答案与评分标准
一、选择题（共20小题）21世纪教育网版权所有
1、已知函数，若数列{an}满足，a2007+a2008+a2009=（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有21cnjy
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的概念及简单表示法。21*cnjy*com
专题：计算题。21cnjy21*cnjy*com
分析：由函数的表达式研究数列的结构，找出数列的周期性来，利用周期性求值．
解答：解：∵，21世纪教育网21cnjy
∴，，，
∴a3=a6=a9═a3n，
即，∴
故，
选D．21世纪教育网
点评：考查分段函数求值，及周期性数列求值．本题涉及到函数与数列，有一定的综合性．
2、在数列{an}中，a1=2，，则an=（ ）．
A、2+lnn B、2+（n﹣1）lnn
C、2+nlnn D、1+n+lnn
考点：数列的概念及简单表示法。
分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
点评：数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
3、已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（ ）
A、﹣165 B、﹣3321cnjy
C、﹣30 D、﹣21
考点：数列的概念及简单表示法。21世纪教育网版权21cnjy所有
分析：根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．21*cnjy*com
解答：解：∵a4=a2+a2=﹣12，21cnjy21*cnjy*com
∴a8=a4+a4=﹣24，
∴a10=a8+a2=﹣30，21世纪教育网21cnjy版权所有
故选C
点评：，这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
4、若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{an}前8项值的数列是（ ）
A、{a2k+1} B、{a3k+1}21世纪教育网
C、{a4k+1} D、{a6k+1}
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：计算题。21世纪教育网
5、已知数列{an}满足an?an﹣2=an﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，则a2011=（ ）
A、 B、
C、2 D、3
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：计算题。
分析：本题可通过递推公式求出数列的前九项，从而确定数列周期为6，再由数列周期从而求解a2011=a1，求出结果．
解答：解：∵a1=2，a2=3，且an?an﹣2=an﹣1∴a3=．a4=，a5=，a6=，a7=2，a8=3，a9=…
∴数列{an}是周期为6的周期函数
∴a2011=6×335+1=a1=2
故选C．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属于基础题．
6、已知数列{an}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（ ）
A、a9 B、a10
C、a11 D、a12
考点：数列的概念及简单表示法；数列与不等式的综合。
分析：化简利用函数单调性解题21世纪教育网版权所有
解答：解：∵21世纪教育网版权所有
当1≤n≤8时，an＜1，当n≥9时，an＞1且an在[1，+∞）上是减函数21*cnjy*com
∴当n=9时，an有最大值2121cnjy世纪21*cnjy*com教育网
故选A21世纪教育21*cnjy*com网21cnjy
点评：本题考查函数的单调性以及函数最值的求法，主要是能对此数列进行变形．
7、已知数列1，，，…，，…，则是这个数列的（ ）
A、第10项 B、第11项
C、第12项 D、第21项21cnjy
8、已知数列，…是这个数列的第（ ）项．
A、10 B、11
C、12 D、21
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：探究型。
分析：可根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，再让数列的第n项等于，即可求出．
解答：解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an=，假设为数列的第n项，则，
解得，n=11
故选B
点评：本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律．
9、对于数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值，则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7．由此定义可知，“凸值数列”为1，3，3，9，9的所有数列{an}个数为（ ）
A、3 B、9
C、12 D、27
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：阅读型。
分析：根据“凸值数列”的定义（对于数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值）：知数列{an}中的a3和a5分别可取的值为1，2，3；1，2，3，4，5，6，7，8，9，根据乘法原理得知满足条件的个数为27
解答：解：∵数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值，则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”
数列{an}的，“凸值数列”为1，3，3，9，9
∴知数列{an}中的a3和a5分别可取的值为1，2，3；1，2，3，4，5，6，7，8，9，
根据乘法原理得知满足条件的个数为：27
故选D
点评：本题属于考试中临时给出条件，让考生临场发挥，是近几年高考中常考的内容之一，只要考生读懂题目，一般都不难．
10、若数列，，，则是这个数列的第（ ）项．21世纪教育网版权所有
A、六 B、七21世纪教育网版权所有
C、八 D、九
考点：数列的概念及简单表示法。21*cnjy*com
分析：根号里边的数2，5，8，…是首项为2，公差为3的等差数列，，从而可以由其通项公式求得项数．21*cnjy*com
