指数函数的实际应用
一、选择题（共3小题）
1、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间x（月）的关系：y=ax，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月的浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2=x3．其中正确的是（ ）
A、①② B、①②⑤
C、①②③④ D、②③④⑤
2、制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本（ ）
A、6% B、9%
C、18% D、20%
3、某企业近三年的产值连续增长，这三年的增长率分别为x，y，z，则这三年平均增长率为（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题（共6小题）
4、如图，开始时桶A中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减函数y1=ae﹣nt（其中e，n为常数），此时桶B中的水量就是，y2=a﹣ae﹣nt假设过5分钟后桶A和桶B中的水量相等，则再过 _________ 分钟，桶A中只有水升．
5、关于x的方程2x=只有正实数的解，则a的取值范围是 _________ ．
6、上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为
根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从 _________ 年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍．
7、由不等式组表示的平面区域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数为 _________ ．
8、小王将5000元存入银行，已知银行一年期利率为x%，一年后，小王将所得的本利和又续存了一年，这样，小王共可得本利和（用含x的代数式表示） _________ ．
9、已知f（x）是指数函数，且f（1+）?f（1﹣）=9，若g（x）是f（x）的反函数，那么g（）+g（）= _________ ．
三、解答题（共2小题）
10、已知a=，b=，求的值．
11、已知函数f（x）=a?bx的图象过点A（0，1）和B（3，27）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{an}中，已知a1=f（2），an+1=2an+f（n）（其中n∈N*），求{an}的通项公式．
答案与评分标准
一、选择题（共3小题）
1、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间x（月）的关系：y=ax，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月的浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2=x3．其中正确的是（ ）
A、①② B、①②⑤
C、①②③④ D、②③④⑤
考点：指数函数的实际应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答时，首先应该仔细观察图形，结合图形读出过的定点进而确定函数解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，至于第⑤要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．
解答：解：∵点（1，2）在函数图象上，
∴2=a1∴a=2，故①正确；
∴函数y=2t在R上是增函数，且当t=5时，y=32故②正确，
4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；
如图所示，1﹣2月增加2m2，2﹣3月增加4m2，故④不正确．
对⑤由于：2=2，3=2，6=2，
∴x1=1，x2=log23，x3=log26，
又因为1+log23=log22+log23=log22×3=log26，
∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2=x3成立．
故答案为：①②⑤．
点评：本题考查的是函数模型的选择和应用问题、数形结合法．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形和利用图形的能力，同时对数求值和对数运算的能力也得到了体现．
2、制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本（ ）
A、6% B、9%
C、18% D、20%
考点：指数函数的实际应用。
专题：计算题。
分析：先设平均每年降低x，然后根据经过两年使成本降低36%，列出方程解之即可．
解答：解：设平均每年降低x，
（1﹣x）2=1﹣36%
解得x=20%或x=180%（舍去）．
故平均每年降低20%．
故选D．
点评：本题主要考查了等比数列的应用，解题的关键是设出降低的百分率，然后根据现在的成本，可列方程求解，属于基础题．
3、某企业近三年的产值连续增长，这三年的增长率分别为x，y，z，则这三年平均增长率为（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
4、如图，开始时桶A中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减函数y1=ae﹣nt（其中e，n为常数），此时桶B中的水量就是，y2=a﹣ae﹣nt假设过5分钟后桶A和桶B中的水量相等，则再过 15 分钟，桶A中只有水升．
考点：指数函数的实际应用。
专题：计算题。
