指数型复合函数的性质
一、选择题（共4小题）
1、函数的反函数的图象过点（4，5），则f﹣1（x）=（ ）
A、（x﹣2）2+1（x≥1） B、（x﹣2）2+1（x≥2）
C、（x﹣2）2+1（x≥3） D、（x﹣4）2+1（x≥1）
2、下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A、y=（﹣4）x B、y=πx
C、y=﹣4x D、y=ax+2（a＞0且a≠1）
3、函数y=（x﹣1）2（x≤1）的反函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、若函数f（x）=x2﹣1（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（9）等于（ ）21cnjy
A、 B、
C、3 D、
二、填空题（共11小题）
5、设，则f（x）+g（x）= _________ ．
6、函数的反函数为 _________ ．
7、若不等式4x﹣a2x+1+a2﹣1≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为 _________ ．
8、函数的单调递增区间为 _________ ．
9、若点（1，2）既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式 _________ ．
10、若f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数则a= _________ ．
11、函数的值域为 _________ ．
12、函数的最小值是 _________ ．
13、函数的值域为 _________ ．
14、不等式4x﹣2x+2+3≥0的解集是 _________ ．
15、函数的值域为 _________ ．
三、解答题（共10小题）
16、设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．求证：
（1）f（x）＜0时，F（x）＜1；
（2）F（x）在定义域A上是减函数．
17、已知．
（1）问函数f（x）是奇函数还是偶函数；
（2）求函数f（x）的值域．
18、设，其中实常数a＞﹣1．（Ⅰ）若函数f（x）是奇函数，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的值域．
19、设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
（1）．若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）．若f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．
20、已知函数f（x）=4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）=11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．
21、求函数f（x）=4x﹣3?2x+3（﹣1≤x≤3）的最小值和最大值．
22、设当x≤1时，函数y=4x﹣2x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f（x）=x2+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．
23、已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a），求h（a）．21cnjy
24、已知关于x的不等式k?4x﹣2x+1+6k＜0
（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log23}，求实数k的值；
（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log23}，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log23}，求实数k的取值范围；
（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log23}≠?，求实数k的取值范围．
25、已知函数f（x）=3x+1+9x﹣12的反函数是f﹣1（x）．
（1）求f﹣1（6）的值；
（2）要使f﹣1（a）有意义，求a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共4小题）21cnjy
1、函数的反函数的图象过点（4，5），则f﹣1（x）=（ ）
A、（x﹣2）2+1（x≥1） B、（x﹣2）2+1（x≥2）
C、（x﹣2）2+1（x≥3） D、（x﹣4）2+1（x≥1）
考点：指数型复合函数的性质及应用；反函数。
专题：计算题。
分析：点（4，5）在函数f（x）的反函数f﹣1（x）图象上，则（5，4）在函数的图象上，代入求得m，最后再求其反函数即可．
解答：解：由题意点（4，5）在函数f（x）的反函数f﹣1（x）图象上，
则（5，4）在函数的图象上
∴4=
∴m=2
，
其反函数是：y=（x﹣2）2+1（x≥2）．
故选B．
点评：本题考查反函数，求解本题的关键是根据反函数的性质得出点（5，4）在函数的图象上，此是对反函数考查的一个热点．
2、下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）21世纪教育网
A、y=（﹣4）x B、y=πx
C、y=﹣4x D、y=ax+2（a＞0且a≠1）
3、函数y=（x﹣1）2（x≤1）的反函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：反函数；指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
解答：解：∵y=（x﹣1）2（x≤1），
∴
故反函数为
故选B．
点评：本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
4、若函数f（x）=x2﹣1（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（9）等于（ ）
A、 B、
C、3 D、
考点：反函数；指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：利用原函数与反函数的自变量与函数值之间的对应关系，直接求出f﹣1（9）的值即可．
解答：解：函数f（x）=x2﹣1（x≤0）的反函数是y=f﹣1（x），则f﹣1（9）就是 9═x2﹣1（x≤0）所以x=．
所以f﹣1（9）=．
故选D．
点评：本题是基础题，考查原函数与反函数的对应关系的应用，也可以先求反函数然后求出函数值．
二、填空题（共11小题）
