答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=a则=（ ）
A、2 B、2
C、 D、
考点：正弦定理的应用。21世纪教育网
专题：计算题。2
分析：利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．
解答：解：∵asin AsinB+bcos2A=a21cnjy
∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA
∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA
∴==
选D
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．
2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，
则A=（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算．
3、△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．
解答：解：∵△ABC中
∴根据正弦定理得
∴
故选B；21世纪教育网
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用
4、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等
于（ ）
A、 B、2
C、 D、21世纪教育网版权所有
5、已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（ ）
A、135° B、90°
C、45° D、30°21cnjy
考点：正弦定理的应用。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．
解答：解析：由正弦定理得：，
∴A=45°或135°
∵a＜b
∴A＜B
∴A=45°
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．
6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（ ）
A、1 B、2
C、﹣1 D、
考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；
方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．
解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：
3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．
解法二：（正弦定理）由=，得：=，
∴sinB=，21世纪教育网版权所有
∵b＜a，∴B=，从而C=，2121*cnjy*com世纪教育网
∴c2=a2+b2=4，∴c=2．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．
7、在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命
题p是命题q的（ ）
A、充要条件 B、必要不充分条件
C、充分不必要条件 D、即不充分也不必要条件
考点：正弦定理的应用；充要条件。21cnjy
专题：计算题。
分析：先当p成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C判断出△ABC是等边三角形．推断出p是q的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得=2R，=2R，=2R，三者相等，进而可推断出p是q的必要条件，最后综合可得答案．
点评：本题主要考查了正弦定理的运用，充分条件，必要条件和充分必要的条件的判定．考查了学生分析问题和推理的能力．
8、在△ABC中，若，则角B的大小为（ ）
A、30° B、45°
C、135° D、45°或135°
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．
解答：解：由正弦定理得，
∴B=45°或135°
∵AC＜BC，
∴B=45°，
故选B．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．
9、已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的周长为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：利用正弦定理表示出边a，b；利用三角形的内角和将周长表示为角A的三角函数；利用两角差的正弦公式展开、利用公式化简三角函数．
点评：本题考查三角形中的正弦定理、考查三角形的内角和为π、考查三角函数的两角和的正弦、余弦公式．
10、在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。
分析：先根据三角形的面积公式求出AB边的长，再由余弦定理可得边BC的长，最终根据正弦定理得到答案．
解答：解：∵A=120°∴sinA=
S=×1×|AB|×sinA=∴|AB|=4
根据余弦定理可得：|BC|2=|AC|2+|AB|2﹣2|AC||AB|cosA=21
∴|BC|=
根据正弦定理可知：==2
故选C．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．
11、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪21cnjy教育网
考点：正弦定理的应用；同角三角函数间的基本关系。21世纪教育21cnjy网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：先把题设中的等式平方后求得sin2A的值，进而根据sinA+cosA＞0推断出A的范围，进而确定A的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
点评：本题主要考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
12、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么三边之比a：b：c等于（ ）
A、1：2：3 B、1：：2
C、3：2：1 D、2：：121*cnjy*com
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：利用三角形的三角的内角和为180°，求出三角的大小，求出三角的正弦值，利用正弦定理求出三边的比．
解答：解：∵A+B+C=180°
∵A：B：C=1：2：3
∴A=30°，B=60° C=90°
∴sinA=，sinB=sinC=1
由正弦定理得
a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：2
故选B．
点评：本题考查三角形的内角和为180°、三角形的正弦定理．
13、在三角形ABC中，已知∠B=60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（ ）
A、60° B、75°
C、90° D、115°
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：设a为最大边．，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tnaA的值，进而求得A．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系．
14、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）．21世纪教育网21*cnjy*com
A、正三角形 B、有一内角为30°的等腰三角形
C、等腰直角三角形 D、有一内角为30°的直角三角形21*cnjy*com
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。21cnjy
分析：先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sinB=cosB，sinC=cosC，进而分别求得B和C，则三角形的形状可判断．
解答：解：∵，
由正弦定理可知===1
∴sinB=cosB，sinC=cosC
∴B=，C=，
∴A=
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选C
点评：本题主要考查而来正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．
15、在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（ ）
A、0＜C≤ B、0＜C＜
C、＜C＜ D、＜C≤
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cosC的表达式，根据b的范围求得cosC的范围，进而求得C的范围．
