幂函数--幂函数的性质
一、选择题（共20小题）
1、若集合A={y|y=，﹣1≤x≤1}，B={y|y=，x≤0}，则A∩B等于（ ）
A、（﹣∞，﹣1） B、[﹣1，1]
C、? D、{1}
2、设函数，已知f（a）＞1，则a的取值范围为（ ）
A、（﹣1，1） B、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C、（﹣∞，﹣2）∪（0，+°∞） D、（1，+∞）
3、已知函数f（x）=的定义域是非零实数，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
4、已知实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列关系式中可能成立的有（ ）
①2a=3b；②log2a=log3b；③a2=b3．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
5、性质p：对于任意的x，y∈R，都有．则以下函数中具有性质p的是（ ）
A、y=lgx B、y=3﹣x
C、y=x3 D、y=﹣x2
6、下列不等式正确的是（ ）
A、log34＞log43 B、0.30.8＞0.30.7
C、π﹣1＞e﹣1 D、a3＞a2（a＞0，且a≠1）
7、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（ ）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
8、下列函数中在（0，+∞）上单调递增的为（ ）
A、f（x）=x﹣2 B、
C、f（x）=lg（﹣x） D、
9、如图所示是函数y=（m、n∈N*且互质）的图象，则（ ）
A、m、n是奇数且＜1
B、m是偶数，n是奇数，且＞1
C、m是偶数，n是奇数，且＜1
D、m、n是偶数，且＞1
10、如果幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（4）的值等于（ ）
A、16 B、2
C、 D、
11、幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
12、下列命题中正确的是（ ）
A、当α=0时函数y=xα的图象是一条直线
B、幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C、若幂函数y=xα是奇函数，则y=xα是定义域上的增函数
D、幂函数的图象不可能出现在第四象限
13、当时，幂函数y=xα的图象不可能经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
14、满足“对任意实数x，y，f（x?y）=f（x）?f（y）都成立”的函数可以是（ ）
A、f（x）=3x B、f（x）=log3x
C、f（x）=x3 D、
15、函数y=x的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，0）
C、[0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
16、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（4）的值为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、﹣6
17、幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，0）
C、（0，﹣∞） D、（﹣∞，+∞）
18、函数是幂函数，当x＞0时，f（x）是增函数，则k的取值集合是（ ）
A、{1，2，3} B、{1，2，3，4}
C、{m|0＜m＜5} D、{0，1，2，3}
19、下列命题：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
④幂函数y=xn，当n＞0时是增函数；
⑤幂函数y=xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是（ ）
A、①④ B、④⑤
C、②③ D、②⑤
20、已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．
其中正确结论的序号是（ ）
A、①② B、①③
C、②④ D、②③
二、填空题（共5小题）
21、已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c有最大值 _________ ．
22、函数（a为常数）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的值是 _________
23、已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 _________ ．
24、设函数f1（x）=，f2（x）=x﹣1，f3（x）=x2，，则f1（f2（f3（2009）））= _________ ．
25、已知幂函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．则f（﹣1）+f（0）+f（1）的值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x﹣a，若f（x）=f1（x）f2（x）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．
