求对数函数解析式
一、填空题（共4小题）
1、y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，f（x）的表达式为 _________ ．
2、已知函数f（x）=a﹣log2x的图象经过点A（1，1），则不等式f（x）＞1的解集为 _________ ．
3、把函数f （x）=lg（1﹣x） 的图象按向量a=（﹣1，0 ）平移，所得图象的函数解析式是 _________ ．
4、将函数y=lgx图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 _________ ．
二、解答题（共7小题）
5、已知函数f（x）=（x+1），当点P（x0，y0）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（，y0）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，﹣1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．
6、已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．
7、已知其中a为常数，f（3）=﹣2．21世纪教育网
（1）求a值；
（2）若，对任意的实数m，记V（m）为在定义域内g（x）﹣mx的最大值与最小值的差，求V（m）的最小值．
8、已知函数的图象上移动时，点的图象上移动．
（1）点P的坐标为（1，﹣1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）若方程的解集是?，求实数t的取值范围．
9、设函数f（x）=loga（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f﹣1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．21世纪教育网版权所有
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（3）在（Ⅱ）的条件下，当g﹣f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥）．
10、已知函数f（x）=log3（ax﹣b）的图象过点A（2，1），B（5，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记an=3f（n）（n∈N*），是否存在正数k，使得
对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
11、已知函数f（x）=log3（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设an=3f（n），n∈N*．
（1）求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式；
（2）求使不等式对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（3）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k﹣1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准
一、填空题（共4小题）21世纪教育网版权所有
1、y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，f（x）的表达式为 ﹣log2（﹣x） ．
考点：求对数函数解析式。
专题：计算题。
分析：由“y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称”借用奇函数的图象性质，则用f（x）=﹣g（﹣x）求解．
解答：解：∵y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称
∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）
故答案为：﹣log2（﹣x）
点评：本题主要考查两个函数图象间的对称关系，图象对称分为两类，一类是一个函数图象自身的对称，另一类是两个函数图象间的对称，研究方法两类是相同的．
2、已知函数f（x）=a﹣log2x的图象经过点A（1，1），则不等式f（x）＞1的解集为 {x|0＜x＜1} ．
考点：求对数函数解析式；对数函数的单调性与特殊点。
专题：计算题。
分析：由于f（x）=a﹣log2x的图象经过点A（1，1），利用待定系数法求得a值，则不等式f（x）＞1可化成：1﹣log2x＞1最后利用对数的单调性即可求得不等式f（x）＞1的解集．
解答：解：∵函数f（x）=a﹣log2x的图象经过点A（1，1），
∴1=a﹣log21，∴a=1
则不等式f（x）＞1可化成：
1﹣log2x＞1
即log2x＜0
∴0＜x＜1
不等式f（x）＞1的解集为{x|0＜x＜1}．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
点评：本题主要考查了求对数函数解析式，对数函数的单调性与特殊点等知识，解题的关键是利用待定系数法求得a值．
3、把函数f （x）=lg（1﹣x） 的图象按向量a=（﹣1，0 ）平移，所得图象的函数解析式是 y=lg（﹣x） ．
考点：求对数函数解析式。
专题：计算题。
分析：直接利用函数图象按平移，求出函数的解析式，即可．
解答：解：函数f （x）=lg（1﹣x）的图象按向量
平移后所得图象的解析式：
y=lg[1﹣（x+1）]+0，
即 y=lg（﹣x）
故答案为：y=lg（﹣x）．
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
4、将函数y=lgx图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 y=lg（x+1）﹣2 ．
二、解答题（共7小题）21世纪教育网
5、已知函数f（x）=（x+1），当点P（x0，y0）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（，y0）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，﹣1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．
考点：对数函数的图像与性质；函数的最值及其几何意义；求对数函数解析式。
专题：计算题；开放型。
分析：（1）写出Q点的坐标，代入f（x）的解析式中即可求出t
（2）设Q（x，y）为y=g（x）的图象上任意一点，由P和Q点的对应关系，可用x、y表达出P点的坐标，代入f（x）的解析式得到的x和y的关系即g（x）的表达式．
（3）因为f（x）和g（x）均为以为底的对数函数，故h（x）也选择以为底的对数函数，
由对数的运算法则使f（x）+g（x）+h（x）化为以为底的对数函数，在[0，1）上有意义且为减函数即可．
解答：解：（1）当点P坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为，
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴，即t=0．
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则，即
而P（x0，y0）在y=f（x）的图象上，∴
代入得，为所求．
（3）；或等．
如：当时，
f（x）+g（x）+h（x）==
∵1﹣x2在[0，1）单调递减，∴0＜1﹣x2≤1故，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．
点评：本题考查轨迹法求函数的解析式、对数的运算法则、对数函数的性质问题，考查对开放问题的探求．
6、已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．
（2）f（x）+g（x）≥m 即，
也就是在[0，1）上恒成立．
设，
则
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（﹣∞，0]
点评：本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M（a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．
（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）maxm≤h（x）恒成立，
则m≤h（x）min
7、已知其中a为常数，f（3）=﹣2．
（1）求a值；
