换底公式的应用
一、选择题（共7小题）
1、设3a=4b=m，，且=2，则m=（ ）
A、12 B、2
C、4 D、48
2、设x=+，则x属于区间（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（1，2）
C、（﹣3，﹣2） D、（2，3）
3、若y=log56?log67?log78?log89?log910，则（ ）
A、y∈（2，3） B、y∈（1，2）
C、y∈（0，1） D、y=1
4、已知a，b，c均为正数，且都不等于1，若实数x，y，z满足，则abc的值等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
5、已知In2=a，In3=b，那么log32用含a，b的代数式表示为（ ）
A、a+b B、a﹣b
C、ab D、
6、设，则（ ）
A、0＜P＜1 B、1＜P＜2
C、2＜P＜3 D、3＜P＜4
7、设a=log32，b=In2，c=，则（ ）
A、a＜b＜c B、b＜c＜a
C、c＜a＜b D、c＜b＜a
二、填空题（共14小题）
8、已知（a＞0），则= _________ ．
9、若3x=4y=36，则= _________ ．
10、已知f（3x）=4xlog23+1，则= _________ ．
11、设3x=0.03y=10﹣2，则的值为 _________ ．
12、的值是 _________ ．
13、log225?log34?log59= _________ ．
14、设log127=a，12b=6，则log2442= _________ ．
15、已知log63=a，则用a表示log62，表达式为log62= _________ ．
16、已知log147=a，14b=5，用a，b表示log3570 _________ ．
17、log32=t，则log43= _________ ．
18、已知lg2=a，lg3=b，那么log36= _________ ．
19、a＞b＞1且则logab﹣logba= _________ ．
20、若，则x= _________ ．
21、已知，则实数m的值为 _________ ．
三、解答题（共6小题）21*cnjy*com
22、计算：（1）已知log23=a log37=b 求的值
（2）loga18=m loga24=n求loga1.5
23、已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．
24、证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
25、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．
（2）已知log627=a，试用a表示log1816．
26、已知3a=5b=c，且，设函数．
（1）求c的值；
（2）记g（t）为函数f（x）在闭区间[t，t+1]（r∈R）上的最小值，利用（1）中所求的c值，试写出g（t）的函数表达式，并求出g（t）的最小值．
27、已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）．
答案与评分标准
一、选择题（共7小题）
1、设3a=4b=m，，且=2，则m=（ ）
A、12 B、2
C、4 D、48
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：根据指对互化的关系式表示出a和b，再由对数的运算性质和换底公式进行求值．
解答：解：由3a=4b=m得，a=log3m，b=log4m，
∴=logm3，=logm4，∴+=logm3+logm4=logm12=2，
∴m2=12，即m=2，
故选B．
点评：本题考查了对数的运算性质和换底公式的应用，以及指对互化的关系式，属于基础题．
2、设x=+，则x属于区间（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（1，2）
C、（﹣3，﹣2） D、（2，3）
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题；函数思想。
分析：由题意把两个对数换成以为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=的单调性，求出x的范围．
解答：解：由题意，x=+=+=；
∵函数y=在定义域上是减函数，且，
∴2＜x＜3．
故选D．
点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值．
3、若y=log56?log67?log78?log89?log910，则（ ）21*cnjy*com
A、y∈（2，3） B、y∈（1，2）
C、y∈（0，1） D、y=1
考点：换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：利用换底公式将式子均化为常用对数进行求解即可．
解答：解：y=log56?log67?log78?log89?log910
==
因为＜5＜10，所以＜lg5＜1，所以
故选B
点评：本题考查对数的换底公式的应用、对数值的大小判断，考查运算能力．
4、已知a，b，c均为正数，且都不等于1，若实数x，y，z满足，则abc的值等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
5、已知In2=a，In3=b，那么log32用含a，b的代数式表示为（ ）
A、a+b B、a﹣b
C、ab D、
考点：换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：由已知中In2=a，In3=b，用换底公式可将log32化用自然对数表示的形式，代入In2=a，In3=b，即可得到答案．
解答：解：∵In2=a，In3=b，
又∵log32=
∴log32=
故选D
点评：本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握．
6、设，则（ ）21世纪教育网
A、0＜P＜1 B、1＜P＜2
C、2＜P＜3 D、3＜P＜4
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