27、幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，判断函数f（x）的奇偶性．
28、设m∈Z，函数．
（1）求m的值，并确定函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数g（x）的单调性，并加以证明．
29、已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论的奇偶性．
30、（1）求的值．
（2）已知a=8，b=﹣2，求的值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、若集合A={y|y=，﹣1≤x≤1}，B={y|y=，x≤0}，则A∩B等于（ ）
A、（﹣∞，﹣1） B、[﹣1，1]
C、? D、{1}
考点：交集及其运算；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：先利用求函数的值域的方法化简集合A，B，后求它们的交集．
解答：解：∵A={y|y=，﹣1≤x≤1}={y|﹣1≤y≤1}，
∵B={y|y=，x≤0}={y|y≥1}，
∴A∩B={1}．
故选D．
点评：集合中的运算包括集合之间的子集、交集、并集和补集运算．这类集合问题都是以基本题的身份出现在高考试卷中，解答时应正确地掌握集合的概念，理解集合的含义，将集合等价变形，利用数轴或韦恩图进一步研究集合的运算．
2、设函数，已知f（a）＞1，则a的取值范围为（ ）
A、（﹣1，1） B、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C、（﹣∞，﹣2）∪（0，+°∞） D、（1，+∞）
3、已知函数f（x）=的定义域是非零实数，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数单调性的性质；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：利用函数定义域为非零实数，得出指数为负数，再利用函数的单调性进一步得出指数中分子为偶数进行求解．
解答：解：∵f（x）的定义域是{x|x∈R且x≠0}，
∴1﹣a＜0，即a＞1．
又∵f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，故1﹣a为偶数，
∴a﹣1=2，即a=3，
故选D．
点评：本题考查函数的定义域意识，考查学生的理解和转化能力，将函数的定义域和单调性转化为指数的关系是解决本题的关键．
4、已知实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列关系式中可能成立的有（ ）
①2a=3b；②log2a=log3b；③a2=b3．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：函数的图象；对数的运算性质；幂函数的性质。
专题：数形结合。
分析：由题意，结合指数函数、对数函数、幂函数的图象，依次分析，进而可得答案．
解答：解：由题意，依次分析可得，
①、0＜b＜a＜1，结合指数函数的图象可得，图（1），（1）为y=3x，（2）为y=2x，两者可能相等，则正确；
②、0＜b＜a＜1，结合指数函数的图象可得，图（2），两者不可能相等，则错误；
③、0＜b＜a＜1，结合指数函数的图象可得，图（3），两者可能相等，则正确；
综合可得，2个正确；
故选C．
点评：本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象，结合图象，注意两者函数值可能相等的函数特性．
5、性质p：对于任意的x，y∈R，都有．则以下函数中具有性质p的是（ ）
A、y=lgx B、y=3﹣x
C、y=x3 D、y=﹣x2
考点：指数函数的图像与性质；幂函数的性质。
专题：探究型。
分析：当f（x）=lgx时，f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy≤2f（）=2lg（）=lg；当f（x）=时，f（x）+f（y）=≥2=2f（）；当f（x）=x3时，f（x）+f（y）=x3+y3≤2f（）=2?=；当f（x）=﹣x2时，f（x）+f（y）=﹣x2﹣y2≤2f（）=﹣2=﹣．
解答：解：当f（x）=lgx时，
f（x）+f（y）=lgx+lgy=lgxy，
2f（）=2lg（）=lg，
∵，
∴f（x）+f（x）≤2f（），
故A不具有性质P．
当f（x）=时，
f（x）+f（y）=≥2，
2f（）=2=2，
∴f（x）+f（x）≥2f（），
故B具有性质P．
当f（x）=x3时，
f（x）+f（y）=x3+y3，
2f（）=2?=，
∴f（x）+f（x）≤2f（），
故C不具有性质P．
当f（x）=﹣x2时，
f（x）+f（y）=﹣x2﹣y2，
2f（）=﹣2=﹣，
∴f（x）+f（x）≤2f（），
故D不具有性质P．
故选B．
点评：本题考查不等式的大小比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数、幂函数的图象和性质的应用，恰当地运用均值定理和基本不等式进行解题．
6、下列不等式正确的是（ ）
A、log34＞log43 B、0.30.8＞0.30.7
