解：根据有理数指数幂的运算性质：
x10﹣x5=x2故答案为：x2
点评：本题考查了有理数指数幂的性质，是基础题．
24、已知y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=4x则f（﹣）= ﹣2 ．21*cnjy*com
考点：有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：由y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=4x，知f（﹣）=﹣f（）=﹣，由此能够求出结果．
解答：解：∵y=f（x）是奇函数，
当x＞0时，f（x）=4x，
∴f（﹣）=﹣f（）
=﹣
=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查函数的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意奇函数的性质和函数对应法则的运用，合理地运用有理数指数幂进行解题．
三、解答题（共6小题）
25、计算：．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案．
解答：解：原式==+100﹣1+=99．
故答案为：99
点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了
26、解方程：
考点：有理数指数幂的运算性质。
分析：根据125=53=，令指数相等即可．
解答：解：原方程即，
∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1．
故原方程的解为：x=﹣3或x=1．
点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题．
27、（1）若，求的值；21cnjy
（2）化简（a＞0，b＞0）．
考点：有理数指数幂的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算。
专题：计算题。
分析：（1）由，知x+x﹣1=7，所以x2+x﹣2=49﹣2=47，=18，由此能求出的值．
（2）由a＞0，b＞0，利用根式与分数指数幂的转化公式把转化为，再由分数指数幂的运算法则转化为，由此进行化简运算能求出结果．
解答：解：（1）∵，
∴x+x﹣1=9﹣2=7，
x2+x﹣2=49﹣2=47，
∴==3×6=18，
∴==．
（2）∵a＞0，b＞0，
∴
=
=
=
=．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质和指数式与根式的化简运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
28、计算：．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题。
分析：根据有理数指数幂的运算性质，把等价转化为0.5﹣1+﹣3+1，由此能求出其结果．
解答：解：
=0.5﹣1+﹣3+1
=2﹣2
=﹣2．
点评：本题考查有理数指数幂的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．
29、已知，求：
（1）a+a﹣1的值；
（2）的值．
30、解方程：6?（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12=0．
考点：有理数指数幂的运算性质。
专题：计算题；换元法。
分析：因为9x+9﹣x=（3x﹣3﹣x）2+2，故可用换元法，令3x﹣3﹣x=t，转化为二次方程求解．
解答：解：令3x﹣3﹣x=t，则9x+9﹣x=t2+2
原方程等价于6（t2+z）﹣25t+12=0即6t2﹣25t+24=0
（2t﹣3）（3t﹣8）=0得t1=，t2=
①当t=时，有3x﹣=，即：2﹣（3x）2﹣3?3x﹣2=0
（3x﹣2）（2?3x+1）=0得3x=2或3x=﹣（舍）∴x=log32；
②当t=时，有3x﹣=即：3?（3x）2﹣8?3x﹣3=0
（3x﹣3）?（3?3x+1）=0得3x=3或3x=﹣（舍）∴x=1
综合①②可知：原方程的解为x=1或x=log32．
点评：本题考查指数型方程的解法，考查换元法的应用，在应用换元法时，注意范围．
