指数式与对数式的互化
一、选择题（共19小题）
1、函数的反函数是（ ）
A、 B、y=e2x﹣1（x∈R）
C、 D、
2、函数y=（x＜0）的反函数是（ ）21cnjy
A、y=log2（x＜﹣1） B、y=log2（x＞1）
C、y=log2（x＜﹣1） D、y=log2（x＞1）
3、已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、[2，+∞） B、（0，1）∪（1，2）
C、 D、
4、与函数y=e2x﹣2e2+1（x≥0）的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若3x=2，则x=（ ）
A、lg3﹣1g2 B、lg2﹣1g3
C、 D、
6、设，则x的范围是（ ）
A、 B、{x|﹣2＜x＜﹣1}
C、{x|﹣1＜x＜0} D、φ
7、若xlog23=1，则3x+9x的值为（ ）
A、3 B、6
C、2 D、
8、已知=（a＞0），则a=（ ）
A、 B、
C、3 D、﹣3
9、如果=b（a＞0且a≠1），则（ ）
A、2logab=1 B、
C、 D、
10、已知，则a等于（ ）
A、 B、
C、2 D、4
11、已知a，b，N∈（1，+∞），下列关系中，与ab=N不等价的是（ ）
A、b=logaN B、
C、a=N﹣b D、
12、指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是（ ）
A、log3a=b B、log3b=a
C、logab=3 D、logba=3
13、设，则x值所在的范围是（ ）
A、﹣3＜x＜﹣2 B、﹣2＜x＜﹣1
C、﹣1＜x＜0 D、0＜x＜1
14、若非零实数a、b、c满足，则的值等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
15、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（ ）21cnjy
A、1 B、b
C、logba D、alogba
16、函数的反函数是（ C ）
A、y=4x﹣2x+1（x＞2） B、y=4x﹣2x+1（x＞1）
C、y=4x﹣2x+2（x＞2） D、y=4x﹣2x+2（x＞1）
17、函数的反函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
18、已知f（x）是R上的增函数，点A（﹣1，1），B（1，3）在它的图象上，f﹣1（x）是它的反函数，那么不等式|f﹣1（log2x）|＜1的解集为（ ）
A、{x|﹣1＜x＜1} B、{x|2＜x＜8}
C、{x|1＜x＜3} D、{x|0＜x＜3}
19、若各项均正的等比数{an}中lg（a3?a8?a13）=6，a1?a15的值为（ ）21世纪教育网
A、102 B、103
C、104 D、10
二、填空题（共6小题）21世纪教育网
20、已知f（3x）=2xlog23，则f（2）= _________ ．
21、已知过点O的直线与函数y=3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y=9x的图象于C点，当BC∥x轴，点A的横坐标 _________ ．
22、已知指数函数过点P（1，2010），则它的反函数的解析式为 _________ ．
23、方程log3（9x﹣4）=x+1的解x= _________ ．
24、若f（10x）=x，则f（3）= _________ ．
25、已知2x=0.618，且x∈[k，k+1]，k∈Z，则k= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f（x）=4x﹣a2x+b，当x=1时，f（x）有最小值﹣1；
（1）求a，b的值；
（2）求满足f（x）≤0的x的集合A．
27、已知4a=8，2m=9n=36，且，试比较1.5a与0.8b的大小．
28、把下列指数形式写成对数形式：
（1）54=625；
（2）2﹣6=；
（3）3a=27；
（4）=5.73．
29、把下列对数式写成指数式：
（1）log39=2； （2）log5125=3；
（3）log2=﹣2； （4）log3=﹣4．
30、已知f（x）=loga（8﹣2x），（a＞0，a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、函数的反函数是（ ）
A、 B、y=e2x﹣1（x∈R）
C、 D、
考点：指数式与对数式的互化；反函数。
分析：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰
解答：解：∵由y=ln（2x+1）反解得∴从而淘汰B、D、
又∵原函数定义域为∴反函数值域为
故选C．
点评：此题重点考查求反函数的方法，考查原函数与反函数的定义域与值域的互换性
2、函数y=（x＜0）的反函数是（ ）21*cnjy*com
A、y=log2（x＜﹣1） B、y=log2（x＞1）
C、y=log2（x＜﹣1） D、y=log2（x＞1）
3、已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、[2，+∞） B、（0，1）∪（1，2）
C、 D、
考点：指数式与对数式的互化；反函数。
分析：先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．
解答：解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]=（logax）2+（loga2﹣1）logax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为增函数，
