答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（ ）
A、﹣ B、21*cnjy*com
C、﹣1 D、1
考点：余弦定理；正弦定理。
专题：计算题。21cnjy
分析：利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．
解答：解：∵acosA=bsinB
由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB21世纪教育网
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1
故选D
点评：本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．
2、E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：约定AB=6，AC=BC=，先在△AEC中用余弦定理求得EC，进而在△ECF中利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案．
∴
点评：考查三角函数的计算、解析化应用意识．
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（ ）
A、a＞b B、a＜b
C、a=b D、a与b的大小关系不能确定
考点：余弦定理；不等式的基本性质。221cnjy 1世纪教育网
专题：计算题。
分析：由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b=，根据＞0判断出a＞b．
4、若钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，
则m的取值范围是（ ）
A、（2，+∞） B、（0，2）21*cnjy*com
C、[1，2] D、[2，+∞）
考点：余弦定理；等差数列的性质。
专题：计算题。
分析：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，因为钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列得到B为60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，根据三角形为钝角三角形得到a2+b2﹣c2＜0，把求得的关系式代入不等式即可求得最大边c与最小边a比值即m的范围．
解答：解：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，所以2B=A+C，则A+B+C=3B=180°
故可得B=60°，根据余弦定理得：cosB=cos60°==
于是b2=a2+c2﹣ac，
又因为△ABC为钝角三角形，故a2+b2﹣c2＜0，
于是2a2﹣ac＜0，即＞2
则m=即m∈（2，+∞）
故选A
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质及钝角三角形三边的平方关系，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．
5、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A、90° B、120°
C、135° D、150°
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．
解答：解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，
有余弦定理可得，cosθ==，
易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，
故选B．
点评：本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．
6、在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则C为（ ）
A、45° B、60°
C、90° D、120°21*cnjy*com
7、在△ABC中，已知sinA+sinC=2sinB，且，如果△ABC的面积为，则∠B的对
边b等于（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
考点：余弦定理；正弦定理。
专题：计算题。
分析：先根据三角形面积公式求得ac的值，利用正弦定理及题设中sinA+sinC=2sinB，可知a+c的值，代入到余弦定理中求得b．
解答：解：
∴ac=2又a+c=2b由余弦定理：
∴
∴
∴
故选B．
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式．
8、在△ABC中，已知a2+c2=b2+ac，则∠B=（ ）
A、30° B、60°
C、90° D、120°
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：把题设中的等式关系代入到关于B的余弦定理中，求得cosB的值，进而求得B．
解答：解：∵a2+c2=b2+ac，∴ac=a2+c2﹣b2，
∴cosB==∴B=60°
故选B．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．考查了对基础知识的掌握．属基础题．
9、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面
积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（ ）21世纪教育网
A、1 B、21cnjy21*cnjy*com
C、 D、﹣
考点：余弦定理；二倍角的余弦；在实际问题中建立三角函数模型。
专题：计算题。
分析：由已知大会会标由4个相同的直角三角形与中间的面积是小正方形拼成的一个面积是1大正方形，我们可以设角形短直角边为x，然后根据余弦定理（在直角三角形中也可称为勾股定理），我们构造出关于x的方程，解方程求出三角形各边长，即可得到θ的各三角函数值，进而得到sin2θ﹣cos2θ的值
∴sinθ=，cosθ=
∴sin2θ﹣cos2θ=﹣
故选D
点评：本题考查的知识点是余弦定理，方程思想，根据已知，设出求知的边长，根据余弦定理（在直角三角形中也可称为勾股定理），我们构造出关于x的方程，是解答本题的关键．
10、三角形三边之比为3：5：7，则这个三角形的最大内角为（ ）
A、90° B、60°
C、120° D、150°
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：根据比例设出a，b及c，然后根据大边对大角判断得到C为最大角，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出最大角C的度数．
解答：解：故a=3k，b=5k，c=7k，
根据余弦定理cosC=a2+b2﹣c22ab得：
cosC=，又C∈（0，180°），
∴C=120°，
则该三角形最大内角等于120°．21*cnjy*com
故答案为：120°21世纪教育网
点评：此题综合考查了余弦定理以及三角形的边角关系．同时注意三角形中大边对大角的运用．
11、已知△ABC中，，则等于（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、21世纪教育网版权所有
考点：余弦定理；平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：根据向量的数量积定义，=?cos＜＞，求出cos＜＞即可．而＜＞=A，利用余弦定理求出 cosA
解答：解：在△ABC中，由余弦定理得：cosA==，的夹角等于A，根据向量的数量积定义，=?cosA=3×4×=
故选C
点评：本题考查向量的数量积，按照定义式代入数值计算即可．本题首先利用余弦定理求出，即A的余弦值，再计算．
12、在△ABC中，若b2=a2+c2+ac，则∠B等于（ ）
A、60° B、60°或120°
C、120° D、135°