5、设，则f（x）+g（x）= 1+，x∈{x|0≤x≤1} ．
6、函数的反函数为 ．
考点：指数型复合函数的性质及应用；反函数。
专题：计算题。
分析：从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得，即可得到原函数的反函数．
解答：解：由函数，
解得
∴原函数的反函数是
故答案为：．
点评：本题主要考查反函数的知识点，反函数是高考的常考点，需要同学们熟练掌握．
7、若不等式4x﹣a2x+1+a2﹣1≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为 （﹣∞，1]∪[5，+∞） ．21世纪教育网
考点：指数型复合函数的性质及应用；函数恒成立问题。
专题：计算题；转化思想。
分析：设2x=t，用换元法把4x﹣a2x+1+a2﹣1≥0化成t2﹣2at+a2﹣1≥0，转化为求二次函数的恒成立问题，即可求出答案．
解答：解：设2x=t，∵1≤x≤2，则2≤t≤4，
原式可化为：t2﹣2at+a2﹣1≥0，令f（t）=t2﹣2at+a2﹣1=（t﹣a）2﹣1，
①当a≤2时，y在[2，4]上为增函数，
故当t=2时，y取最小值f（2），
要使t2﹣2at+a2﹣1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（2）≥0即可，
∴a≤1，
②当a≥4时，y在[2，4]上为减函数，
故当t=4时，y取最小值f（4），
要使t2﹣2at+a2﹣1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（4）≥0即可，
∴a≥5，
③当2＜a＜4时，y在[2，a]上为减函数，在[a，4]上为增函数
故当t=a时，y取最小值f（a），
要使t2﹣2at+a2﹣1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（a）≥0即可，
∴a∈?，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]∪[5，+∞）
故答案为：（﹣∞，1]∪[5，+∞）．
点评：本题考查了函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度一般，关键是掌握换元法的应用．
8、函数的单调递增区间为 （﹣∞，1] ．21世纪教育网
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：要求函数的单调递增区间，根据复合函数的单调性可知，只有求函数t=x2﹣2x﹣3的单调递增区间即可
解答：解：令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣2，在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增
∵在R上单调递减
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，1]
故答案为：（﹣∞，1]
点评：本题主要考查了由指数函数与二次函数复合二次的复合函数的单调区间的求解，属于基础试题
9、若点（1，2）既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式 y=2﹣x+2 ．21世纪教育网
考点：指数型复合函数的性质及应用；反函数。
专题：计算题。
分析：由已知中点（1，2）既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，可得点（2，1）既在函数y=2ax+b的图象上，由此构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得答案．
解答：解：若点（1，2）既在函数y=2ax+b的图象上，
则a+b=1…①
若点（1，2）既在函数y=2ax+b的反函数的图象上，
则点（2，1）既在函数y=2ax+b的图象上，
则2a+b=0…②
由①②得
a=﹣1，b=2
故y=2﹣x+2
故答案为：y=2﹣x+2
点评：本题考查的知识点是指数型复合的性质及应用，反函数，其中根据点（1，2）既在函数y=2ax+b的反函数的图象上，得到点（2，1）既在函数y=2ax+b的图象上，是解答本题的关键．
10、若f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数则a= 2 ．
11、函数的值域为 （0，8] ．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：令t=x2+2|x|﹣3，结合二次函数的单调性的性质可求先t的范围，然后由指数函数y=的单调性可求函数的值域
解答：解：令t=x2+2|x|﹣3==
结合二次函数的性质可得，t≥﹣3
∴，且y＞0
故答案为：（0，8]．
点评：本题主要考查了由指数函数与二次函数复合二次的函数的值域的求解，解题中要注意不要漏掉y＞0的考虑．
12、函数的最小值是 ．
13、函数的值域为 （0，2] ．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域．
解答：解：因为x2﹣2x≥﹣1，函数是减函数，所以∈（0，2]．
故答案为：（0，2]．
点评：本题是基础题，考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力．
14、不等式4x﹣2x+2+3≥0的解集是 （﹣∞，0]∪[log23，+∞） ．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：首先把2x看做一个整体，得到关于这个整体的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集根据指数函数的性质得到结果即可．
解答：解：不等式4x﹣2x+2+3≥0?（2x）2﹣4?2x+3≥0
∴（2x﹣1）（2x﹣3）≥0?2x≥3或2x≤1．
故不等式的解集是（﹣∞，0]∪[log23，+∞）
故答案为：（﹣∞，0]∪[log23，+∞）
点评：本题指数型符合函数的性质与应用，本题解题的关键是整体看待代数式的数学思想，和熟练应用应用指数函数性质的能力，以及一元二次不等式解集的求法，本题是一个中档题目．
15、函数的值域为 （0，] ．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可．
解答：解：∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1
∴函数的值域为（0，]
故答案为：（0，]
点评：本题主要考查了指数型复合函数的性质及应用，属于基础题．
三、解答题（共10小题）
16、设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．
求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1；
