答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A、﹣ B、21cnjy
C、﹣ D、
考点：正弦定理。21世纪教育网
分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．
解答：解：根据正弦定理可得，21cnjy21*cnjy*com
，21世纪教育网
解得，
又∵b＜a，21*cnjy*com
∴B＜A，故B为锐角，
∴，
故选D．
点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．
2、已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，
则b=（ ）
A、2 B、4+2
C、4﹣2 D、﹣
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．
3、在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（ ）
A、 B、
C、2 D、
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：结合已知条件，直接利用正弦定理作答．
解答：解：∵AB=，A=45°，C=75°，
由正弦定理得：，21*cnjy*com
∴．21世纪教育网版21cnjy权所有
故选A．21cnjy
点评：本题考查了正弦定理===2R，注意sin75°=．21*cnjy*com
4、△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A、4sin（B+）+3 B、4sin（B+）+3
C、6sin（B+）+3 D、6sin（B+）+321世纪教育网
5、在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（ ）
A、105° B、60°
C、15° D、105°或15°21*cnjy*com
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：根据正弦定理 知，将题中数据代入即可求出角C的正弦值，然后根据三角形的内角和，进而求出答案．
解答：解：∵知a=5，c=10，A=30°
根据正弦定理可知
∴sinC═=
∴C=45°或135°
B=105° 或15°
故选D．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．
6、在△ABC中，若，C=150°，BC=1，则AB=（ ）
A、 B、
C、 D、21cnjy
考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系。2121*cnjy*com世纪教育网
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：根据所给的角A的正切值，根据同角的三角函数关系得到角A的正弦值，分析在三角形中已知和要求的边刚好是两对角和它们的对边，应用正弦定理，写出关于要求的边的等式，解方程求出边长．
点评：本题考查同角之间的基本关系，正弦定理的应用，运算量不大，是一个可以作为选择和填空出现的问题，是一个基础题．
7、在△ABC中，若b=2asinB，则A=（ ）2121cnjy世纪教育网
A、30° B、60°
C、30°或150° D、60°或120°
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：利用正弦定理，可把b=2asinB变形为sinB=2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A．
解答：解：将a=2RsinA，b=2RsinB代入b=2asinB中，
得2RsinB=2?2RsinAsinB，
解得sinA=，
∵0°＜A＜180°，
∴A=30°或150°．
故选C．
点评：本题利用了正弦定理的变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，比较简单．
8、△ABC中，已知b=10，c=15，C=30°，则此三角形的解的情况是（ ）
A、一解 B、两解
C、无解 D、无法确定
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：先根据b=10，c=15知道b＜c进而可推断B＜C，通过C=30°可知B必为小于30°的锐角．进而可知三角形的解只有一解．
解答：解：∵b＜c
∴B＜C，
∴B必为小于30°的锐角．
∴此三角形的解只有一解．
故选A
点评：本题主要考查了解三角形的问题．在三角形中大边对大角是判断边角不等式问题中常用的方法．
9、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则
sinA+sinB的最大值是（ ）
A、 B、121cnjy
C、 D、
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。221cnjy 21世纪教育网1世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先根据正弦定理把边化成角的正弦代入题设，化简可得SinAcosC=0．因A为三角形内角排除sinA=0，进而可知cosC=0，即C=90°，即sinB=cosA，代入sinA+sinB，通过两角和公式化简成sin（A+）进而得出答案．
点评：本题主要考查正弦定理和三角函数中两角和公式的应用．解决本题的关键是通过正弦定理完成边角互化．
10、在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、120°21*cnjy*com
考点：正弦定理；余弦定理。
分析：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互化可以得到a=c，又由B=30°，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180°，即可求出A角的大小．
解答：解：∵在△ABC中，如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理，可得：
cosB=cos30°===
解得：b=c
则B=C=30°
A=120°．
故选D．
点评：余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：cosA=（b2+c2﹣a2）÷2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）÷2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）÷2ab
11、在△ABC中，（ ）
A、 B、
C、或 D、以上都不对
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．
解答：解：由，利用余弦定理得：
=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，2121cnjy世纪教育网
因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．21世纪教21世纪教育网育网版权所有
故选C
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
12、在△ABC中，，则A等于（ ）
A、 B、或21*cnjy*com
C、 D、21*cnjy*com
点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题，但解决此问题时要注意求解出sinA后，不要误认为A有两解，还要注意三角形中大边对大角．
13、在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（ ）．
A、 B、
C、 D、
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：欲求最短边的长，必须先判断谁是最短边，转化为判断谁是最小角，结合三角值即可判断最小角，接下来利用正弦定理求解即可．
解答：解：由条件知A．B都是小于，
所以角C最大，
又tanB=，B最小，
由得，
，
所以最短边长为．21世纪教育网版21cnjy权所有
故选D．21cnjy
点评：本题主要考查了正弦定理，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等．