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数．
解答：解：由b2=a2+c2+ac，得到a2+c2﹣b2=﹣ac，
所以根据余弦定理得：cosB==﹣，
∵B∈（0，180°），
则∠B=120°．
故选C
点评：此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值．做题时注意整体代入思想的运用，牢记特殊角的三角函数值．
13、在=（ ）
A、 B、6
C、 D、
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：，利用余弦定理可求得a．
解答：解：∵△ABC中，，
∴a2=b2+c2﹣2c?bcosA=84，∴a=．
故选A．21*cnjy*com
点评：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
14、若△ABC面积S=（a2+b2﹣c2）则∠C=（ ）21世纪教育网
A、 B、21cnjy
C、 D、
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：先由余弦定理求得a2+b2﹣c2=2abcosC，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得cosC和sinC的关系求得C．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．
15、在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=，则sin（B+C）
的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：在△ABC中，由余弦定理求得cosA=，根据A的范围，求出 A的大小，即可得出结果．
解答：解：在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，
由余弦定理可得cosA==
∴sin（B+C）=sinA=．
故选B
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，要注意三角形内角和的灵活运用，属基础题．
16、在△ABC中，若=（ ）
A、60° B、30°
C、120° D、150°21*cnjy*com
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：利用余弦定理直接求出A的余弦值，然后求出角的大小．
解答：解：在△ABC中，，所以cosA=﹣，所以A=150°．
故选D．21cnjy
点评：本题考查三角形的余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力．
17、已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、120°21世纪教育网
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：根据正弦定理化简已知的等式，得到三角形的三边之比，设出三角形的三边，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为三角形最大角的度数．
点评：此题考查了正弦定理，以及余弦定理，遇到比例问题，往往根据比例设出线段的长度来解决问题，熟练掌握定理是解题的关键．
18、在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：余弦定理；等比数列的性质；正弦定理。
专题：计算题。
分析：先根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列能够得出b2=ac，再由余弦定理cosA=以及条件即可求出cosA，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．
解答：解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列
可知b2=ac ①
由余弦定理可知cosA=②
又∵a2=c（a+c﹣b）
∴a2=ac+c2﹣bc ③21世纪教育网版权所有
联立①②③解得
cosA=21*cnjy*com
A∈（0，180°）21cnjy
∴∠A=21世纪教育网
故选D．
点评：本题主要考查了等比数列在解三角形中的应用．等比中项的利用是解本题的关键．
19、在△ABC中，a=，b=，c=2，则cosA等于（ ）
A、 B、
C、0 D、1
点评：此题考查了余弦定理，是一道基础题．余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
20、已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），则cosA=（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、
考点：余弦定理；两点间的距离公式。
专题：计算题。
分析：首先利用两点间的距离公式求出AB=3，BC=4，AC=5，然后根据余弦定理的求出答案．
解答：解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），
∴AB=3，BC=4，AC=5；
根据余弦定理得cosA==
故选D．
点评：本题考查了两点间的距离公式以及余弦定理，解题过程中只要认真，即可正确解答，属于基础题．
二、填空题（共5小题）
21、已知△ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 15 ．
考点：余弦定理；数列的应用；正弦定理。
专题：综合题。
分析：因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，
则cos120°==﹣，21世纪教育网版权所有
化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，1421*cnjy*com
则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．21世纪教育网
故答案为：1521cnjy
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
22、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为 ．
23、在△ABC中，AB=1，BC=2，B=60°，则AC= ．
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：根据余弦定理和题设中的条件求得AC．
解答：解：由余弦定理得：
故答案为
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
24、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．
考点：余弦定理。
专题：计算题。
分析：根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．
解答：解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，
所以cosB===﹣，
得到B为钝角即B∈（，π），
所以B=
故答案为
点评：考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．
25、在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是 ．21世纪21cnjy教育网版权所有
考点：余弦定理；两角和与差的正切函数。21世纪教21*cnjy*com 21cnjy育网
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．作为解三角形中常用的公式，应熟练掌握正弦定理和余弦定理及其变形公式．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）的值．