解答：解：因为c=AB=1，a=BC=2，b=AC
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知
1＜b＜3，根据余弦定理
cosC=（a2+b2﹣c2）
=（4+b2﹣1）
=（3+b2）21世纪教育网版权所有
=+
=（﹣）2+≥21cnjy21*cnjy*com
所以0＜C≤30°
故选A
点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．
16、△ABC中，若A=60°，a=，则等于（ ）
A、2 B、
C、 D、21世纪教育网
17、在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形
C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：先根据正弦定理将边的关系变为角的关系，进而再由两角和与差的正弦公式确定B=C得到三角形是等腰三角形．
解答：解：由=，得=．
又=，∴=．
∴=．∴sinAcosB=cosAsinB，
sin（A﹣B）=0，A=B．同理B=C．
∴△ABC是等边三角形．
故选B．
点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式的应用．三角函数公式比较多，要对公式强化记忆．
18、不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）
A、a=4，b=5，tanA=2，tanB=3，a=1有一解 B、a=5，b=4，A=60°有两解
C、，，B=120°有一解 D、，，B=60°一个解
考点：正弦定理的应用。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21cn21*cnjy*com jy
分析：A不正确，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+c=4+1=5=b．
B不正确，由正弦定理可得 sinB=，再根据大边对大角知B＜A，故B只有一个，故C只有一个．
C不正确，因为由于大边对大角，由a＞b可得 A＞B=120°，这与三角形的内角和相矛盾．
D正确，由正弦定理可得 sinA=，且由大边对大角知 A＜B=60°，故A只有一个，故三角形有一解．21世纪教育网
解答：解：A不正确，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+c=4+1=5=b，故这样的三角形不存在．
B不正确，由正弦定理可得=，∴sinB=．再根据大边对大角知B＜A，故B只有一个，故C只有
一个，故三角形有一解．
C不正确，因为由于大边对大角，a＞b，∴A＞B=120°，故 A+B＞240°，这与三角形的内角和相矛盾．
D正确． 由正弦定理可得，∴sinA=，且由大边对大角知 A＜B=60°，故A只有一个，
C只有一个，故三角形有一解．
故选 D．
点评：本题考查正弦定理，大边对大角，根据角的正弦值确定角的范围，是解题的难点．
19、在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（ ）
A、无解 B、有解
C、有两解 D、不能确定
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是通过正弦定理求得sinB，进而根据sinB的推断出三角形的解．
20、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A、a=1，b=2，c=3 B、a=1，b=，∠A=30°
C、a=1，b=2，∠A=100° D、b=c=1，∠B=45°
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c．
B有2个解，由正弦定理可得 sinB=，故 B=45°，或 B=135°．
C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．
D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°．
解答：解：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c，故这样的三角形不存在．
B有2个解，由正弦定理可得，∴sinB=，故 B=45°，或 B=135°．
C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．
D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°，故有唯一解．
故选D．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解的个数判断，根据三角函数的值求角．根据三角函数的值求角是解题的难点．
二、填空题（共5小题）21cnjy21*cnjy*com
21、如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB=A1B1．若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 2 ．
22、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．
考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．
解答：解：由正弦定理，知
由（b﹣c）cosA=acosC可得
（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=．
故答案为：
点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．
23、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A= ．
考点：正弦定理的应用。21cnjy
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：通过正弦定理求出sinA的值，进而求出角A，再根据角A的范围得出结果．
解答：解：由正弦定理得21世纪教育网
∴A=或21*cnjy*com
∵a＜c
故答案为：
点评：本题主要考查正弦定理的应用．正弦定理是实现三角形中边角互化的常用方法．
24、在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB= ．
25、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则a：b：c= 5：7：8 ，∠B的大小是 60 °．
考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：先通过正弦定理求出a，b，c的关系，设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理，求出cos∠B的值，进而求出∠B．
解答：解：由正弦定理得sinA：sinB：sinC=5：7：8
∴a：b：c=5：7：8
设a=5k，b=7k，c=8k，
由余弦定理cos∠B===
∴∠B=．
故答案为：5：7：8，
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形的问题时，要灵活运用这两个定理．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．
点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．
27、在△ABC中，a，b，c，分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos（B+C）=0，求边BC上的高．
考点：正弦定理的应用；正弦定理。21世纪教育网21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：利用三角形的内角和180°，1+2cos（B+C）=0，求出A的正弦值，利用正弦定理，求出B的正弦值，然后求出C的正弦值，即可求出边BC上的高．
解答：解：由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=180°
所以cosA=，sinA=，21cnjy
由正弦定理得：
sinB==
由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜90°．从而cosB==
由上述结果知
sinC=sin（A+B）=，
设边BC上的高为h则有
h=bsinC=
点评：本题是基础题，考查三角形的内角和，正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型．
28、在△ABC中，．
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若cosA=﹣，求sin的值．
考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。