令t=logax，t∈[，loga2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为减函数，
令t=logax，t∈[loga2，]，要求对称轴，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故选D．
点评：本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．
4、与函数y=e2x﹣2e2+1（x≥0）的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：指数式与对数式的互化；反函数。
分析：求函数y=e2x﹣2e2+1反函数即可．
解答：解：由题意
∵y=e2x+2ex+1（x≥0）?（ex﹣1）2=y
∵x≥0，∴ex≥1，即ex=1+∴x=ln（1+），
所以
故选A．
点评：本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解．同时还考查了转化能力．
5、若3x=2，则x=（ ）
A、lg3﹣1g2 B、lg2﹣1g3
C、 D、
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：由 3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log32，再利用换底公式化为．
解答：解：∵3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得 x=log32=，
故选D．
点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，对数的定义以及换底公式的应用，属于基础题．
6、设，则x的范围是（ ）
A、 B、{x|﹣2＜x＜﹣1}
C、{x|﹣1＜x＜0} D、φ
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：欲求x的范围，先根据，解出x的值，再借助对数函数的单调性判断．
解答：解：∵，∴x=log3
∵＜＜，y=log3x在（，）上为增函数，∴
即
故选B
点评：本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题．
7、若xlog23=1，则3x+9x的值为（ ）
A、3 B、6
C、2 D、
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：有对数的换底公式知x=，再由对数恒等式即可求解．
解答：解：由题意x=，
所以3x==2，
所以9x=4，所以3x+9x=6
故选B
点评：本题考查对数的换底公式和对数恒等式，准确理解对数的含义是解决本题的关键．
8、已知=（a＞0），则a=（ ）
A、 B、
C、3 D、﹣3
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：欲求出a，先由已知条件：“=（a＞0），”表示出a，再利用对数的运算性质即可解决问题．
解答：解：∵已知=（a＞0），
∴a=
则a=
故选C．
点评：本题考查对数的求值，考查对数的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．
9、如果=b（a＞0且a≠1），则（ ）
A、2logab=1 B、
C、 D、
10、已知，则a等于（ ）
A、 B、
C、2 D、4
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：利用对数式与指数式的互化，直接化简求出a的值．
解答：解：因为所以
解得a=4
故选D
点评：本题考查指数式与对数式的互化，考查基本知识的熟练程度，是基础题．
11、已知a，b，N∈（1，+∞），下列关系中，与ab=N不等价的是（ ）
A、b=logaN B、
C、a=N﹣b D、
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：a，b，N∈（1，+∞），且ab=N，所以b=logaN=﹣，a=．在C中，a=N﹣b?a?Nb=1．
解答：解：∵a，b，N∈（1，+∞），且ab=N，
∴b=logaN=﹣，
∵ab=N，
∴a=．
在C中，a=N﹣b?a?Nb=1．
故选C．
点评：本题考查指数式和对数式的互化，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
12、指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是（ ）
A、log3a=b B、log3b=a
C、logab=3 D、logba=3
考点：指数式与对数式的互化。
专题：阅读型。
分析：直接利用指数式与对数式的互化求出对数式的形式即可．
解答：解：指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是：logba=3．
故选D．
点评：本题是基础题，考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．
13、设，则x值所在的范围是（ ）
A、﹣3＜x＜﹣2 B、﹣2＜x＜﹣1
C、﹣1＜x＜0 D、0＜x＜1
14、若非零实数a、b、c满足，则的值等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：由，设=m，由指数式和对数式的互化用对数形式表示a，b，c，由此能求出的值．
解答：解：∵，
∴设=m，
a=log5m，b=log2m，c=2lgm，
∴=
=2lgm（logm5+logm2）
=2lgm?logm10
=2．
故选B．
点评：本题考查指数式和对数式的互化，解题时要认真审题，仔细解答．
15、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（ ）