C、π﹣1＞e﹣1 D、a3＞a2（a＞0，且a≠1）
考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质。
专题：证明题。
分析：本题中四个选项有一个是比较对数式的大小，其余三个都是指数型的，故可依据相关函数的性质对四个选项逐一验证，以找出正确选项．
解答：解：对于选项A，由于log34＞log33=1=log44＞log43，故A正确；
对于选项B，考察y=0.3x，它是一个减函数，故0.30.8＜0.30.7，B不正确；
对于选项C，考察幂函数y=x﹣1，是一个减函数，故π﹣1＜e﹣1，C不正确；
对于D，由于底数a的大小不确定，故相关幂函数的单调性不确定，故D不正确．
故选A
点评：本题考点是指数、对数及幂函数的单调性，考查利用基本初等函数的单调性比较大小，利用单调性比较大小，是函数单调性的一个重要运用，做题时要注意做题的步骤，第一步：研究相关函数的单调；第二步：给出自变量的大小；
第三步：给出结论．
7、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（ ）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
8、下列函数中在（0，+∞）上单调递增的为（ ）
A、f（x）=x﹣2 B、
C、f（x）=lg（﹣x） D、
考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质；幂函数的性质。
专题：阅读型。
分析：本题考查基本初等函数的单调性，根据幂函数，指数函数的单调性逐项判断，得出正确选项即可．
解答：解：A 幂函数f（x）=x﹣2指数﹣2＜0，根据幂函数单调性，在（0，+∞）上单调递减．不选．
B 幂函数f（x）=指数＞0，根据幂函数单调性，在（0，+∞）上单调递增．正确．
C f（x）=lg（﹣x ）的定义域由﹣x＞0，得x＜0，定义区间不符合． 不选．
D 指数函数底数0＜＜1，根据指数函数单调性，在（0，+∞）上单调递减．不选．
故选B
点评：本题考查基本初等函数的单调性、单调区间，是知识的简单直接应用．
9、如图所示是函数y=（m、n∈N*且互质）的图象，则（ ）
A、m、n是奇数且＜1 B、m是偶数，n是奇数，且＞1
C、m是偶数，n是奇数，且＜1 D、m、n是偶数，且＞1
考点：幂函数的图像；幂函数的性质。
专题：计算题；综合题。
分析：利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果．
解答：解：将分数指数化为根式，y=，由定义域为R，值域为[0，+∞）知n为奇数，m为偶数，
又由幂函数y=xα，当α＞1时，图象在第一象限的部分下凸，
当0＜α＜1时，图象在第一象限的部分上凸，
故选C．
或由图象知函数为偶函数，∴m为偶数，n为奇数．又在第一象限内上凸，∴＜1．
故选C
点评：本题考查幂函数的图象和性质，考查学生推理能力，是基础题．
10、如果幂函数f（x）=xα的图象过点，则f（4）的值等于（ ）
A、16 B、2
C、 D、
考点：幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：将点的坐标代入函数解析式列出方程，求出函数解析式；将x=4代入求出值．
解答：解：∵函数f（x）=xα的图象过点
∴
∴
∴
∴
故选D
点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式．考查知函数解析式如何求函数值．
11、幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，），解得参数，从而求得其解析式，再代入求f（）的值．
解答：解：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4，），
∴=4α
∴α=﹣
∴y=
则f（）的值为：．
故选B．
点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，属于基础题．
12、下列命题中正确的是（ ）
A、当α=0时函数y=xα的图象是一条直线 B、幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C、若幂函数y=xα是奇函数，则y=xα是定义域上的增函数 D、幂函数的图象不可能出现在第四象限
13、当时，幂函数y=xα的图象不可能经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：幂函数的性质。
专题：分类讨论。
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
解答：解； 当α=、1、2、3 时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1 时，幂函数即y=，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选 D．
点评：本题考查幂函数的图象和性质．
14、满足“对任意实数x，y，f（x?y）=f（x）?f（y）都成立”的函数可以是（ ）
A、f（x）=3x B、f（x）=log3x
C、f（x）=x3 D、
考点：幂函数的性质。
专题：规律型。
分析：由题设中“对任意实数x，y，f（x?y）=f（x）?f（y）都成立”这个条件知此法则对应的函数应是一个幂函数，由此特征选择正确选项即可