分析：由于5分钟后桶A和桶B中的水量相等，所以可求n=ln2．再利用桶A中只有水升，可求时间．
解答：解：∵t=5时，y1=y2，∴由a?e﹣5n=a﹣a?e﹣5n，
得2e﹣5n=1，n=ln2．
∴将n代入y1=a?e﹣nt中得y1=a?e﹣tfrac{1}{5}ln2
当y1=时，有=a?e﹣tfrac{1}{5}ln2解得t=15分钟，
所以，再过15分钟桶1中的水是．
故答案为15
点评：本题主要考查指数函数的实际应用，关键是根据题意，求出指数函数，进而解决问题．
5、关于x的方程2x=只有正实数的解，则a的取值范围是 ＜a＜2 ．
考点：指数函数的实际应用。
专题：计算题；转化思想。
分析：利用指数函数的底数大于1时，函数递增，把方程2x=只有正实数的解，转化为＞1，求出a的取值范围．
解答：解：∵x＞0时，y=2x＞1
∴x的方程2x=只有正实数的解转化为＞1?﹣1＞0?（2a﹣1）（a﹣2）＜0?＜a＜2
故答案为：＜a＜2．
点评：本题考查了指数函数的性质、其他不等式的解法．当指数函数的底数大于1时，函数递增且过（0，1）点．
6、上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为
根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从 2010 年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍．
考点：指数函数的实际应用。
专题：图表型。
分析：先计算近4年中的增长率，进而得平均增长率，利用 常住人口出生数超过2003年出生数的2倍，建立不等关系，从而得解．
解答：解：由题意，2003年到2004年的增长率为；
2004年到2005年的增长率为；
2005年到2006年的增长率为
4年的平均增长率=
设经过n年，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍，则
8.6×（1+0.123）n≥19.2
∴n≥6.11
∴n=7
故从2010年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍．
故答案为2010
点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查指数函数模型，关键是确定年平均增长率．
7、由不等式组表示的平面区域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数为 1033 ．
考点：指数函数的实际应用。
专题：数形结合。
分析：我们根据一元二次不不等式与其对应的平面区域的画出，画出不等式组表示的平面区域，根据数形结合以及等比数列的知识易求出平面区域内整数点（横、纵坐标都为整数的点）的个数．
解答：解：不等式组表示的平面区域如下图所示：
由图可知，整数点有：
x=0时，有1+1个；
x=1时，有1+2个；
x=2时，有1+4个；
x=3时，有1+8个；
…
x=9时，有1+29个；
共有：1×10+1+2+4+8+…+29=10+=1033
故答案为：1033
点评：本题考查的知识点是二元一次不等式组与平面区域、等比数列求和的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
8、小王将5000元存入银行，已知银行一年期利率为x%，一年后，小王将所得的本利和又续存了一年，这样，小王共可得本利和（用含x的代数式表示） 5000（1+x%）2 ．
9、已知f（x）是指数函数，且f（1+）?f（1﹣）=9，若g（x）是f（x）的反函数，那么g（）+g（）= 2 ．
考点：反函数；函数的值；指数函数的实际应用。
专题：计算题。
分析：先根据题中条件：“f（x）是指数函数”设出f（x）=ax，再根据题中条件：f（1+）?f（1﹣）=9求得a值，最后求得此指数函数的反函数，即可求得g（）+g（）的值．
解答：解：∵f（x）是指数函数
∴设f（x）=ax，
∴
∴a2=9
∴a=3．
又f（x）的反函数是：g（x）=log3x，
那么g（）+g（）
=log3（）+log3（）
=log39=2．
故答案为：2．
点评：本小题主要考查反函数、函数的值、指数方程和对数方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
三、解答题（共2小题）
10、已知a=，b=，求的值．
考点：指数函数的实际应用；分数指数幂；根式与分数指数幂的互化及其化简运算。
专题：计算题。
分析：先对a和b进行分母有理化处理，然后代入所求式中进行化简变形即可得到结论．
解答：解：a=，b=
=
点评：本题主要考查了分数指数幂，以及分母有理化和根式的运算，属于基础题．
11、已知函数f（x）=a?bx的图象过点A（0，1）和B（3，27）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{an}中，已知a1=f（2），an+1=2an+f（n）（其中n∈N*），求{an}的通项公式．
考点：数列与函数的综合；指数函数的实际应用；数列递推式。
专题：综合题。
分析：（1）把点A（0，1）和B（3，27）代入函数解析式可求a，b进而可求函数f（x）的解析式
（2）由已知可得，令，则可得，结合等比数列的通项公式可求bn，进而可求an
解答：解：（1）由函数f（x）=a?bx的图象过点A（0，1）和B（3，27）
可得a?b0=1，a?b3=27
∴a=1，b=3∴f（x）=3x
（2）由a1=f（2）=9，an+1=2an+f（n）=2an+3n∴
令，则b1=3，
∴，b1﹣1=2
∴{bn﹣1}是以2为首项以为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可得，×2=
∴an=3n+3×2n
点评：本题以指数函数的解析式的求解为切入点，主要考查了利用数列的递推公式二次构造等比数列求解数列的通项公式，解题的关键变形是；，b1﹣1=2．