解答：解：∵2，5，8，…是首项为2，公差为3的等差数列，设为{an}，则an=3n﹣1，
由3n﹣1=20得：n=7；21世纪教育网21cnjy
可排除A，C，D．
故选B．21世纪教育网
点评：本题考查等差数列的概念，关键在于掌握好等差数列的通项公式．
11、下列四个数中，哪一个是数列{n（n+1）}中的一项（ ）
A、380 B、39
C、35 D、2321cnjy
12、下面有四个命题：
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
②数列，，，，…的通项公式是an=；
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．
其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：数列的概念及简单表示法。
分析：递推公式是描述某一项与前一项或前几项关系的，由此易判断①的真假；由数列的前几项为，，，，…我们易归纳推理出数列的通项公式，进而判断②的对错；根据数列是定义域为正整数的函数，我们可以判断③的正误；根据数列的定义，可判断④的真假．
解答：解：①错误，如an+2=an+an+1，a1=1就无法写出a2；
②错误，an=；
③正确；
④两数列是不同的有序数列．
故选：A．
点评：本题考查的知识点是数列的概念及表示方法，根据数列的基本概念逐一分析四个结论即可得到答案，故解答本题的关键是熟练掌握数列的基本概念．
13、数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（ ）
A、28 B、32
C、33 D、27
考点：数列的概念及简单表示法。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．
解答：解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，
∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9，21世纪教21*cnjy*com育21cnjy网
则x﹣20=12，解得x=32，22121*cnjy*com cnjy 1世纪教育网版权所有
故选B．2121*cnjy*com世纪教育网
点评：本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力．
14、数列的一个通项公式是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：数列的概念及简单表示法。
分析：观察每一项同项数之间有什么具有共性的关系，第一奇数项为负，所以要用﹣1的n次幂调符号，分母有两项的乘积组成，一项是n，一个是n+1，得到通项．
点评：数列的通项公式不唯一，我们一般写出最简单的，序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量．把数列看作函数．
15、数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（ ）
A、2n B、2n+1
C、2n﹣1 D、2n+1
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：探究型。
分析：研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对四个选项，选出正确答案．
解答：解：∵3=21+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…
∴an=2n+1
故选B
点评：本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是研究项与序号的对应关系，由归纳推理得出结论．
16、已知数列{an}满足an=2n﹣n，则以点（1，a1）、（2，a2）为直径端点的圆方程为（ ）
A、x2+y2﹣3x﹣3y+4=0 B、x2+y2+3x﹣3y+4=0
C、x2+y2﹣3x+3y+4=0 D、x2+y2+3x+3y+4=0
考点：数列的概念及简单表示法；圆的一般方程。
专题：计算题。
分析：先根据数列的通项公式求出a1、a2，再根据中点坐标公式求出线段的中点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的直径的大小，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：解：∵an=2n﹣n，∴a1=1，a2=2．则点（1，1）、（2，2），
设线段的中点即要求的圆的圆心为O，
根据中点坐标公式得到O的坐标为（，）
即所求圆的圆心坐标为（，）21世纪教21cnjy育网版权所有
由=21世纪21cnjy教育网
∴所求的圆的半径是21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
∴所求圆的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2=．21*cnjy*com
即x2+y2﹣3x﹣3y+4=0．21*cnjy*com
故选A．21世纪教育网
点评：本题考查数列的概念及简单表示法、中点坐标公式及两点间的距离公式，本题解题的关键是会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程和利用线段为所求圆的直径求出圆心坐标和半径．
17、数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1?a2?a3?…?an=n2，则a3+a5等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：计算题。
分析：由n≥2，n∈N时a1?a2?a3?…?an=n2得当n≥3时，a1?a2?a3??an﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除an=（）2，
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力．是基础题．
18、数列{an}共有7项，其中五项是1，两项为2，则满足上述条件的数列共有（ ）
A、15个 B、21个
C、36个 D、42个
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：计算题。
分析：根据题意，两个2可以在一起也可以不在一起．①两个2不在一起，②两个2在一起；分析其情况数目，相加可得答案．
