方根与根式及根式的化简
一、选择题（共12小题）
1、?等于（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
2、下列等式能够成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、若，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、R
4、化简：=（ ）
A、4 B、2π﹣4
C、2π﹣4或4 D、4﹣2π
5、化简的结果为（ ）21世纪教育网版权所有
A、5 B、
C、﹣ D、﹣5
6、下列各式成立的是（ ）
A、= B、
C、 D、
7、下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、化简的结果（ ）
A、2a﹣1 B、﹣2a+1
C、 D、0
9、已知x+x﹣1=3，则值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
10、若xy≠0，则可以使成立的条件是（ ）
A、x＞0，y＞0 B、x＞0，y＜0
C、x＜0，y≥0 D、x＜0，y＜0
11、当a、b∈R时，下列总能成立的是（ ）
A、（）=a﹣b B、
C、 D、
12、将化为分数指数幂的形式为（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共9小题）
13、= _________ ．
14、= _________ ．
15、已知，则x+x﹣1= _________ ．
16、= _________ ．
17、若0＜a＜1，，则的值是 _________ ．
18、化简各式：①= _________ ②= _________ ③= _________ ④= _________ ．
19、比较大小： _________ ．
20、若3＜x＜4，化简的结果是 _________ ．
21、函数的反函数f﹣1（x）= _________ ．
三、解答题（共9小题）
22、化简：．
23、．
24、解方程．
25、把分母有理化
26、化简．
27、化简：．
28、解方程．
29、（1）求函数f（x）=的定义域．
（2）求值：2．
30、解方程（限定在实数范围内）．
答案与评分标准
一、选择题（共12小题）
1、?等于（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：首先将根式化为分数指数幂的形式，再按照指数式的运算法则计算即可．
解答：解：?=?=﹣==﹣．
故选A．
点评：指数式的运算法则和运算性质是进行指数运算的依据，熟练掌握并运用它们是解题的关键．
2、下列等式能够成立的是（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则化简根式．
解答：解：∵
而
故选C
点评：本题考查将根式化为分数指数幂的公式：注意使用的范围．
3、若，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、R
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：先对进行化简，然后根据绝对值方程|m|=﹣m则m≤0进行求解即可．
解答：解：∵，
∴|2a﹣1|=1﹣2a
则2a﹣1≤0解得a
故选B．
点评：本题主要考查了方根与根式及根式的化简运算，同时考查了绝对值的解法，属于基础题．
4、化简：=（ ）21cnjy
A、4 B、2π﹣4
C、2π﹣4或4 D、4﹣2π
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：由π＜4，得，由此能求出原式的值．
解答：解：=4﹣π+π=4．
故选A．
点评：本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．
5、化简的结果为（ ）
A、5 B、
C、﹣ D、﹣5
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：利用根式直接化简即可确定结果．
解答：解：===
故选B
点评：本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题．
6、下列各式成立的是（ ）
A、= B、
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：利用根指数幂的运算，直接对选项化简，判断即可．
解答：解：A、=，A不正确；
B、，正确；
C、=，C不正确．
D、，D不正确．
故选B
点评：本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题．
7、下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：根据最简二次根式的定义，利用排除法能够得到正确答案．
解答：解：∵A中，满中最简二次根式的概念，∴A是最简二次根式．
B中，∵a的幂指数3大于根指数2，∴B不是最简二次根式．
C中，∵被开方数中存在分母，∴C不是最简二次根式．
D中，被开方数中能够b的幂指数2等于根指数2，∴D不是最简二次根式．
故选A．
点评：本题考查最简二次根式的概念，解题时要熟练掌握最简二次根式的定义，注意排除法的合理运用．
8、化简的结果（ ）21cnjy
A、2a﹣1 B、﹣2a+1
C、 D、0
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：此题考查二次根式的化简，开偶次根式开出需加绝对值．
解答：解：∵a＜，∴2a﹣1＜0，
=|2a﹣1|=1﹣2a，
故选B．
点评：本题考查了根据二次根式的意义化简的方法，属于基础题．
9、已知x+x﹣1=3，则值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：==，结合题设条件由此能够求出值．
解答：解：===．
故选A．
点评：本题考查根式的化简运算，解题时要注意公式的灵活运用．
10、若xy≠0，则可以使成立的条件是（ ）
A、x＞0，y＞0 B、x＞0，y＜0
C、x＜0，y≥0 D、x＜0，y＜0
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：阅读型。
分析：xy≠0使成立的条件，必须是xy＜0，就是x，y异号．
解答：解：若xy≠0，则可以使成立，
就是xy＜0，显然当x＞0，y＜0时等式成立，
故选B
点评：本题考查根式的化简运算，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
