力与运动——动态平衡问题-2023年新高考物理二轮复习专题讲义（含解析）

动态平衡问题
解析式法或图解法
（2022.广东.二模）如图所示。某健身者右手拉着抓把沿图示位置A水平缓慢移动到位置B，他始终保持静止，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B重物共面，则重物下移过程（　　）
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐增大
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐减小
关键信息：抓把缓慢移动、健身者始终保持静止 → 动态平衡问题
解题思路：选健身者为研究对象，并对其进行受力分析。
抓把缓慢移动，则与其连接的重物也缓慢移动，对重物受力分析，结合平衡条件可知：
绳上的拉力始终等于重物的重力mg。
人保持静止，则合力始终为零，对其进行受力分析，
水平方向：mgcos θ＝Ff
竖直方向：mgsin θ＋FN＝Mg
当由A缓慢移动到B时，θ角变大，cos θ变小，sin θ变大，
所以地面对人的支持力变小，地面对人的摩擦力减小，
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2022.山东.月考）中国歼﹣20隐形战机配置了矢量发动机。矢量发动机是喷口可向不同方向偏转以产生不同方向推力的一种发动机。若质量为m的歼﹣20战机在巡航时，战机所受竖直向上的额外升力大小与水平阻力大小之比为k，则能使战机实现水平匀速巡航的最小推力为（　　）
A．mg B． C．` D．
关键信息：水平匀速巡航 → 动态平衡问题
解题思路：飞机受4个力的作用而处于平衡状态，则可以列出平衡方程，再利用数学函数求解最小推力。由于飞机升力与阻力方向垂直，则可以将其合成一个力，故可以将四力平衡问题转化为三力平衡问题，从而借助图解法进行求解。
：解析式法
设飞机水平向左航行，受到的重力为mg、发动机推力为F1、升力为F2和空气阻力为f，受力分析如下，
飞机匀速巡航，则有水平方向：Fx＝f
竖直方向：F2＋Fy＝mg，其中F2＝kf
则＝＋＝(k2＋1)f2－2kmgf＋(mg)2
结合数学知识可知表达式为开口向上的抛物线，
当f＝时，取得最小值
则Fmin＝，故C选项正确。
：图解法
根据题意，竖直向上的额外升力大小与水平阻力大小之比为k，如图1，tan θ＝＝k，可见，θ为定值，也就是说，竖直向上的升力F升和水平阻力F阻的合力F0方向确定。这样就把四力平衡问题转化为三力平衡问题。如图2，由图可知，当推力与F0垂直时，推力最小，即cos θ＝，与tan θ＝k联立，解得Fmin＝，故选C。
（2022.成都.模拟）如图，竖直和水平放置的绝缘光滑板PO、QO固定，a、b为两个均带正电的小球（可视为点电荷），当用平行于QO向左的力F作用于b时，a、b紧靠板静止。现稍改变F的大小，使b稍向左移动一小段距离，则当a、b重新静止后（　　）
A．QO对b的支持力比原来大
B．力F比原来大
C．系统的重力势能比原来小
D．系统的电势能比原来小
AB、以a球为研究对象，分析受力情况如图所示，
根据平衡条件得：
库仑力F电＝，α减小，cos α增大，则电场力F电减小；
挡板对a的弹力N＝mgtan α，α减小，N减小。
对整体受力分析，
水平方向：F＝N，则作用力F将减小；
竖直方向：QO对b的支持力FN＝2mg，支持力不变，故AB错误。
CD、电场力F电减小，根据库仑定律可知两球间距增大，则电场力做正功，故系统的电势能减小。两球间距增大，根据几何关系可知a球的高度增加，a球的重力势能增加，b球的重力势能不变，故系统的重力势能增加。故D正确，C错误。
故选：D。
（1）当物体受4个或4个以上的力而处于动态平衡时，一般使用正交分解法。当物体受三个力（一个力的大小、方向都已知，一个力只知道方向，另一个力大小、方向都未知）而处于动态平衡时，通过画矢量三角形，可以用图解法或正弦定理求解。
（2）一般情况下，图解法更方便、简洁，直观，正交分解法计算量较大，所以优先选择图解法。
相似三角形法
（2022.黄冈.三模）如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力拉住，开始时绳与竖直方向夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是（　　）
A．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力先变大后变小