解答：解：根据题意，两个2可以在一起也可以不在一起，
①两个2不在一起：五个1有六个空，从中选出两个空放两个2．共有C62=15种排法；
②两个2在一起：五个一有六个空，六选一有c61=6种排法；
综合②③得一共21种组合方式．
点评：本题考查排列组合计算法法中的插空法
19、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）
A、an=1﹣（﹣1）n B、an=1+（﹣1）n+1
C、 D、an=（1﹣cosnπ）+（n﹣1）（n﹣2）
考点：数列的概念及简单表示法。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：结合选项分别把n=1，2，3，4代入进行检验是否分别为2，0，2，0，从而可判断
解答：解：对于A：前4项分别为：2，0，2，0，符合条件；21cnjy
对于B前4项分别为2，0，2，0，符合条件；21cnjy21*cnjy*com
对于C前4项分别为2，0，2，0，符合条件；21世21*cnjy*com纪教育网
对于D前的项分别为0，2，0，2，不符合条件；221*cnjy*com 121cnjy世纪教育网
故选D
点评：本题主要考查了由数列的通项公式求解数列的项，及数列的通项公式的应用，属于基础试题
20、在数列{an}中，，则a5=（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009= 1 ；a2014= 0 ．
考点：数列的概念及简单表示法。
分析：由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．
解答：解：∵2009=503×4﹣3，
∴a2009=1，
∵a2014=a1007，
1007=252×4﹣1，
∴a2014=0，
故答案为：1，0．
点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
22、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ （140）（85） ）内．
年龄（岁）
30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）
110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米）
70 73 75 78 80 83 （ ）88
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：探究型；转化思想。
分析：由题意知表格中的收缩压和舒张压形成一个等差数列和一个有两个等差数列交叉组成的数列．其中收缩压是一个公差是5的等差数列，舒张压是一个是有两个等差数列交叉组成的数列，公差分别是2和3．
解答：解：由题意知表格中的收缩压和舒张压形成一个等差数列和一个有两个等差数列交叉组成的数列，
其中收缩压是一个公差是5的等差数列，21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
∴135+5=140，21世纪教育网版权所有
舒张压是一个是有两个等差数列交叉组成的数列，21cnjy21*cnjy*com
∴83+2=85，21世纪教育网21cnjy
故答案为：140，85．21世纪21*cnjy*com教育网21cnjy
点评：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力．提高学生分析问题和解决问题的能力．
23、数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，1，…1，n，…的第2011项为 1 ．
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：规律型。
分析：观察数列的特点可知，数列的第1个数为：1，第1+2个数为：2，第1+2+3数为：3，…第1+2+3+…+n个数为n，其余的数都为1．而第2011项介于当n=62与当n=63之间，照此规律：第2011项为1．
点评：本题考查数列的概念及简单表示法、数列的求和公式，解题时要认真审题，仔细解答．
24、将正偶数按如图所示的规律排列：
第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 n2﹣n+8 ．
考点：数列的概念及简单表示法。
分析：可以观察每行的最后一个数2×1，2×（1+2），2×（1+2+3），看出它们的结构特点，第n行最后一个数是2（1+2+3+…+n），算出，再写出上一行最后一个数，向后再数四个得到结果．
解答：解：∵由每一行的最后一数知：2×1，2×（1+2），2×（1+2+3），
∴得第n﹣1（n≥4）行的最后一个数为，
∴第n（n≥4）行从左向右的第4个数为n2﹣n+8．
故答案为：n2﹣n+8．
点评：应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决．
25、已知正数数列{an}（n∈N*）定义其“调和均数倒数”（n∈N*），那么当时，a2010= ．
考点：数列的概念及简单表示法；数列的应用。
专题：计算题；新定义。21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
分析：由，，知2010×V2010﹣2009×V2009==2010×2011÷2﹣2009×2010÷2=2010．由此能求出a2010=．21世纪教育网21c21*cnjy*com jy版权所有
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
三、解答题（共5小题）
26、若数列{an}满足an+12﹣an2=d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an＞0，a1=1，a5=3．
（1）求数列{an}的通项公式．（2）求数列的前n项和．（3）记bn=nan2，则当实数k大于4时，不等式kbn大于n（4﹣k）+4能否对于一切的n∈N*恒成立？请说明理由．
考点：函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；数列的求和。21世纪21cnjy教育网
专题：计算题。21世纪教育网
分析：（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{an}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：an+12﹣an2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式．