（2）F（x）在定义域A上是减函数．
考点：函数单调性的判断与证明；指数型复合函数的性质及应用。
专题：证明题。
分析：（1）由已知中F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．我们可以判断出底数a＞1，进而根据指数函数的性质，可以得到f（x）＜0时，F（x）＜1；
（2）x1＜x2，x1．x2∈A，根据f（x）在定义域A上是单调递减函数，可得f（x2）﹣f（x1）＜0，进而判断出F（x2）﹣F（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义即可得到F（x）在定义域A上是减函数．
解答：证明：（1）∵f（x）＞0时，F（x）=af（x）＞1，
∴a＞1
则f（x）＜0时，﹣f（x）＞0…（2分）
∴a﹣f（x）＞1
∴
∴0＜af（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）设x1＜x2，x1．x2∈A…（5分）
∵f（x）在A上为减函数，
∴f（x1）＞f（x2）
即f（x2）﹣f（x1）＜0，
而F（x2）﹣F（x1）=af（x2）﹣af（x1）=af（x1）[af（x2）﹣f（x1）﹣1]…（8分）
∵a＞0，
∴af（x1）＞0，且当f（x2）﹣f（x1）＜0
而f（x）＜0时，F（x）＜1
∴af（x2）﹣f（x1）＜1
∴F（x2）﹣F（x1）＜0∴F（x2）＜F（x1）
∴F（x）在定义域A上是减函数…（13分）
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，指数型复合函数的性质及应用，其中（1）的关键是判断出底数a＞1，进而转化为指数函数性质应用问题，（2）的关键是熟练掌握定义法（做差法）证明函数单调性的方法和步骤．
17、已知．
（1）问函数f（x）是奇函数还是偶函数；
（2）求函数f（x）的值域．
考点：函数奇偶性的判断；函数的值域；指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：（1）、先判断定义域关于原点对称，再验证f（x）=f（﹣x），得出f（x）为奇函数．
（2）、通过凑分母分离常数得函数解析式为，这样自变量x只在分母上有，
利用不等式的性质逐步判式子2x，2x+1，的范围，从而得函数的值域．
解答：解：（1）、由题意知f（x）的定义域为R关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数．
（2）、，
因为x∈R，所以2x＞0，所以2x+1＞1，所以，
所以，所以，
所以函数f（x）的值域为：（﹣1，1）．
点评：本题考查判断函数的奇偶性，求函数的值域，用到了奇偶性的定义，
通过凑分母分离常数，利用不等式的性质逐步判式子的范围．
18、设，其中实常数a＞﹣1．（Ⅰ）若函数f（x）是奇函数，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的值域．21世纪教育网版权所有
19、设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
（1）．若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）．若f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；指数型复合函数的性质及应用。
专题：综合题。
分析：（1）由a＞b，得＞0，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是单调递增函数，f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0，得f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（9x﹣3x+2），故k?3x＜9x﹣3x+2，由此能够求出k的范围．
解答：解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0
∴＞0，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴f（a）+f（﹣b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣b）=﹣f（b），
∴f（a）﹣f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）
（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，
又f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0，
得f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（9x﹣3x+2），
故k?3x＜9x﹣3x+2，
∴k＜，
令t=3x，
∵x∈[﹣1，1]恒成立，
∴t=，
∴k＜t+，
而t+≥2，
当且仅当t=，t=时，取等号，
即k＜2﹣1．
点评：本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．
20、已知函数f（x）=4x﹣2x+1+3．
（1）当f（x）=11时，求x的值；
（2）当x∈[﹣2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．
考点：指数型复合函数的性质及应用；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）f（x）=11，即4x﹣2x+1+3=11，以2x为单位，解关于x的方程，通过因式分解得（2x﹣4）（2x+2）=0，再讨论2x为的正数的性质，可得2x=4，故x=2成立；
（2）以2x为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合x∈[﹣2，1]，找到函数取最大值和最小值对应的x，从而找出函数f（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）当f（x）=11，即4x﹣2x+1+3=11时，（2x）2﹣2?2x﹣8=0
∴（2x﹣4）（2x+2）=0
∵2x＞02x+2＞2，
∴2x﹣4=0，2x=4，故x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）f（x）=（2x）2﹣2?2x+3 （﹣2≤x≤1）
令∴f（x）=（2x﹣1）2+2
当2x=1，即x=0时，函数的最小值fmin（x）=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当2x=2，即x=1时，函数的最大值fmax（x）=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评：本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．