14、已知△ABC三边之比为a：b：c=3：5：7，且最大边边长为14，则△ABC面积为（ ）
A、15 B、1521世纪教育网
C、15 D、1521世纪教育网21*cnjy*com
考点：正弦定理；余弦定理的应用。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先根据三边的比确定最大边，进而可得c，再根据他们的比分别求得a和b，根据余弦定理求得cosA的值，进而求得sinA的值，最后根据三角形的面积公式得到答案．
点评：本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式的应用．余弦定理、正弦定理和面积公式是解三角形问题的常用方法，故应熟练掌握．
15、在△ABC中，a=3，b=3，A=120°，则角B的值为（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，然后由A为钝角，得到角B为锐角，利用特殊角的三角函数值和sinB的值即可求出角B的值．
解答：解：根据正弦定理得：=，又a=3，b=3，A=120°，
所以sinB===，由A=120°，得到B+C=60°，即B为锐角，
则角B的值为：30°．
故选A
点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值，是一道基础题．学生做题时注意判断角B的范围．
16、（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：正弦定理。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：利用三角形的面积求出c，利用余弦定理求出a，然后求出的值．
解答：解：因为，所以，
所以c=4，由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccosA，所以a2=1+16﹣4=13，a=，21cnjy21*cnjy*com
所以==．21cnjy21*cnjy*com
故选A．
点评：本题是基础题，考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查计算能力，常考题型．
17、在三角形ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，a=4，b=，C=60°，则三
角形ABC的面积为（ ）
A、 B、36
C、 D、18
18、设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若
的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：正弦定理；充要条件。
专题：计算题。
分析：利用正弦定理求出sinB=b?求出B的值，判定两个命题的关系．
解答：解：由正弦定理可知=
∴sinB=b?=×=
∵0＜B＜180°
∴B=60°或120°
∴若a=1，b=，A=30°则B=60°或120°
∠B=60°不能推出a=1，b=，A=30°
故选D
点评：本题考查了正弦定理和充要条件，要熟练掌握正弦定理，属于基础题．
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理是解三角形问题中常用公式，平时应注意记忆和练习．
20、在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A、（0，] B、[，π）
C、（0，] D、[，π）21cnjy21*cnjy*com
考点：正弦定理；余弦定理。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．
解答：解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，
∴a2≤b2+c2﹣bc
∴cosA=≥
∴A≤
∵A＞0
∴A的取值范围是（0，]
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．
二、填空题（共5小题）
21、在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= ．
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：直接利用正弦定理，求出a 的值即可．
解答：解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，
a===．
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．21世纪教育网
22、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则= 4 ．21cnjy
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理。21世纪教育网版权所有
分析：已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有对称性，可以选用特殊的角或边来求解结果，当a=b时满足题意，根据可以成立的这个条件写出cosC的值，根据这个结果，令A=B，做出tanA和tanB的值，得到结果．
点评：本题是一个比较特殊的题目，根据等式，把几个量特殊化，这是一般题目见不到的地方，注意本题的解法，这是一种只能用于选择和填空的方法．21*cnjy*com 21世纪教育网
23、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，
则sinC= 1 ．
考点：正弦定理。
专题：计算题。
分析：先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由边的关系可确定A的值，从而
点评：本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用．
24、在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 2 ，AC的取值范围为 （） ．
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。
专题：综合题。
分析：（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；
（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．21世纪教育网
解答：解：（1）根据正弦定理得：=，21世纪教育网
因为B=2A，化简得=即=2；
（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，21世纪教育网版权所有
所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，21cnjy
于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．21cnjy
故答案为：2，（，）
点评：考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．21*cnjy*com
25、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a= ．
考点：正弦定理。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
解答：解：由正弦定理，
∴
故答案为
点评：本题主要考查了正弦定理得应用．属基础题．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值
（2）若a=1，，求边c的值．
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．
（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．
解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；
代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=；
（2）∵cosA=
∴sinA=
cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③