（2）由（1）的结论我们易给出的通项公式，然后利用错位相消法，即可求出数列的前n项和．
（3）要证明当实数k大于4时，不等式kbn大于n（4﹣k）+4对于一切的n∈N*恒成立，我们有两种思路：一是由bn=nan2，给出数列bn的通项公式，然后构造函数g（n）=kn2﹣2n﹣2，通过证明函数g（n）=kn2﹣2n﹣2的单调性进行证明；二是转化为证明k＞，即k大于的最大值恒成立．
解答：解：（1）由a1=1，a5=3得，
a52﹣a12=4d，
∴d=2．（2分）
∴an2=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∵an＞0，
∴an=，
数列{an}的通项公式为an=；（4分）
（2）=（2n﹣1），
设Sn=1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?①（5分）21世纪教育网版权所有
Sn=1?+3?+5?+…+（2n﹣1）?②（6分）21世纪教221*cnjy*com 1cnjy育网版权所有
①﹣②，得21世纪教育网21*cnjy*com
∴Sn=+2（++…+）﹣（2n﹣1）?2121cnjy世纪教育网
=+﹣（2n﹣1）?
∴Sn=3﹣．（8分）
即数列的前n项和为3﹣；
（3）解法一：bn=n（2n﹣1），不等式kbn＞n（4﹣k）+4恒成立，
即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N+恒成立．（10分）
设g（n）=kn2﹣2n﹣2．（11分）
当k＞时，由于对称轴n=＜1，且g（1）=k﹣2﹣2＞0
而函数g（n）在[1，+∞）是增函数，（12分）
∴不等式kbn＞n（4﹣k）+4恒成立，
即当k＞4时，不等式kbn＞n（4﹣k）+4对于一切的n∈N+恒成立．（13分）
解法二：bn=n（2n﹣1），不等式kbn＞n（4﹣k）+4恒成立，即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N+恒成立．（10分）
∴k＞（11分）
∴n≥1，∴≤4．（12分）
而k＞4
∴k＞恒成立．
故当k＞4时，不等式kbn＞n（4﹣k）+4对于一切的n∈N+恒成立．（13分）
点评：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成，则求此数列的前n项和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法，要注意对字母的讨论．
27、数列{an}前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），已知a1=﹣28，S2=﹣52，S5=﹣100．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求使得Sn最小的序号n的值．
考点：数列的概念及简单表示法；数列的求和。
专题：计算题。
分析：（1）根据条件已知a1=﹣28，S2=﹣52，S5=﹣100，列出方程组解出继而利用的关系求Sn，再利用Sn与an的关系求{an}的通项公式．
（2）由（1）求出的公差d和首项a1，根据等差数列的前n项和公式表示出Sn，配方后，根据二次函数求最大值的方法，即可求出Sn最大时序号n的值．
解答：解：（1）有题意可得解得∴Sn=2n2﹣30n
因为当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣3221世纪教育网版权所有
当n=1时，a1=﹣28，也适合上式．21世纪教育网版权所有
∴an=4n﹣32
（2）因为Sn=2n2﹣30n=
因为n是正整数，所以当n=7或8，Sn最小，最小值是﹣112．
点评：此题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式以及数列的函数特征．学生在求Sn取得最大值时n值时，注意n为正整数这个条件．
28、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）3，5，9，17，33，…；21cnjy
（2），，，，，…；2121cnjy世纪教育网
（3）2，﹣6，12，﹣20，30，﹣42，…．
考点：数列的概念及简单表示法；数列递推式。21世纪教育网
分析：（1）中数据分别比2=21，4=22，8=23，16=24，32=25多1，
（2）中数据分子分母可以分开来看，分子是2，4，6，8得偶数可用2n替代，分母则为两个奇数的乘积形式．
（3）中数据正负交替，可以用（﹣1）t式子展现．
解答：解：（1）联想数列2，4，8，16，32，，可知所求通项公式为an=2n+1．
（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n}；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，
故所求通项公式为an=．
（3）将数列变形为1×2，﹣2×3，3×4，﹣4×5，，于是可得已知数列的通项公式为an=（﹣1）n+1?n（n+1）．
点评：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，考查的是学生对数据的观察归纳能力，需要注意其和常见数据的联系．
29、给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m﹣1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
考点：数列的概念及简单表示法。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即看判断数列是否为5阶可重复数列；
（Ⅱ）数为m的数列{an}一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共有8种不同的情况，m=11数列有九组连续3项，m=10不是3阶可重复数列，而3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列，要使数列一定是3阶可重复数列m的最小值必须是11；
（Ⅲ）利用反证法证明a4=am=1．假设如果a1，a2，a3，a4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序对应相等．考虑ai﹣1，aj﹣1和am﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾得证．
解答：解：（Ⅰ）记数列①为{bn}，因为b2，b3，b4，b5，b6与b6，b7，b8，b9，b10按次序对应相等，
