幂函数--幂函数的实际应用
一、选择题（共3小题）
1、设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（ ）
A、{a|1＜a≤2} B、{a|a≥2}
C、{a|2≤a≤3} D、{2，3}
2、幂函数f（x）的图象过点（4，，那么f﹣1（8）的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）21世纪教育网
A、1 B、2
C、 D、
二、解答题（共5小题）
4、设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当﹣1≤x＜1时，y=f（x）的表达式是幂函数，且经过点，求函数在[2k﹣1，2k+1）（k∈Z）上的表达式．
5、已知幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点，且，求m的值．
6、已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．
7、已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q的取值范围．
8、已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．
（1）求m的值；
（2）求满足的a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共3小题）21世纪教育网
1、设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（ ）
A、{a|1＜a≤2} B、{a|a≥2}
C、{a|2≤a≤3} D、{2，3}
考点：幂函数的实际应用。
分析：先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
解答：解：易得，在[a，2a]上单调递减，
所以，
故?a≥2
故选B．
点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．
2、幂函数f（x）的图象过点（4，，那么f﹣1（8）的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：幂函数的实际应用；反函数。
专题：计算题。
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，），解得参数，从而求得其解析式，再代入f（x）=求x值即得．
解答：解：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4，），
∴=4α
∴α=﹣
∴
∴f（x）=8??x=
故选B．
点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，但在构造函数和幂的运算中应用较多．不能忽视．
3、幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、2
C、 D、
考点：函数与方程的综合运用；幂函数的实际应用。
专题：新定义。
分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．
解答：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N，分别代入y=xα，y=xβ
故选A．
点评：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，考查数形结合思想，是基础题．
二、解答题（共5小题）21世纪教育网版权所有
4、设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当﹣1≤x＜1时，y=f（x）的表达式是幂函数，且经过点，求函数在[2k﹣1，2k+1）（k∈Z）上的表达式．
5、已知幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点，且，求m的值．
考点：幂函数的实际应用；幂函数的图像。
分析：幂函数y=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．
解答：解：由题意可得：m2﹣2m﹣3＜0
解得﹣1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
∵图形关于y轴对称
∴m2﹣2m﹣3是偶数，
故m的值为1．
点评：此题很好的考查了幂函数的图象与性质．
6、已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数21cnjy
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．
考点：幂函数的实际应用。
专题：计算题。
分析：（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．
（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．
解答：解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m=2；
函数的解析式为：f（x）=x﹣4．
（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，
又因为1﹣2x≠0，x+2≠0
所以，
点评：本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．
7、已知幂函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，且为偶函数．21cnjy
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数q的取值范围．
考点：幂函数的实际应用。
专题：计算题。
分析：（1）根据幂函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，得出其指数大于0建立关于m的不等关系求得m，再结合f（x）的奇偶即可求函数f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=x4从而g（x）=2x2﹣8x+q﹣1，g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立?g（x）min＞0，x∈[﹣1，1]．利用二次函数的性质研究g（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而得出实数q的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴﹣m2+2m+3＞0即m2﹣2m﹣3＜0
∴﹣1＜m＜3
又∵m∈Z∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数．
∴f（x）=x4
（2）由f（x）=x4知g（x）=2x2﹣8x+q﹣1，g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立?g（x）min＞0，x∈[﹣1，1]．
又g（x）=2x2﹣8x+q﹣1=2（x﹣2）2+q﹣9
∴g（x）在[﹣1，1]上单调递减，于是g（x）min=g（1）=q﹣7．
∴q﹣7＞0，q＞7
故实数q的取值范围是（7，+∞）．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、幂函数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
8、已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．21cnjy
（1）求m的值；
（2）求满足的a的取值范围．
故a的取值范围为
点评：幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．