11、当a、b∈R时，下列总能成立的是（ ）
A、（）=a﹣b B、
C、 D、
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：综合题。
分析：对于A显然不对，对于D，C通过举反例；对于B利用根式的性质推出．
解答：解：对于A选项，显然不对
对于故B对
对于B，C选项当a，b是负值时就不成立．
故选B
点评：本题考查根式的性质及利用根式的性质化简式子．
12、将化为分数指数幂的形式为（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共9小题）21世纪教育网
13、= π﹣3 ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：由=，我们易化简得到结果．
解答：解：
=|3﹣π|
=π﹣3
故答案为：π﹣3
点评：本题考查的知识点是根式的化简运算，其中掌握根式的性质=是解答本题的关键．
14、= 4﹣π ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：由π＜4，得，由此能求出原式的值．
解答：解：∵π＜4
∴．
故答案为：4﹣π．
点评：本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．
15、已知，则x+x﹣1= 7 ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：由，结合题设条件，能求出x+x﹣1的值．
解答：解：∵，
∴=x+x﹣1+2=9，
∴x+x﹣1=7．
故答案为：7．
点评：本题考查根式的化简运算，解题时要注意完全平方式的合理转化．
16、= 0 ．21世纪教育网
17、若0＜a＜1，，则的值是 1 ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：关键所给的两个变量的范围，写出要用的三个量与0之间的关系，∴a﹣x＜0，cosx＜0，ax＜1，关键符号去掉根号和绝对值，约分以后得到结果．
解答：解：∵0＜a＜1，，
∴a﹣x＜0，cosx＜0，
ax＜1
∴=﹣1﹣（﹣1）+1=1
故答案为：1．
点评：本题考查三角函数值的符号，解题的关键是看清绝对值符号里面的代数式的符号和根号里面的符号，这样才能约分得到结果．
18、化简各式：①= ②= ③= ﹣2 ④= π﹣3 ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：根式的化简，多数情况下，都是把根式化为有理指数幂，然后再利用有理指数幂的运算法则进行化简．
解答：解：（1）a2=a2?=，
（2）=?=，
（3）=﹣2，
（4）=|3﹣π|=π﹣3．
点评：本题考查根式的化简．
19、比较大小： ＞ ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：要比较两边的大小，先化简左边的式子，方法是分母有理化即给分子分母都乘以有理化因式，化简后估算比较大小即可．
解答：解：==﹣2，观察发现只需要比较2与3的大小即可，
因为=8＜9=32，所以2＜3，则﹣2＞﹣3即＞﹣3．
故答案为：＞
点评：本题是一道二次根式化简的计算题，要求学生会找分母的有理化因式，会比较实数的大小．做题时可利用平方的大小得到数的大小．
20、若3＜x＜4，化简的结果是 1 ．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：通过配方结合x的范围直接求出表达式的值即可．
解答：解：=|x﹣3|+|x﹣4|，因为3＜x＜4，所以上式=x﹣3+4﹣x=1．
故答案为：1．
点评：本题是基础题，考查根式的化简求值，注意x的范围是解题的关键．
21、函数的反函数f﹣1（x）= （x﹣1）3 ．
2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
三、解答题（共9小题）
22、化简：．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果．
解答：解：原式=
=
=．
点评：本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．
23、．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：先化简．
解答：解：当．
当．
点评：从形式上观察，确定问题的转化．
24、解方程．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．
解答：解：原方程同解于
解得x=4
故x=4是原方程的根．
点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．
25、把分母有理化
考点：方根与根式及根式的化简运算。
分析：计算时，将根式里面的被开方数分母有理化，即可化简．
解答：解：原式=．
点评：化简时，注意到的有理化因式为
26、化简．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
分析：本题是求算术平方根，开根号时要考虑2x﹣3大于0，还是小于0．
解答：解：根据算术根的定义，
当时，．
当时，．
点评：本题考查公式：当n为奇数时，；当n为偶数时，
27、化简：．21世纪教育网版权所有
考点：方根与根式及根式的化简运算。
分析：分子分母同乘以，整理可得．
解答：解：原式=．
点评：本题考查分母或分子有理化．
28、（1977?北京）解方程．
考点：方根与根式及根式的化简运算。
专题：计算题。
分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．
解答：解：原方程同解于，
解得x=2
故方程的解为x=2
点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．
29、（1）求函数f（x）=的定义域．
（2）求值：2．
考点：方根与根式及根式的化简运算；函数的定义域及其求法。
专题：常规题型。
分析：（1）利用偶次根式被开方数大于或等于0，分式的分母不等于0．
（2）根式的运算，一般都转化为分数指数幂来进行运算．
解答：解：（1）要使函数f（x）有意义，
则，
解之得x≥1，即函数f（x）的定义域是[1，+∞）．
（2）2=2××××=×
=2×31=6．故答案为 6．
点评：本题考查求函数的定义域的方法，以及根式的运算方法，体现转化的数学思想．
30、解方程（限定在实数范围内）．