解答：解：由题意“对任意实数x，y，f（x?y）=f（x）?f（y）都成立”，知此函数应是一个幂函数
考察四个选项，只有C中的f（x）=x3是一个幂函数，故C是正确答案
故选C
点评：本题考查幂函数的性质，是一个抽象判断题，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能由题设条件中所给的运算法则得出函数的类型来，考查了判断的能力及对基础知识掌握的熟练程度，属于基础概念考查题
15、函数y=x的单调递减区间为（ ）
A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，0）
C、[0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
考点：幂函数的性质；函数的单调性及单调区间。
专题：数形结合。
分析：根据幂函数的性质，做出y=的图象，进而可得答案．
解答：幂函数y=的是偶函数，定义域为R，画图：
单调递减区间为（﹣∞，0）
故选B
点评：本题主要考查幂函数y=的性质：是偶函数，在第一象限是增函数等等．
16、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（4）的值为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、﹣6
考点：幂函数的性质；对数的运算性质。
专题：计算题。
分析：先利用待定系数法将点的坐标代入幂函数的解析式求出函数解析式，再将x用4代替求出函数值，最后用对数的运算性质进行求解即可．
解答：解：由幂函数y=f（x）的图象过点
得，
则f（x）=x3，f（4）=64
目log2f（4）=log264=6
故选C
点评：考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式，会根据自变量的值求幂函数的函数值，属于基础题．
17、幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（ ）
A、（﹣∞，1） B、（﹣∞，0）
C、（0，﹣∞） D、（﹣∞，+∞）
考点：幂函数的性质。
专题：待定系数法。
分析：设幂函数为y=xa，把点，求出a的值，从而得到幂函数的方程，由此能得到幂函数的单调递增区间．
解答：解：设幂函数为y=xa，
把点，得，
解得a=﹣2．
∴幂函数为y=x﹣2．
∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故选B．
点评：本题考查幂函数的性质和应用，解题时要注意待定系数法的合理运用．
18、函数是幂函数，当x＞0时，f（x）是增函数，则k的取值集合是（ ）
A、{1，2，3} B、{1，2，3，4}
C、{m|0＜m＜5} D、{0，1，2，3}
19、下列命题：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
④幂函数y=xn，当n＞0时是增函数；
⑤幂函数y=xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是（ ）
A、①④ B、④⑤
C、②③ D、②⑤
考点：幂函数的性质。
专题：综合题。
分析：通过幂函数的解析式的特点，判断出幂函数具有的各个性质，得到正确选项．
解答：解：．当y=x﹣1时，不过（0，0）点，①错误；
当x＞0时，y＞0，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对
当n=0时，y=xn中x≠0，故其图象是去掉（0，0）点的一条直线，③错；
y=x2在（﹣∞，0）上是减函数，（0，+∞）上是增函数，④错．
幂函数y=xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．⑤对
故选D．
点评：本题考查幂函数的解析式、幂函数的性质．
20、已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．
其中正确结论的序号是（ ）
A、①② B、①③
C、②④ D、②③
考点：幂函数的性质。
分析：设f（x）=xα，把点（，）代入函数的解析式求出α，得到 f（x）=，
利用函数在其定义域[0，+∞）内单调 递增，且增长速度越来越慢，结合函数图象作答．
解答：解析：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=，所以，α=，于是f（x）=．
由于函数f（x）=在定义域[0，+∞）内单调递增，
所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；
又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，
容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确，
故选 D．
点评：本题考查幂函数的定义和性质，注意①②中只能一个正确，③④中只能一个正确．
二、填空题（共5小题）
21、已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c有最大值 ．
考点：函数单调性的性质；幂函数的图像；幂函数的性质。
分析：转化为导函数≤0在区间[﹣1，2]上恒成立，而f′（x）为二次函数，可结合二次函数的图象解决．