又已知 cosB+cosC=代入 ③
cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立
解得 sinC=
已知 a=1
正弦定理：c===21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．
27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c21cnjy
（1）若，求A的值；21世纪教21cnjy育网
（2）若，求sinC的值．21世纪教育网21*cnjy*com
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．
（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
28、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理。
专题：计算题。
分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式．
（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．
解答：解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π
所以 sinC=．
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，
由正弦定理=，得：c=4
由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得
cosC=±21cnjy
由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，得21世纪教育网版权所有
b2±b﹣12=021世纪教育网21*cnjy*com
解得b=或221世纪教育网21cnjy
所以b=或b=2，c=4．21*cnjy*com
点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力．
29、已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；
（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．
因为f（A）=cosA=，
且A为△ABC的角，
所以A=．
由正弦定理得 sinB==，
又b＞a，
所以 B=时，，
当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．
点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的直正弦函数公式化简求值，灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道多知识的综合题．学生做题时应注意C的度数有两个解．
30、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求C；21世纪教育网
（2）若，求a，b，c．21世纪21世纪教育网教育网版权所有
考点：正弦定理；平面向量数量积的运算。21cnjy
专题：计算题。
分析：（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C．
（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c．
正弦定理
一、选择题（共20小题）
1、在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）
A、﹣ B、
C、﹣ D、21世纪教育网
2、已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，
则b=（ ）
A、2 B、4+22
C、4﹣2 D、﹣21世纪教育网
3、在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（ ）
A、 B、
C、2 D、21*cnjy*com
4、△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）21*cnjy*com
A、4sin（B+）+3 B、4sin（B+）+3
C、6sin（B+）+3 D、6sin（B+）+3
5、在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（ ）
A、105° B、60°
C、15° D、105°或15°
6、在△ABC中，若，C=150°，BC=1，则AB=（ ）
A、 B、
C、 D、
7、在△ABC中，若b=2asinB，则A=（ ）
A、30° B、60°
C、30°或150° D、60°或120°
8、△ABC中，已知b=10，c=15，C=30°，则此三角形的解的情况是（ ）
A、一解 B、两解
C、无解 D、无法确定
9、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则
sinA+sinB的最大值是（ ）
A、 B、1
C、 D、
10、在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、120°
11、在△ABC中，（ ）
A、 B、
C、或 D、以上都不对
12、在△ABC中，，则A等于（ ）
A、 B、或
C、 D、
13、在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（ ）．
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
14、已知△ABC三边之比为a：b：c=3：5：7，且最大边边长为14，则△ABC面积为（ ）
A、15 B、15
C、15 D、1521世纪教育网
15、在△ABC中，a=3，b=3，A=120°，则角B的值为（ ）21*cnjy*com
A、30° B、45°
C、60° D、90°21cnjy
16、（ ）
A、 B、
C、 D、
17、在三角形ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，a=4，b=，C=60°，则三
角形ABC的面积为（ ）
A、 B、36
C、 D、18
18、设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若
的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（ ）
A、 B、
C、 D、
20、在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A、（0，] B、[，π）
C、（0，] D、[，π）
二、填空题（共5小题）
21、在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= _________ ．
22、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则= _________ ．
23、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，
则sinC= _________ ．
24、在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 _________ ，AC的取值范围为 _________ ．
25、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值
（2）若a=1，，求边c的值．21世纪教育网
27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）若，求A的值；
（2）若，求sinC的值．21cn21*cnjy*com jy
28、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
29、已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，
求角C．
30、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求C；
（2）若，求a，b，c．