21、求函数f（x）=4x﹣3?2x+3（﹣1≤x≤3）的最小值和最大值．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：转化思想。
分析：用换元法，设2x=t，将求原函数最值问题转化为求关于t的二次函数的最值问题．但要注意先利用指数函数的单调性求t的取值范围，即二次函数的定义域，再利用配方法求二次函数最值即可
解答：解：令2x=t，
∵﹣1≤x≤3，
∴2﹣1＜2x＜23，
∴t∈[，8]
则，t∈[，8]
由二次函数性质
点评：本题考察了换元法求函数的最值，解题时要熟练的掌握指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，提高自己运用转化化归思想方法的能力
22、设当x≤1时，函数y=4x﹣2x+1+2的值域为D，且当x∈D时，恒有f（x）=x2+kx+5≤4x，求实数k的取值范围．
考点：指数型复合函数的性质及应用；函数恒成立问题；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：根据题意，函数y=4x﹣2x+1+2以2x为单位，通过讨论二次函数的方法得出其值域D为[1，2]，从而f（x）=x2+kx+5≤4x在区间[1，2]上恒成立．接下来有两种思路解决本题：
①将不等式移项得x2（k﹣4）x+5≤0当x∈[1，2]时恒成立，利用二次函数的最大值小于0列式，从而求出实数k的取值范围．②参数分离，变为当x∈[1，2]时恒成立，从而k小于或等于右边的最小值，求出实数k的取值范围．
解答：解：令t=2x，由于x≤1，则t∈（0，2]
则原函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1∈[1，2]，即D=[1，2]
由题意：f（x）=x2+kx+5≤4x，
法一：则x2（k﹣4）x+5≤0当x∈D时恒成立
∴∴∴k≤﹣2
法二：则时恒成立，故
点评：本题考查了指数型复合函数的性质及应用、函数恒成立以及二次函数性质等等知识点，属于中档题．解题时请注意转化化归思路与变量分离等常用数学手段的运用．
23、已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a），求h（a）．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：令t=（）x，x∈[﹣1，1]，则函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3可化为φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，t∈[，3]，对a值进行分类讨论，即可得到h（a）的表达式．
解答：解：∵x∈[﹣1，1]，
∴（）x∈[，3]．
设t=（）x，t∈[，3]．
则当a＜时，g（x）min=h（a）=φ（）=﹣；
当≤a≤3时，g（x）min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；
当a＞3时，g（x）min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．
∴h（a）=．
点评：本题考查的知识点是指数型复合函数的性质及应用，分段函数解析式的求法，其中利用换元法，将问题中的函数类型转化为二次函数是解答本题的关键．
24、已知关于x的不等式k?4x﹣2x+1+6k＜0
（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log23}，求实数k的值；
（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log23}，求实数k的取值范围；
（3）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log23}，求实数k的取值范围；
（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log23}≠?，求实数k的取值范围．
考点：指数型复合函数的性质及应用。
专题：计算题。
分析：令t=2x，则原不等式可转化为kt2﹣2t+6k＜0，由1＜x＜log23可得2＜t＜3
（1）不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kt2﹣2t+6k=0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k的值；21世纪教育网版权所有
（2）函数f（t）=kt2﹣2t+6k，分k＞0，k=0，k＜0三种情况分别进行讨论可得实数k的取值范围
（3）原命题题等价于不等式组：△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥02≤1k先解△≤0，可得符合条件的k的取值范围．
（4）由A∩{t|2＜t＜3}≠?可得，先寻求A∩{t|2＜t＜3}=?的k的范围，再利用补集进行求解
解答：解：（1）由已知得，2和3是相应方程kt2﹣2t+6k=0的两根且k＞0，k=
（2）∵A?{x|1＜x＜log23}，∴A?{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0
令f（t）=kt2﹣2t+6k，
当k＞0时，则有 f（2）≤0，f（3）≤0
解得0＜k≤
当k=0时，A={t|t＞0}显然满足条件
当k＜0时，由于x=，则只要，此时可得k＜0
综上可得a
（3）对应方程的△=4﹣24k2，令f（t）=kt2﹣2t+6k
则原问题等价于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0，
又k＞0，∴k≥
由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤≤3解得≤k≤
综上，符合条件的k的取值范围是[，+∞）
（4）当A∩{t|2＜t＜3}=?时可得
若k=0，A={t|t＞0}，符合条件
若k＞0可得或
解不等式组可得，或k不存在
即k时，A∩{t|2＜t＜3}=?
时A∩{t|2＜t＜3}≠?
若k＜0可得，结合二次函数的图象可知A∩{t|2＜t＜3}≠?
综上可得，
点评：本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系，属于中档题．解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用．
25、已知函数f（x）=3x+1+9x﹣12的反函数是f﹣1（x）．
（1）求f﹣1（6）的值；
（2）要使f﹣1（a）有意义，求a的取值范围．