解答：解：函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，
f′（x）=3x2+2bx+c≤0在区间[﹣1，2]上恒成立，
只要即成立即可． 当过A点时，b+c有最大值．A，故b+c有最大值为
故答案为：．
点评：本题考查函数单调性的应用、线性规划等知识，有一定难度．
22、函数（a为常数）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的值是 1或3
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；幂函数的性质。
分析：由题意知，a2﹣4a﹣5 是偶数，再由单调性得a2﹣4a﹣5=（a﹣5）（a+1）＜0，结合这2个条件可以得到整数a的值．
解答：解：∵函数（a为常数）是偶函数，
∴a2﹣4a﹣5 是偶数，
又在（0，+∞）上是减函数，∴a2﹣4a﹣5=（a﹣5）（a+1）＜0，
∴﹣1＜a＜5，
综上，a=1或a=3，
故答案为：1或3
点评：本题考查函数奇偶性、单调性及幂函数的性质．
23、已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是 [，1）∪（1，2] ．
考点：函数恒成立问题；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：由：构造函数，由函数图象与性质可以得出结论．
解答：解：（1）由，构造函数：，a＞0，且a≠1
（2）由函数图象知，当x∈（﹣1，1）时，
g（x）的图象在h（x）的图象下方．
如图：①当a＞1时，有h（﹣1）≥g（﹣1），
即，得a≤2，即1＜a≤2；
②当，得即
有①、②知：实数a的取值范围是[，1）∪（1，2]．
答案为[，1）∪（1，2]．
点评：本题借助二次函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，考查函数的恒成立问题．合理构造函数，用数形结合的方法容易解答．
24、（2007?山东）设函数f1（x）=，f2（x）=x﹣1，f3（x）=x2，，则f1（f2（f3（2009）））= ．
考点：函数的值；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：合理地运用函数的对应法则，从里至外一层层地进行求解，导出f1（f2（f3（2009）））的值．
解答：解：f1（f2（f3（2009）））=f1（f2（20092））
=f1（（20092）﹣1）==2009﹣1=．
故答案为：
点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，耐心求解．
25、已知幂函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．则f（﹣1）+f（0）+f（1）的值为 0 ．
考点：函数的值；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：由已知，函数f（x）的定义域为R，再进一步的判断出是奇函数，问题解决．
解答：解：设f（x）=xα，由已知，函数f（x）的定义域为R，∴α＞0，又∵对任意x1，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．即是说，y与x一一对应，f（x）必定不是偶函数．
当α为整数时，α必为奇数，从而f（x）为奇函数，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．
当α为分数时，设α=，（为最简正分数，且n≥2），f（x）==，∴m为奇数，n为奇数，此时f（x）为奇函数，
同样地，f（0）=0，f（﹣1）+f（0）+f（1）=﹣f（1）+0+f（1）=0．，
故答案为：0
点评：本题主要考查幂函数的性质．幂函数的性质的性质与幂指数密切相关，本题挖掘出f（x）是定义在R上的奇函数是关键．
三、解答题（共5小题）
26、已知函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x﹣a，若f（x）=f1（x）f2（x）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．
考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；幂函数的性质。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）由函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），求得m解得f1（x）；由函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x﹣a，得到函数f2（x）最后由f（x）=f1（x）f2（x）得到f（x）．
（2）当a≤2时，f（x）=x2（x﹣a），f′（x）=3x2﹣2ax，当x∈[2，3]时f（x）是增函数f（x）min=f（2），当2＜a≤3时f（x）min=f（a）=0，当a＞3时f（x）=ax2﹣x3，f′（x）=2ax﹣3x2，当3＜a＜时f（x）在[2，]增，在[，3]减，可得到
f（x）min=f（2）=4a﹣8或f（x）min=f（3）=9a﹣27，若4a﹣8＞9a﹣27，即a＜时有两种情况3＜a时f（x）min=f（3），时f（x）min=f（2），当a时f（x）min=f（2）．最后写成分段函数的形式．