专题：证明题。
分析：（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出sin（B﹣C）=0．再由B，C的范围可判断B=C得证．
（2）先根据（1）确定A，与B的关系，再由诱导公式可求出cos2B的值，然后由基本关系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案．21世纪教育网
解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=．
于是sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．
因为﹣π＜B﹣C＜π，从而B﹣C=0．所以B=C；
（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π﹣2B，
故cos2B=﹣cos（π﹣2B）=﹣cosA=．21世纪教育网版权所有
又0＜2B＜π，于是sin2B==．
从而sin4B=2sin2Bcos2B=，
cos4B=．21cnjy
所以．
点评：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．21*cnjy*com
29、已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．
考点：正弦定理的应用。
专题：计算题。
分析：（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．
（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．
解答：解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA
∴由正弦定理得AB=2BC
又∵BC=1
∴AB=2
（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°
∴，
∴
=
=
=
点评：本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．
30、在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．
（1）求A+B的值；21*cnjy*com
（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．21世纪教育网21*cnjy*com
考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。2121cnjy世纪教育网版权所有
分析：（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．
（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．
点评：本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．
正弦定理的应用
一、选择题（共20小题）
1、△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=a则=（ ）
A、2 B、221*cnjy*com
C、 D、2
2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，
则A=（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°21cnjy
3、△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、
4、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等
于（ ）
A、 B、2
C、 D、
5、已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（ ）
A、135° B、90°
C、45° D、30°
6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（ ）
A、1 B、2
C、﹣1 D、
7、在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命
题p是命题q的（ ）
A、充要条件 B、必要不充分条件
C、充分不必要条件 D、即不充分也不必要条件
8、在△ABC中，若，则角B的大小为（ ）
A、30° B、45°
C、135° D、45°或135°
9、已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的周长为（ ）
A、 B、
C、 D、
10、在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
11、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（ ）
A、 B、
C、 D、
12、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么三边之比a：b：c等于（ ）
A、1：2：3 B、1：：2
C、3：2：1 D、2：：1
13、在三角形ABC中，已知∠B=60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（ ）
A、60° B、75°21*cnjy*com
C、90° D、115°
14、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）．21cnjy
A、正三角形 B、有一内角为30°的等腰三角形
C、等腰直角三角形 D、有一内角为30°的直角三角形
15、在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（ ）
A、0＜C≤ B、0＜C＜
C、＜C＜ D、＜C≤
16、△ABC中，若A=60°，a=，则等于（ ）
A、2 B、
C、 D、
17、在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形
C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
18、不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）
A、a=4，b=5，tanA=2，tanB=3，a=1有一解 B、a=5，b=4，A=60°有两解
C、，，B=120°有一解 D、，，B=60°一个解
19、在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（ ）
A、无解 B、有解
C、有两解 D、不能确定
20、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A、a=1，b=2，c=3 B、a=1，b=，∠A=30°
C、a=1，b=2，∠A=100° D、b=c=1，∠B=45°
二、填空题（共5小题）
21、如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB=A1B1．若△AOB的外接圆的直径
为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 _________ ．
22、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则
cosA= _________ ．
23、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A= _________ ．
24、在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB= _________ ．21*cnjy*com
25、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：
8，则a：b：c= _________ ，∠B的大小是 _________ °．21cnjy
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．
27、在△ABC中，a，b，c，分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos（B+C）
=0，求边BC上的高．
28、在△ABC中，．
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若cosA=﹣，求sin的值．
29、已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．
30、在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．
（1）求A+B的值；
（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．