A、1 B、b
C、logba D、alogba
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键．再利用对数式和指数式之间的关系进行求解．
解答：解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），
因此，ap等于logba．
故选C．
点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力．
16、函数的反函数是（ C ）
A、y=4x﹣2x+1（x＞2） B、y=4x﹣2x+1（x＞1）
C、y=4x﹣2x+2（x＞2） D、y=4x﹣2x+2（x＞1）
考点：反函数；指数式与对数式的互化。
分析：本题考查指数式与对数式的互化、反函数的求法、函数的值域的求法等相关的知识和方法；
可以有两种方法：
一种是常规方法，即将看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域；
另一种方法是针对选择题的特点，利用其图象关于y=x对称的特征，通过选取特殊点代入的方法进行验证获得．
解答：解：法一：由得：
由此解得：x=4y﹣2y+2，即：y=4x﹣2x+2又原函数的定义域为：x＞0
∴原函数的值域为：y＞2
∴函数的反函数是y=4x﹣2x+2（x＞2）
故选C
法二：特值排除法，∵原函数过（﹣4，1）
∴其反函数过（1，﹣4）
从而排除A、B、D，
故选C
点评：本题是一个综合性小题，虽然解题思路清晰，求解过程不复杂，但容易出错，主要表现在方法一的反函数定义域的确定上，要利用好当x＞0时＞4，则；方法二处理得很巧妙，抓住了选择题的特点．
17、（2006?福建）函数的反函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
18、已知f（x）是R上的增函数，点A（﹣1，1），B（1，3）在它的图象上，f﹣1（x）是它的反函数，那么不等式|f﹣1（log2x）|＜1的解集为（ ）
A、{x|﹣1＜x＜1} B、{x|2＜x＜8}
C、{x|1＜x＜3} D、{x|0＜x＜3}
考点：反函数；指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：根据点A（﹣1，1），B（1，3）在它的图象上得出：f（1）=3，f（﹣1）=1从而有f﹣1（3）=1，f﹣1（1）=﹣1，不等式f﹣1（1）＜f﹣1（log2x）＜f﹣1（3），最后根据反函数的单调性建立关系式即可求出x的范围．
解答：解：∵函数f（x）是R上的增函数，点A（﹣1，1），B（1，3）在它的图象上，
∴f（1）=3，f（﹣1）=1
则f﹣1（3）=1，f﹣1（1）=﹣1
∵|f﹣1（log2x）|＜1
∴f﹣1（1）=﹣1＜f﹣1（log2x）＜1=f﹣1（3）
且y=f﹣1（x）在R上单调递增
∴1＜log2x＜3即2＜x＜8
故选B．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、反函数的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
19、若各项均正的等比数{an}中lg（a3?a8?a13）=6，a1?a15的值为（ ）
A、102 B、103
C、104 D、10
考点：等比数列的性质；指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：根据等比数列的性质化简a3?a8?a13为a83，代入已知的等式中，根据指数式和对数式的互化法则即可求出a8的值，然后把所求的式子利用等比数列的性质化简后，将a8的值代入即可求出值．
解答：解：∵a3?a8?a13=（a3?a13）?a8=a83，
∴lg（a3?a8?a13）=lga83=6=lg106，解得a8=100，
则a1?a15=a82=1002=104．
故选C
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，会进行指数式与对数式的互化，是一道基础题．
二、填空题（共6小题）
20、已知f（3x）=2xlog23，则f（2）= 2 ．
考点：函数解析式的求解及常用方法；指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：法一：由题意，可用换元法求出外层函数的解析式，再求函数值，令3x=t，可得x=log3t，代入即可求得函数外层函数的解析式，易求得函数值；
法二：由题意，可令3x=2，可得x=log32，将x的值代入2xlog23即可求出f（2）的值
解答：解：法一：令3x=t，可得x=log3t，代入得f（t）=2log3t×log23=2log2t，
∴f（2）=2log22=2
故答案为2
法二：令3x=2，可得x=log32，代入得f（2）=2log32×log23=2
故答案为2
点评：本题考查函数解析式的求解及利用函数解析式求函数值，考查了换元法求解析式的技巧与利用解析式求函数值的方法，解题的关键是理解所给的函数解析式，选择恰当的求函数值的方法，比较两种解法，第二种解法较易，此两种解法都具有一般性，在同类题中可以推广．
21、已知过点O的直线与函数y=3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y=9x的图象于C点，当BC∥x轴，点A的横坐标 log32 ．
考点：指数函数的图像与性质；指数式与对数式的互化。
专题：计算题；数形结合。
分析：设点A、B的横坐标分别为x1、x2则点A、B纵坐标分别为、，解出C的坐标，根据条件求出x1与x2的等量关系，
然后根据OA、OB的斜率相等建立等式关系，求出所求即可．