专题：计算题。
分析：由对数的换底公式可以把原式转化为P=log112+log113+log114+log115=log11120．由此进行判断能够得到正确结果．
解答：解：
=log112+log113+log114+log115
=log11（2×3×4×5）
=log11120．
∴log1111=1＜log11120＜log11121=2．
故选B．
点评：本题考查对数的换底公式，解题时要注意公式的应用．
7、设a=log32，b=In2，c=，则（ ）
A、a＜b＜c B、b＜c＜a
C、c＜a＜b D、c＜b＜a
二、填空题（共14小题）21世纪教育网
8、已知（a＞0），则= 3 ．
考点：指数式与对数式的互化；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：将已知的等式两边同时进行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用对数的运算性质计算结果．
解答：解：已知（a＞0），
∴，
故答案为 3．
点评：本题考查根指数的转化运算，以及利用对数的运算性质求对数式的值，体现了代入得思想．
9、若3x=4y=36，则= 1 ．
考点：指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：由指数式和对数式的关系可得x=log336，y=log436，∴+=2×log363+log364，再利用对数的运算
性质化简求值．
解答：解：∵3x=4y=36，
∴x=log336，y=log436，
∴+=2×log363+log364=log369+log364=log3636=1，
故答案为 1．
点评：本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质的应用，换底公式的应用．
10、已知f（3x）=4xlog23+1，则= 230 ．21世纪教育网
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：利用对数的运算法则将已知等式变形，求出f（x）的解析式，进而可得出f（2i）；利用等差数列的前n项和公式求出答案．
解答：解：f（3x）=4xlog23+1=4log23x+1
∴f（x）=4log2x+1
∴f（2i）=4log22i+1=4i+1
∴==230
故答案为230
点评：本题考查对数的运算法则、考查等差数列的前n项和公式．
11、设3x=0.03y=10﹣2，则的值为 ﹣1 ．
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：根据对数式与指数式的互化方法，可得x=log0.013，y=log0.010.03，进而可得答案．
解答：解：根据题意，3x=0.03y=10﹣2，
可得x=log0.013，y=log0.010.03，
则x﹣y=log0.01100=﹣1
∴的值为﹣1
故答案为﹣1．
点评：本题考查对数的运算性质，注意其运算性质与实数的不同．
12、的值是 ．
13、log225?log34?log59= 8 ．
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：由换底公式可将原式对数的底数都换成以10为底的对数，约分可得值．
解答：解：原式===8
故答案为：8
点评：考查学生灵活运用换底公式化简求值的能力，灵活运用对数运算性质解决数学问题的能力，属基础题．
14、设log127=a，12b=6，则log2442= ．
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：由12b=6得b=log126，利用换低公式把log2442换成以12为底的对数，把42和24化成“6×7”“”，利用对数的运算性质，将一个对数拆成已知的两个对数和或差，再把a和b代入．
解答：解：由12b=6得，b=log126，
则log2442====，
故答案为：．
点评：本题考查了由条件求对数的值，根据对数的定义把指数式化为对数式，再根据条件利用换底公式把所求的对数进行换低，利用对数的运算性质，将一个对数拆成已知的两个对数和或差，即用条件来表示．
15、已知log63=a，则用a表示log62，表达式为log62= 1﹣a ．
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：先根据对数得到运算法则可知log63+log62=1，而log63=a，代入即可求所求．
解答：解：∵log63+log62=log66=1，而log63=a
∴a+log62=log66=1即log62=1﹣a
故答案为：1﹣a
点评：本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行转化．
16、已知log147=a，14b=5，用a，b表示log3570 ．
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
专题：计算题。
分析：由题意知，将b表示出来，得b=log145再对log3570用换底公式，用a，b表示log3570
解答：解：由14b=5得b=log145，又log147=a
log3570=
故答案为：．
点评：本题考查换底公式的应用，解题的关键是利用换底公式及对数的运算性质通过灵活变形用a，b表示log3570．
17、log32=t，则log43= ．
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
分析：化简log43和log32=t找出关系即可．
解答：解：log43=log23=
故答案为：
点评：本题考查换底公式，对数的运算性质，是基础题．
18、已知lg2=a，lg3=b，那么log36= ．
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
专题：计算题。
分析：由换底公式，可得log36=，由此能够准确地利用a，b表示log36．
解答：解：∵lg2=a，lg3=b，
∴log36=
=．
故答案：．
点评：本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．
19、a＞b＞1且则logab﹣logba= ．