B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
关键信息：缓慢拉动轻绳 → 动态平衡问题
解题思路：小球受到三个力的作用而处于平衡状态，其中重力的大小、方向都不变，支持力和拉力的大小、方向都在改变。因此采用相似三角形法，指的是力的三角形与长度的三角形相似。
小球受三个力的作用：受重力G＝mg、轻绳拉力F和圆环的弹力N。如图所示，
由平衡条件可知，重力mg与弹力N的合力大小F′等于轻绳拉力F，方向相反，根据力的矢量三角形与几何三角形相似，则有
可得F′＝，N＝mg
当小球沿光滑圆环上升时，半径R不变，AB减小，F′减小，即F减小。
N不变，即支持力大小不变。
故选：D。
（2022.永州零陵区.模拟）如图所示，质量分别为m1、m2的两个带同种电荷的小球A、B，分别用长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定的角度α、β，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过O点竖直线交于C点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加A球的电荷量，下列说法中正确的是（　　）
A．两细线的拉力之比变大 B．两细线的夹角不变
C．AC与BC的长度之比不变 D．OC长度一定变大
对两小球进行受力分析，如下图所示：
F1、F1′为A、B两小球之间的库仑力，F2、F2′为两小球之间的弹簧弹力，
令F＝F1＋F2，F′＝F1′＋F2′，则F＝F′；
对A球受力分析，F、T1、m1g，三力满足相似三角形，则有
同理对B球有
可得；，故A错误，C正确；
由库仑定律可知，当A球的电荷量增大则两球距离会增大，夹角α、β增大，但绳长不变，则C点上移，故OC长度变小，故B、D错误；
故选：C。
应用相似三角形法的特征：（1）物体受三个力而处于平衡状态；（2）不是直角三角形也不是特殊三角形；（3）其中两个力的方向都在变化。
辅助圆法
（2022.山东.模拟）如图所示，置于水平地面上的竖直圆形金属环内用三根细绳OA、OB、OC悬挂一质量为m的物体，物体可看作质点。OB绳处于水平方向，∠AOB＝120°，设OA、OB绳的拉力大小为F1、F2，现将金属圆环在竖直面内缓慢逆时针转过90°，在此过程中（　　）
A．F2一直增大 B．F1一直增大
C．F2先增大后减小 D．F1先增大后减小
关键信息：缓慢逆时针转过90°→ 动态平衡问题
解题思路：物体受到三个力的作用而处于平衡状态，两个拉力的合力等于物体的重力，而F1、F2方向虽然在变化，但两个力夹角不变，通过画辅助圆，利用同一条弦对应的圆周角不变进行分析。
设OA绳的拉力为F1，OB绳的拉力为F2，对O点受力分析，由平衡条件可得，三个力组成矢量三角形，并做出此矢量三角形的外接圆如图所示：
由几何知识可知，F1为直径。
当金属圆环在竖直面内缓慢逆时针转过90°，绳OC的拉力大小和方向都不变，即mg的大小、方向都不变。由图可知OB绳的拉力F2先增大后减小，OA绳的拉力F1一直减小，故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2021.江苏.期中）轻质细线上端固定，下端悬挂一小球，对小球施加一个大小恒定且小于小球重力的拉力F，开始时拉力方向竖直向上，如图所示。现将拉力F在同一竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°。设细线中拉力的大小为FT，细线与竖直方向的夹角为θ，则在拉力F方向变化的过程中（　　）
A．FT一直增大，θ一直增大
B．FT一直增大，θ先增大后减小
C．FT先增大后减小，θ一直增大
D．FT先增大后减小，θ先增大后减小
拉力F缓慢转过90°，则小球处于平衡状态，根据力F大小恒定且小于重力，可作出以O为圆心，F为半径的圆，
则力F在间变化，为力F和绳拉力FT的合力，与重力等大反向。可知，，，均表示力F，则，，，表示力FT。
可知F顺时针变化，FT变大，θ先从0逐渐变大，后逐渐变小。
故选：B。
辅助圆法使用原则：
1、首先分析物体的受力特征，当物体所受一个力为恒力，另外两个力方向改变但夹角不变，优先考虑辅助圆法，以恒力为弦画图进行分析。
2、当物体受三个力，且其中一个力大小恒定，方向可变时，也考虑辅助圆法，以大小不变的力为半径做辅助圆进行分析。
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