所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0；
记数列②为{cn}，因为c1，c2，c3，c4，c5、c2，c3，c4，c5，c6、c3，c4，c5，c6，c7、c4，c5，c6，c7，c8、c5，c6，c7，c8，c9、c6，c7，c8，c9，c10没有完全相同的，所以{cn}不是“5阶可重复数列”．
（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．21世纪教育网版权所有
若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．21世纪教育网版权所有
所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．21cnjy
（Ⅲ）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序对应相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序对应相等，21cnjy
如果a1，a2，a3，a4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序对应相等．
此时考虑ai﹣1，aj﹣1和am﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾；
所以a1，a2，a3，a4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序对应相等，
从而am=a4=1．
点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力．
30、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（I）若an=2n，bn=3?2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？
若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（II）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t?2n（n∈N*），t为常数．21世纪教育网
（1）求数列{an}前2009项的和；21世纪教育网
（2）是否存在实数t，使得数列{an}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．
考点：数列的概念及简单表示法；数列的求和。
专题：计算题。
分析：对于（I）因为an=2n，bn=3?2n，则可验证an+1与an的关系，bn+1与bn的关系*，写出表达式，即可验证数列{an}、{bn}是否为“M类数列”．
对于（II）（1）因为an+an+1=3t?2n，可依此相加列出数列{an}前2009项和等式，可以看出是等比数列的求和公式求得．
（2）可假设数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，再根据题意解除t，求出对应常数即可．
解答：解：（I）因为an=2n，则有an+1=an+2，n∈N*
故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为bn=3?2n，则有bn+1=2bnn∈N*
故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为an+an+1=3t?2n（n∈N*）
则有a2+a3=3t?22，a4+a5=3t?24，a2006+a2007=3t?22006，a2008+a2009=3t?22008．
故数列{an}前2009项的和S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a5）++（a2006+a2007）+（a2008+a2009）+（a2008+a2009）=2+3t?22+3t?24++3t?22006+3t?22008=2+t（22010﹣4）
故答案为2+t（22010﹣4）
（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而an+an+1=3t?2n（n∈N*），且an+1+an+2=3t?2n+1（n∈N*）
则有3t?2n+1=3t?p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p﹣2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，an+1=﹣an，an=2（﹣1）n﹣1，p=﹣1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或﹣1，0．
点评：此题主要考查数列的概念及其简单的表示法，由题目定义一个数列求这个数列的一系列性质的问题．题目较复杂属于综合题．21世纪教育网版权所有
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数列的概念与简单表示法
一、选择题（共20小题）
1、已知函数，若数列{an}满足，a2007+a2008+a2009=（ ）
A、 B、
C、 D、
2、在数列{an}中，a1=2，，则an=（ ）．
A、2+lnn B、2+（n﹣1）lnn
C、2+nlnn D、1+n+lnn
3、已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10等于（ ）
A、﹣165 B、﹣33
C、﹣30 D、﹣21
4、若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{an}前8项值的数列是（ ）
A、{a2k+1} B、{a3k+1}
C、{a4k+1} D、{a6k+1}
5、已知数列{an}满足an?an﹣2=an﹣1（n＞2，n∈N），且a1=2，a2=3，则a2011=（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、2 D、3
6、已知数列{an}的通项公式，在它的前12项中最大的项是（ ）
A、a9 B、a10
C、a11 D、a12
7、已知数列1，，，…，，…，则是这个数列的（ ）
A、第10项 B、第11项
C、第12项 D、第21项
8、已知数列，…是这个数列的第（ ）项．
A、10 B、1121*cnjy*com
C、12 D、21