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
专题：计算题。
分析：利用换底公式，由方程求出logab，然后代入logab﹣logba求解即可．
解答：解：令x=logab
所以3x2﹣10x+3=0解得 x=3 或x=
因为a＞b＞1，所以x=
logab﹣logba=﹣3=
故答案为：
点评：本题考查换底公式的应用，对数的运算性质，是基础题．
20、若，则x= ．
考点：换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：由==，能够推导出x的值．
解答：解：∵==，
∴x=．
故答案为．
点评：本题考查换底公式的应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
21、已知，则实数m的值为 ．
三、解答题（共6小题）21世纪教育网版权所有
22、计算：（1）已知log23=a log37=b 求的值
（2）loga18=m loga24=n求loga1.5
考点：对数的运算性质；换底公式的应用。
专题：计算题。
分析：（1）注意换底公式的运算性质的运用
（2）可试用m、n来表示loga2与loga3
解答：解：（1）===
===
（2）loga1.5==loga3﹣loga2
由条件知：m=loga2+2loga3，n=loga3+3loga2，
∴loga2=，loga3=
∴loga1.5=loga3﹣loga2=
点评：考查换底公式的运算性质的运用，及解方程的数学思想
23、已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．
考点：对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法。
专题：计算题；分类讨论。
分析：利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．
解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为
logax﹣4?+12?++n（﹣2）n﹣1?
=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]logax
=logax
故原不等式可化为logax＞loga（x2﹣a）．①
当n为奇数时，＞0，不等式①等价于
logax＞loga（x2﹣a）．②
因为a＞1，②式等价于
因为＜0，＞=，
所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．
当n为偶数时，＜0，不等式①等价于
logax＞loga（x2﹣a）．③
因为a＞1，③式等价于或
因为，
所以，不等式③的解集为{x|x＞}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}
点评：本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．
24、证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．21世纪教育网版权所有
考点：换底公式的应用。
专题：证明题。
分析：利用指数式与对数式的互化，logbN=x 等价于bx=N，两边同取对数后解除x的解析式．
解答：证明：令logbN=x，则bx=N，两边同取以a为底的对数得：=logaN，
∴x?logab=logaN，
∴x=，
∴logbN=成立．
点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．
25、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．
（2）已知log627=a，试用a表示log1816．
考点：换底公式的应用；对数的运算性质。
分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，
把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．
（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．
解答：解：（1）∵log310=a，∴a=，∵log625=b===，
∴lg2=，
log445=====．
（2）∵log627=a=，∴lg3=，
∴log1816===．
点评：本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想．
26、已知3a=5b=c，且，设函数．
（1）求c的值；
（2）记g（t）为函数f（x）在闭区间[t，t+1]（r∈R）上的最小值，利用（1）中所求的c值，试写出g（t）的函数表达式，并求出g（t）的最小值．
∴=x2﹣4x﹣4
当t+1＜2，即t＜1时，
g（t）=f（t+1）=t2﹣2t﹣7
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，
g（t）=f（2）=﹣8
当t＞2时，
g（t）=f（t）=t2﹣4t﹣4
则g（t）=
g（t）的最小值为﹣8
点评：本题考查的知识点是换底公式的应用，函数的最值及其几何意义，其中利用换底公式和对数的运算性质，求出c值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．
27、已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）．
考点：对数值大小的比较；对数的运算性质；换底公式的应用。
分析：利用作差法化简代数式，比较大小，可推得结论．
解答：证明：loga（a+λ）﹣log（a+λ）（a+2λ）
=﹣
=
∵a＞1，λ＞0，
∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）．
∴lga?lg（a+2λ）＜[（）]2
=[]2＜[]2=lg2（a+λ）．
∴＞0．
∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）．
点评：本题考查对数值大小比较，对数的换底公式，对数的性质，是中档题．