解答：解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2则点A、B纵坐标分别为、．
因为A、B在过点O的直线上，所以
∵过A作y轴的平行线交函数y=9x的图象于C点
∴点C（x1，）
而BC∥x轴，
∴=即2x1=x2
将2x1=x2代入得
x1=log32
于是点A的恒坐标为log32．
故答案为：log32
点评：本小题主要考查指数函数图象、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，属于基础题．
22、已知指数函数过点P（1，2010），则它的反函数的解析式为 y=log2010x ．
考点：指数函数综合题；指数函数的实际应用；指数式与对数式的互化；反函数。
专题：计算题。
分析：可以利用待定系数法解答本题，设出函数的解析式，然后根据指数函数的图象经过P点，构造出关于底数a的方程，解方程求出底数a，最后得到其反函数的解析式．
解答：解：设指数函数的解析为：y=ax
∵函数的图象经过（1，2010）点，
∴2010=a1
∴a=2010
∴指数函数的解析式为y=2010x其反函数的解析式y=log2010x
故答案为：y=log2010x．
点评：本题考查的知识点是指数函数解析式的求法﹣﹣待定系数法，其中根据已知条件构造出关于底数a的方程，是解答本题的关键．
23、方程log3（9x﹣4）=x+1的解x= log34 ．
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：由log3（9x﹣4）=x+1，知9x﹣4=3x+1，故（3x）2﹣3?3x﹣4=0，由此能够求出方程的解．．
解答：解：∵log3（9x﹣4）=x+1，
∴9x﹣4=3x+1∴（3x）2﹣3?3x﹣4=0，
∴3x=4 x=log34，或3x=﹣1（舍）．
故答案为：log34．
点评：本题考查对数式与指数式的互化，解题时要认真审题，仔细解答．
24、若f（10x）=x，则f（3）= lg3 ．
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：设10x=t，x=lgt，则f（t）=lgt，由此能求出f（3）．
解答：解：设10x=t，x=lgt，
∴f（t）=lgt，
∴f（3）=lg3．
故答案为：lg3．
点评：本题考查指数式和对数式的互化，解题时要认真审题，仔细解答．
25、已知2x=0.618，且x∈[k，k+1]，k∈Z，则k= ﹣1 ．
考点：指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：由题意，可先将指数式转化为对数式，表示出x，再由x∈[k，k+1]，k∈Z作出判断得出答案．
解答：解：∵2x=0.618，
∴x=log20.618，又＜0.618＜1
∴x=log20.618∈（﹣1，0）
又x∈[k，k+1]，k∈Z
∴k=﹣1
故答案为﹣1
点评：本题考查指数式与对数式的互化，判断出log20.618的取值范围，理解x∈[k，k+1]，k∈Z是做题的关键
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f（x）=4x﹣a2x+b，当x=1时，f（x）有最小值﹣1；
（1）求a，b的值；
（2）求满足f（x）≤0的x的集合A．
考点：指数型复合函数的性质及应用；二次函数的性质；指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：（1）考虑换元，由题意可得当x=1时，即t=2∈（0，+∞），函数有最小值﹣1，结合二次函数的性质代入可求
（2）由f（x）≤0（2可得∴1≤2x≤3，解不等式可求集合A
解答：解：（1）
换元（2分）
∵当x=1时，t=2∈（0，+∞），f（x）有最小值﹣1（1分）
∴（2分）
（2）f（x）=4x﹣4×2x+3≤0?（2x﹣3）（2x﹣1）≤0
∴1≤2x≤3∴0≤x≤log23
∴集合A={x|0≤x≤log23}（3分）
点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，注意体会换元法的应用，更要注意新元t的范围不要漏掉，还考查了指数不等式的解法
27、已知4a=8，2m=9n=36，且，试比较1.5a与0.8b的大小．21世纪教育网版权所有
28、把下列指数形式写成对数形式：
（1）54=625；
（2）2﹣6=；
（3）3a=27；
（4）=5.73．
29、把下列对数式写成指数式：21世纪教育网版权所有
（1）log39=2； （2）log5125=3；
（3）log2=﹣2； （4）log3=﹣4．
考点：指数式与对数式的互化。
分析：若logaN=b，则ab=N；由此可以把对数式写成指数式．
解答：解：（1）32=9；
（2）53=125；
（3）；
（4）．
点评：本题考查指数式和对数式的互化，解题时要注意logaN=b?ab=N．
30、已知f（x）=loga（8﹣2x），（a＞0，a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．
考点：反函数；指数式与对数式的互化。
专题：计算题。
分析：（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．
（2）当a＞1时，原不等式可为：8﹣2x＞1，再利用指数不等式求解即可．
解答：解：（1）函数f（x）的反函数是：
f﹣1（x）=log2（8﹣ax），（2分）
由题意可得：
loga（8﹣2x）=log2（8﹣ax），
∴a=2（2分）
（2）由f（x）＞0得：
loga（8﹣2x）＞0，
当a＞1时，8﹣2x＞1（2分）
解得x的取值范围：x＜log27（2分）．
点评：本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，指数式与对数式的互化，指、对不等式的应用．