9、对于数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值，则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7．由此定义可知，“凸值数列”为1，3，3，9，9的所有数列{an}个数为（ ）
A、3 B、9
C、12 D、27
10、若数列，，，则是这个数列的第（ ）项．
A、六 B、七
C、八 D、九
11、下列四个数中，哪一个是数列{n（n+1）}中的一项（ ）
A、380 B、39
C、35 D、23
12、下面有四个命题：21世纪教育网版权所有
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
②数列，，，，…的通项公式是an=2；21世纪教育网版权所有
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，﹣1，1，﹣1，…与数列﹣1，1，﹣1，1，…是同一数列．
其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、421世纪教育网
13、数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（ ）21世纪教育网
A、28 B、3221cnjy
C、33 D、2721cnjy
14、数列的一个通项公式是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（ ）
A、2n B、2n+1
C、2n﹣1 D、2n+1
16、已知数列{an}满足an=2n﹣n，则以点（1，a1）、（2，a2）为直径端点的圆方程为（ ）
A、x2+y2﹣3x﹣3y+4=0 B、x2+y2+3x﹣3y+4=0
C、x2+y2﹣3x+3y+4=0 D、x2+y2+3x+3y+4=0
17、数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1?a2?a3?…?an=n2，则a3+a5等于（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
18、数列{an}共有7项，其中五项是1，两项为2，则满足上述条件的数列共有（ ）
A、15个 B、21个
C、36个 D、42个
19、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）
A、an=1﹣（﹣1）n B、an=1+（﹣1）n+1
C、 D、an=（1﹣cosnπ）+（n﹣1）（n﹣2）
20、在数列{an}中，，则a5=（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）21*cnjy*com
21、{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009= _________ ；a2014= _________ ．
22、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ _________ ）内．
年龄（岁）
30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）
110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米）
70 73 75 78 80 83 （ ）88
23、数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，1，…1，n，…的第2011项为 _________ ．
24、将正偶数按如图所示的规律排列：2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
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第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 _________ ．21世纪教育网
25、已知正数数列{an}（n∈N*）定义其“调和均数倒数”（n∈N*），那么当时，a2010= _________ ．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）21*cnjy*com
26、若数列{an}满足an+12﹣an2=d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an＞0，a1=1，a5=3．21cnjy
（1）求数列{an}的通项公式．（2）求数列的前n项和．（3）记bn=nan2，则当实数k大于4时，不等式kbn大于n（4﹣k）+4能否对于一切的n∈N*恒成立？请说明理由．21*cnjy*com
27、数列{an}前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），已知a1=﹣28，S2=﹣52，S5=﹣100．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）求使得Sn最小的序号n的值．21cnjy
28、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）3，5，9，17，33，…；
（2），，，，，…；
（3）2，﹣6，12，﹣20，30，﹣42，…．
29、给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m﹣1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
30、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
（I）若an=2n，bn=3?2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？
若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；21*cnjy*com
（II）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3t?2n（n∈N*），t为常数．2121*cnjy*com世纪教育网21世纪教育网版权所有
（1）求数列{an}前2009项的和；21世纪教育网
（2）是否存在实数t，使得数列{an}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．