考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．
（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．
解答：解：（I）由B=C，可得
所以cosA==
（II）因为
所以
=
点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．
27、叙述并证明余弦定理．
考点：余弦定理。21cnjy
专题：证明题。21世纪教育网版权所有
分析：先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．
方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；
方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．21世纪教育网
解答：解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．
证法一：如图，21*cnjy*com
==
==b2﹣2bccosA+c2
即a2=b2+c2﹣2bccosA
同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；
证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则C（bcosA，bsinA），B（c，0），
∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，
同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．
点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．
28、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．
∴
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∴21cnjy21*cnjy*com
（2）由得
即
∴
∵a2+b2=4（a+b）﹣8
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0
∴a=2，b=2
由余弦定理得
∴
点评：本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．
29、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（I） 求△ABC的周长；21世纪教育网
（II）求cos（A﹣C）的值．
考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
30、在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．
考点：余弦定理；正弦定理。21221*cnjy*com 1cnjy世纪教育网版权所有
分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．21世纪教育网
余弦定理
一、选择题（共20小题）
1、在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（ ）
A、﹣ B、
C、﹣1 D、121世纪教育网版权所有
2、E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、2
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（ ）
A、a＞b B、a＜b
C、a=b D、a与b的大小关系不能确定21cnjy21*cnjy*com
4、若钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，
则m的取值范围是（ ）
A、（2，+∞） B、（0，2）
C、[1，2] D、[2，+∞）
5、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A、90° B、120°
C、135° D、150°
6、在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则C为（ ）
A、45° B、60°
C、90° D、120°
7、在△ABC中，已知sinA+sinC=2sinB，且，如果△ABC的面积为，则∠B的对
边b等于（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在△ABC中，已知a2+c2=b2+ac，则∠B=（ ）
A、30° B、60°
C、90° D、120°
9、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面
积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（ ）
A、1 B、
C、 D、﹣
10、三角形三边之比为3：5：7，则这个三角形的最大内角为（ ）
A、90° B、60°
C、120° D、150°
11、已知△ABC中，，则等于（ ）
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C、 D、21cnjy
12、在△ABC中，若b2=a2+c2+ac，则∠B等于（ ）21世纪教育网
A、60° B、60°或120°
C、120° D、135°
13、在=（ ）
A、 B、6
C、 D、
14、若△ABC面积S=（a2+b2﹣c2）则∠C=（ ）
A、 B、
C、 D、
15、在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=，则sin（B+C）
的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
16、在△ABC中，若=（ ）
A、60° B、30°
C、120° D、150°
17、已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、120°
18、在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，
且a2=c（a+c﹣b），则角A为（ ）
A、 B、
C、 D、
19、在△ABC中，a=，b=，c=2，则cosA等于（ ）
A、 B、
C、0 D、1
20、已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），则cosA=（ ）
A、﹣ B、21*cnjy*com
C、﹣ D、
二、填空题（共5小题）
21、已知△ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面
积为 _________ ．
22、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC
的值为 _________ ．21世纪教育网
23、在△ABC中，AB=1，BC=2，B=60°，则AC= _________ ．
24、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= _________ ．
25、在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．21cnjy
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）的值．
27、叙述并证明余弦定理．
28、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值
29、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（I） 求△ABC的周长；
（II）求cos（A﹣C）的值．
30、在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．