（2）若，对任意的实数m，记V（m）为在定义域内g（x）﹣mx的最大值与最小值的差，求V（m）的最小值．
（2）因为a=2，所以得到：
进而得到
分情况讨论如下：
①若m＜0，max{g（x）﹣mx|x∈[1，3]}=2﹣3m，
min{g（x）﹣mx|x∈[1，3]}=1﹣m，V（m）=1﹣2m＞1
②若m=0，V（m）=1
③若0＜m＜1，如图，g（m）min=V（2）=1﹣2m，
当，g（m）max=V（3）=2﹣3m，
当，则 g（m）max=V（1）=1﹣m
此时，分析得．
④若m=1，V（m）=1．
⑤若m＞1，V（m）=2m﹣1≥1．
综合以上得到V（m）的最小值为．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、求对数函数解析式、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
8、已知函数的图象上移动时，点的图象上移动．
（I）点P的坐标为（1，﹣1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（Ⅱ）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程的解集是?，求实数t的取值范围．
考点：对数函数图象与性质的综合应用；求对数函数解析式。
专题：计算题。
分析：（I）由已知中点P的坐标为（1，﹣1），我们可以求出点Q的坐标（含参数t），由点Q也在y=f（x）的图象上，可以构造一个关于t的方程，解方程求出t的值．
（II）由已知中点的图象上，可得，由点P（x0，y0）在y=f（x）的图象上，满足y=f（x）的解析式，代入即可求得函数y=g（x）的解析式；
（III）若方程的解集是?，则方程组无解，构造函数h（x）=，求出函数的值域后，即可得到方程的解集是?时，实数t的取值范围．
解答：解：（I）当点P坐标为（1，﹣1），点Q的坐标为（，﹣1），
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴﹣1=（+1）
∴t=0．
（Ⅱ）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上，
则
而点P（x0，y0）在y=f（x）的图象上．
∴y0=（2x+t）即为所求
（Ⅲ）原方程可化为
令h（x）=+（x+1）]+3
①当x＞0时，﹣1时取等号）∴h（x）≤3﹣2；
②当x＜﹣1时，﹣1时取等号），∴h（x）≥3+2
故方程h（x）=t的解集为?时，t的取值范围为（3﹣2）．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，求对数函数的解析式，其中利用坐标系，求出函数y=g（x）的解析式中解答本题的关键．
9、设函数f（x）=loga（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f﹣1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g﹣f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥）．
考点：对数函数图象与性质的综合应用；求对数函数解析式。
专题：计算题。
分析：第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y=x对称进行求解．
第二问可根据点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点是函数y=g（x）上的点再结合第一问可列两个式y=f（x）=log2（x+1），frac{y}{2}=g（frac{x}{3}）然后利用换元求解．第三问在（1）（2）的条件下代入求解含参不等式，注意对根的大小进行分类讨论．
解答：解：（1）由题意知f﹣1（x）的图象与直线y=x的两个交点为（0，0），（1，1）
∴函数f（x）=loga（x+b）过（0，0），（1，1）两点
∴即b=1，a=2
∴f（x）=log2（x+1）
（2）∵点（x，y）是y=f（x）图象上的点
∴y=f（x）=log2（x+1）
∵点是函数y=g（x）上的点
∴=g（）吗
∴=g（）
用3x代x：g（x）=
（3）∵g﹣f（x）≥0
∴log2（kx+1）﹣2log2（x+1）≥0
∴且kx+1＞0且k≥
∴当时 k﹣2≤x≤0
当 k＞2时 0≤x≤k﹣2
点评：此题的综合性较强，层层递进，环环相扣．第二问考查了换元法求解析式，第三问考查了用分类讨论的思想接一元二次不等式．
10、已知函数f（x）=log3（ax﹣b）的图象过点A（2，1），B（5，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记an=3f（n）（n∈N*），是否存在正数k，使得对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
考点：数列与函数的综合；求对数函数解析式。
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）由题意得，解得 a=2，b=﹣1，即可求出f（x）=log3（2x﹣1），
（2）先根据条件求出数列{an}的通项公式；把对一切n∈N*均成立转化为k≤（1+）（1+）…（1+）恒成立；再通过构造F（n）=（1+）（1+）…（1+），利用其单调性求出F（n）的最小值即可求出k的最大值．
解答：解：（1）由题意得，解得 a=2，b=﹣1，所以f（x）=log3（2x﹣1），
（2）因为=2n﹣1．
假设存在正数k，使得对一切n∈N*均成立，
则k≤（1+）（1+）…（1+）恒成立．
记F（n）=（1+）（1+）…（1+）．
则F（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+）．
∵==1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n1=时F（n）最小，最小值F（1）=．
所以k≤．即k的最大值为．
点评：本题主要考查数列知识和函数的综合问题．解决第二问的关键在于利用对数和指数的运算性质得到=2n﹣1．
11、已知函数f（x）=log3（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k﹣1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：数列与函数的综合；求对数函数解析式；数列与不等式的综合。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）直接把点A（2，1）和B（5，2）的坐标代入函数方程求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先把问题转化为对n∈N*均成立，再记，相邻两相作商得到其单调行，进而求出其最小值即可得到最大实数a；
（Ⅲ）先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式，再根据102+210﹣2=1122＜2008＜112+211﹣2=2167，即a10＜2008＜a11，即可找到满足条件的m的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得解得：．
∴…（2分）
∴．n∈N*
∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1…（4分）
（Ⅱ）由题意对n∈N*均成立…（5分）
记
则
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）随着n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值为
∴a≤，即a的最大值为…（8分）
（Ⅲ）∵an=2n﹣1
∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5+…+（2m﹣1）]+（2+22+…+2m﹣1）=m2+2m﹣2…（10分）
∵102+210﹣2=1122＜2008＜112+211﹣2=2167
即a10＜2008＜a11…（11分）
又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+…+28=521…（12分）
且2008﹣1122=886=443×2
所以存在正整数m=521+443=964，使得Sm=2008…（14分）
点评：本题综合考查了数列与函数的知识．解决第三问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式，并通过计算得到102+210﹣2=1122＜2008＜112+211﹣2=2167，即a10＜2008＜a11从而使问题得到解决．