解答：解：（1）∵函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），
∴f1（1）=1，
∴m=1），
∴f1（x）=x2
∵函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x﹣a，
∴f2（x）=|x﹣a|，
∵f（x）=f1（x）f2（x）．
∴f（x）=x2|x﹣a|，
（2）当a≤2时，f（x）=x2（x﹣a），
∴f′（x）=3x2﹣2ax
当x∈[2，3]时f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数
∴f（x）min=f（2）=8﹣4a
当2＜a≤3时f（x）=x2|x﹣a|，f（a）=0
∴f（x）min=f（a）=0
当a＞3时f（x）=ax2﹣x3
f′（x）=2ax﹣3x2
当3＜a＜时f（x）在[2，]增，在[，3]减
∴f（x）min=f（2）=4a﹣8或f（x）min=f（3）=9a﹣27
当4a﹣8＞9a﹣27即a＜
当3＜a时f（x）min=f（3）=9a﹣27
当时f（x）min=f（2）=4a﹣8
当a时f（x）min=f（2）=4a﹣8
∴f（x）min=
点评：本题主要考查函数解析式的求法及应用，主要考查了函数的单调性来函数的最值，还考查了分类讨论思想．
27、幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，判断函数f（x）的奇偶性．
考点：函数奇偶性的判断；幂函数的性质。
专题：证明题。
分析：先化简题目中的等式，分n为奇数和n为偶数2种情况讨论，最后确定n一定为偶数，从而得出幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
解答：解：由题意得：（1n）2+（（﹣1）n）2=2[1n+（﹣1）n﹣1]，2=2[1n+（﹣1）n﹣1]①，
当n为奇数时，①不成立，当n为偶数时，①恒成立，故n一定为偶数，
∴幂函数f（x）=xn（n∈Z）是个偶函数．
点评：本题考查幂函数的性质、以及函数奇偶性的判断．
28、设m∈Z，函数．
（1）求m的值，并确定函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数g（x）的单调性，并加以证明．
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）利用，解指数不等式，即可求出m的范围，再根据m∈Z，的到整数m，代入两个函数，判断是否成立，就可求出m的值，并可判断f（x）的奇偶性．
（2）用定义法判断函数g（x）的单调性，先求出函数的定义域，再设函数在定义域上任意两个x1，x2，且x1＜x2，再作差比较f（x1）与f（x2）的大小即可，作差后一定要将差分解为几个因式的乘积的形式，再判断每一个因式的符号，根据负因式的个数判断积的符号，最后得出结论．
解答：解：（1）由，得＜1，
∴﹣2m2+m+3＞0，解得，﹣1＜m＜，
又∵m∈Z，∴m=0或1
当m=0时，g（x）的底数为1，无意义，舍去．
当m=1时，∴﹣2m2+m+3=2，f（x）=x2是偶函数．此时g（x）的底数为2，成立
综上所述，m的值为1，f（x）=x2
（2）由（1）知，，（x≠2）
由＞0，得﹣2＜x＜2，∴g（x）的定义域为（﹣2，2）
设﹣2＜x1＜x2＜2，f（x1）﹣f（x2）=
=loga?=loga
∵﹣2＜x1＜x2＜2，∴0＜﹣x1x2+2x1﹣2x2+4＜4﹣2x1+2x2﹣x1x2?＜1
∴loga＜0
∴函数g（x）在（﹣2，2）上为增函数．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，属于概念考查题．
29、已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论的奇偶性．
考点：奇偶性与单调性的综合；幂函数的性质。
专题：综合题。
分析：（1）由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m2﹣2m﹣3为偶数，进而推知m2﹣2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f（x）的解析式．
（2）把f（x）的解析式代入F（x），得到F（x）的解析式．然后分别讨论a≠0且b≠0时，a=0且b≠0时，a≠0且b=0时，a=b=0时，函数的奇偶性．
解答：解：（1），由题意知m（m﹣2）为奇数又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上递减，
∴m=1，?f（x）=x﹣4
（2）
∵y=x﹣2是偶函数，y=x3是奇函数
①a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②a=0且b≠0时，F（x）为奇函数；
③a≠0且b=0时，F（x）为偶函数；
④a=b=0时，F（x）为奇且偶函数
点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用．要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．
30、（1）求的值．
（2）已知a=8，b=﹣2，求的值．
